第2章线性系统的数学模型

1、自动控制原理自动控制原理 第第2章章 线性系统数学模型线性系统数学模型信息控制类专业最重要的专业基础课之一信息控制类专业最重要的专业基础课之一张晓玲张晓玲信息与计算科学系信息与计算科学系第第2章章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型n2-1 引言引言n2-2 时域模型（微分方程）时域模型（微分方程）n2-3 复域模型（传递函数）复域模型（传递函数）n2-4 结构图结构图n2-5 信号流图和梅逊增益公式信号流图和梅逊增益公式n2-6 小结小结2-1 引言引言n1.数学模型的概念数学模型的概念描述系统变量之间关系的表达式，自控系统分描述系统变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。析与设计

2、的基础。n2.数学模型的研究意义数学模型的研究意义能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性能进行统的性能进行定量定量的分析和计算。的分析和计算。n3.数学模型的种类数学模型的种类静态模型：静态条件下各变量之间的关系静态模型：静态条件下各变量之间的关系动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程n4.数学模型的建立方法数学模型的建立方法分析法（白箱模型）分析法（白箱模型）u对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛学规律列写相

3、应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等顿定律、热力学关系等等实验法（黑箱模型）实验法（黑箱模型）u人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识统辨识n综合法（灰箱模型）综合法（灰箱模型）u但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。统的数学模型。u实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般实际控制

4、系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化u但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。准确性，使系统的数学模型过于复杂。n数学模型的形式数学模型的形式时域（时域（t） ： 微分方程微分方程复域（复域（s）：）： 传递函数传递函数频域（频域（w）：频率特性）：频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程

5、微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换2-2 时域数学模型时域数学模型 时域中数学模型的基本形式是时域中数学模型的基本形式是微分方程。微分方程。 线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为：线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为：常系数线性微分方程，其一般形式可表为：常系数线性微分方程，其一般形式可表为：1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnn

6、nnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtdr tdr tdr tbbbb r tdtdtdtn其中其中 系统输出，系统输出， 系统输入系统输入n特点：特点：各变量及其导数以一次幂出现，且无交叉相乘各变量及其导数以一次幂出现，且无交叉相乘线性线性各系数都是常数各系数都是常数定常定常系统中各信号随时间连续变化系统中各信号随时间连续变化连续连续( )c t( )r t1.1.微分方程的建立微分方程的建立【例例1】RLC电路如下图，分析输入电压电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下作用下电容上电压电容上电压uc(t)的变化。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)+_

7、+_依据电学中的基尔霍夫定律依据电学中的基尔霍夫定律 ( )( )( )( ), 1rcdi tu tRi tLu tdt（）1( )( ),(2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt)()()()(22tudttudLCdttduRCtuCCCr(2)式两边求导消去中间变量式两边求导消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)( )( )( )( )CCCrLCutRCututu t整理成规范形式整理成规范形式RLC电路的微分方程为：电路的微分方程为：注意：写微分方程时，常习惯于把注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微

8、分的次数由的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列高到低排列 。微分方程数学模型的标准形式微分方程数学模型的标准形式( )( )( )( )CCCrLCutRCututu tn微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。系统的运动，必须列写系统的微分方程。n列写微分方程的基本步骤：列写微分方程的基本步骤：1) 确定系统的输入量和输出量确定系统的输入量和输出量2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学信号传递的顺序，依据各变量所遵

9、循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。定律，列出各环节的线性化原始方程。3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。的微分方程式，并且化为标准形式。【