立体几何体积问题

1、立体几何体积问题1在如下列图的五面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为菱形，且 DAB 60 , EF/平面 ABCD， EA ED AB 2EF2， M为BC中点.1求证 FM /平面BDE ；2假设平面 ADE 平面ABCD，求F到平面BDE的距离【答案】1见解析;5【解析】试趣分析:(1)取UD中点N,连接AfNaFN.由线面咅亍的刮定定理可得平面BDE 再EFH平面痂CQ可得EF仃由！由题意可证存四边毙EFyD为平行四边形故得FNHEDf从而得到平 面由面面平行的判走可得平面MFNJJ平面SDEf由此可得结论成立. 由 得FMfl平 面BDE,故尸到平面购逕的距离等于M到平面另DE的

2、距飢 取血的中点连接EHtBH ?可证 得耳丄皿,丄血),从而可得一平面ABCD f在此根底上可得也, 也-然后设戸到 卡面RDEd距离为央，由理bcm =*Sf-aor 可得所企试题解析(1)取CD中虽旳，连接的刖，因为n卫分CD.nc中点，所人wy小6又匚平面BDE.且测0平面RDE#所以AA-/7平面EDE #因为 EF/平面 A£CD , EFu平面.4BEF ?平面 ABCDr平面 ABEF = AB ? 所以EF打屈.又 AB = CD=2DN=2EF=2f 倍 MCD ?所认 EF HCD EF = DN 所U四边形*ND为平彳亍四边形.mz：v/£p.X&#

3、163;Z>ct匚面召QE且FV工平面SDE ?所以.FW /平面BDE ,又FNMN = Nf所以平面MFNH平面££)&又MFu平面妞耳7所VXFMH平面EDE.2由1得FM /平面BDE ,所以F到平面BDE的距离等于 M到平面BDE的距离.取AD的中点H，连接EH,BH ,因为四边形ABCD为菱形，且DAB60， EA EDAB2EF，所以EHAD，BH AD因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD， EHBH?因为EHBH.3，所以BE 、6，学所以S BDE1、6 2 即F到平面BDE的距离为' 15 .

4、6 215?222设F到平面BDE的距离为h，又因为S BDM1S 1BCD,34 32 242所以由V BDM1VM BDE，得331, 15h 3232解得h2、如图，在五面体 ABCDEF中，底面 ABCD为正方形， E DC，平面ABCD 平求五面体 ABCDE的F体积.【答案】见解析(2)3【律析】试盘分析:(1)要证繼疑直可先证线面垂直，有"E丄CF*因此只要再证課丄AD,这可由面面垂宜的 性质走理得.仍丄平面CDEF ,从而得到结论；这个參面体可分拆为一个三根M-DEFfct四棱F-ABCDf它们的高易作出，分别求出体 积艮阿试题解析：(I )因为平面ABCDL平面CD

5、M,平面ABCDC平面CDE匚匚D, AD1CD,所叹他丄平面3氐 又邙U平面切圧贝ij AD1CF.又因为旅丄圧ADME-A.所以OF丄平面AED, DEU平面AED,从而有CF1DE.连接FA, FD,过F作FM丄CD于M ,因为平面 ABCD丄平面CDEF且交线为 CD, FM丄CD,所以FM丄平面ABCD.因为 CF= DE, DC= 2EF= 4,且 CF丄 DE,所以FM= CM= 1 ,学W 4所以五面体的体积V= Vf-abcd+ Va def=3、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD 60，点M在线段PC上，且PM 2MC , O为AD的中点I假设PA P

6、D，求证平面POBn假设平面 PAD 平面ABCD，平面PAD ；PAD为等边三角形，且AB 2，求三棱锥P OBM的体积.【答案】I见解析；n【解析】试题分析：1由PA = PD得P0丄Q底面为菱形，月0丄肋，利用面面垂亘判定定理证明;法一：由面PAD一面ABCD ?推出尸0±0B ,计第出3法二：推出戸0丄面AECD,尖计章出Sx = 2“F-0血=-PQB =亍冬= 3 5-CSC解析；(I )TP4FD, AO=OD,P0丄AD,$然后3又匚底面ABCD为菱形Zbad=&ob, /.bo丄ayPDn0O=O,二 AD丄平面 POBX ADGF面 PAID., ./.F

7、面 POR丄平面 PAD;II 万法一T平面 呗D丄平面ABCD,平面 WKD仃平面ABO AD, PO±AD；二F>0丄平面ABCD?TO*匚平面ASCD.PO1OB'WAD 为等边三甬形，-W= = 2. PO = Ji ；T 鹿面 ABCD 为菱形，ZBAD=50% A3 = U0二书1 iq.'.二一x_ffOxPO= x灯R=2 22由(1 ) AD丄平面POB .'.BC丄平面POB22 12 132fp-02W = C-PQS =亍 X AFQB X0C = xxx 2 =方法平面PAD丄平面 ABCD,平面 PAD P平面ABCD=AD

8、PO丄AD, PO丄平面 ABCD,PAD为等边三角形，AD AB 2, AO 3 ,底面ABCD为菱形，/BAD=60,ab2由(I )B0丄AD： S°bc1 BCOB123322/ PM=2MC2VP OBMVM POB_ VC POB|VpOBC21S OBCPO2133233333334、多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，CFE DEF 90，DE 2CF EF 2， G 为 AB 的中点,GD 3.I求证 AE 平面CDEF ;n求六面体 ABCDEF的体积.【答案】1见解析283解析砲分析；取宓中点N帚正方形性质得EF.再相据勾股定理计算得GN丄刀N、 因为

9、GNHAE ?所以根据线面垂直判定是理得结果井割成吩如3吨+冬込gE，再根据锥休体积公 式束彳本积即可试题解析；I 取EF中点卯谁接GNP.V.根將题青可知、四边形 胆EF是边枚为2的正方形,所以.GV丄EF易束得J?Ar = a/B+EV7 = y/s ?所以GW + D0 =2；+M=9=GDS 于罡 G¥丄DN 而EFcDN=玛所以GN一平CDEF-又因为G2L血，所以血丄平面CDKF.n连接 CE，贝"V六面体ABCDEF =V四棱锥C-ABFE V三棱锥A-CDE由I可知AE 平面CDEF , CF所以V四棱锥-ABFE13 %方形ABFE CF平面ABFE .1

10、V三棱锥 A-CDE3 S CDE AE所以V六面体ABCDEFI5.如图，正方形 ABCD中， AB 2 2 ,AC与BD交于O点，现彳将ACD沿AC折起得到三棱锥D ABC , M , N分别是OD , OB的中点.(1)求证 AC MN ； 设 BiBCBAC 60，假设三棱锥 A BCG的体积为1,求点G到平面ABB的距离【答案】1见解析22 155【睥祈】试题分析二(1)由四边形EBGC星菱形可得耳C丄皿二从而可证得耳C丄平面ABCl?所丄XO .又由 M = g可得丿o丄热6可得丄0 平面码qc- 设菱形的边长为厂扌豳条件可得 AC=A£. =*C = x,根JE三棱雄用

11、一ECC的体积为1可得"2 .适而得到BO=Ji ? AB = & , 3 二乎-设点G到平面 伽的距冉为乩根擔等积沬，即由%_冲=乙_畔二1可得h =5-；即为所求的距离.试题解析1)证明四边形BB1C1C是菱形， BCBG, ABB1C, AB BC| B,-B C平面ABG ,又AO平面ABG , QCAO ./ ABAG , O是BG的中点， AOEC , BCBGO , AO 平面 BB1C1C .设菱形砒GC的边长为和 又日芒C*二60J是等边三角形，那么尿?=工由1知曲0_耳0,又。是场c的中点J又厶4C=60JIBC是等边三角形#那么AC =ABX =JTC

12、= a ；在卫工MCO 中A0=4aC1-CO1二巳* 斗£沁 也斗兀血12卑“右宀1,聲得工三2,在Rt ABO中,BO 、BC2 CO23x .3 ,2S ABB1ABB1B212BB1C1Va BCC1得 3 S ABB1 h3在 Rt BCO 中,AB .BOAB 2 AO设点C1到平面ABB1的距离为h ,由 VC1 ABB1VA x 、6 ,2解得h2155即点G到平面ABR的距离为2.1557、如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE 平面ABCD ,I证明平面AEC 平面BED ；II假设 ABC 120 , AE EC,三棱锥E ACD的体积为 6，求该三

13、棱锥的侧3面积【答案】I见解析II3+2 5定定理知M丄平面宓D,由面面垂直册利定宦理知平面应C亠平面BED,仃I设朋口通过解直角三角形俗且& GC、G执GD用工表示出来，在RtAEC,用如表示EG,衽R3BG中】用域表示£3. 根据条件三棱锥E-ACD的体积为国求出V,即可求出三棱E-ACD的血面积3试題解析；因対四边形形，所以乂丄眇因平猗曲UD所以处丄坯，故M丄平又C=平面AEC.所以平面且me亠平面BEDX,GB=GD=- 学2“I设 AB=X，在菱形 ABCD 中，由 “BC=120，可得 AG=GC2因为处丄FG所以RAEC中，可得EG- X.7尊宀亨故心由匪丄平面

14、ABCD, DAFSS为直角三角册"可得BF=S已扣得三棱锥E-ACD的体积抵g = |x<C- GD-SEJ Js从而可得AC-ED= 6 .所以A EAC的面积为3, iEAD的面积与iECD的面积均为.故三複锥"仞的侧面积为卄2农&如图，正三棱锥 P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点 E,连结PE并延长交AB于点G.I证明 G是AB的中点；在图中作出点 E在平面PAC内的正投影F说明作法及理由，并求四面体PDEF的体 积.4【答案】I见解析；n作图见解析，体积为 3 .【解析】试題分析

15、；证明曲丄M由P4PR可得G是曲的中点.II在平面吨内，过点E作何的平行 纟胶 丹于点码 戸即为E在平面PAC内的正投鬆根据正三棱锥的侧面是直甬三角形且卩4 J可得 DE = 2 PE =皿在等腥直角三角形砂中,可得EF = PF二2.四面体PDEF的係口 r=-xix2x2x2 = .3 23试题解析I因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.所以AB平面PED，故AB PG.又由可得，PA PB，从而G是AB的中点.II在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F , F即为E在平面PAC内的 正投影理由如下由可得PB PA ,

16、PB PC，又EF/ PB ,所以EF PA, EF PC,因此EF 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG ,因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.CD -CG.由I知，G是AB的中点，所以D在CG上，故3 学由题设可得 FC 丄平而PAB, DE 丄平而 PAB,PC, itPE = -PGTDE = -PC由，正三棱锥的侧面杲直垢三角形且PA - 6 可得 2; PE 2/2.在等睡直垢三角形EFF中，可帚EF = PF八所以四面体PD些的体积=丄乂丄瓦2汰2 乂 2 = ?.学科.网3 23(I )证明 AC HD'5(n)假设 AB

17、5,AC 6,AE ,0D'49、如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点0,点E, F分别在 AD, CD上, AE=CF, EF 交BD于点H,将 DEF沿EF折到 D'EF的位置HD . n证明0D OH，再证OD 平面D' ABCFE的体积.2 2，求五棱锥D' ABCFE的体积.试题解析 I由得ACBD, AD CD.【答案】I丨详见解析；n23方2【解析】试题分析 I证AC / EF，再证ACABC，最后根据锥体的体积公式求五棱锥AD CDAE CF又由AE CF得，故AC / EF.由此得貯RDEF丄也儿 所丄加1(ID由EFllAC得集二普

18、1/£J AD由 A£= 5 JC = &得 DO = BO=-Q = 4.所 dOHiDE =DH=M于是 0Df2 + 0H: = (22 +1: = 9 =v 故 OZV_O乩由(I) W AC - HDf - XAC -BDDCHDr = H f所AC丄平更阴Q；于是月C OD一学科调又由 O"丄OHZACCOH =O,所从 ODf_平面.4BC.又由务三鬻得跻岭11969MOS=-X6XS-X-X3=_.脱五樓锥。®E体积叫苧2屁普10、如图，四棱锥 P ABC D 中，PA 平面 ABCD, AD/ BC , AB ADAC 3?PA BC 4, M为线段AD上一点，AM 2MD , N为PC的中点.I证明MN /平面PAB ；II求四面体N BCM的体积.4,5【答案】I见解析；II 3【解析】从而得到MW AT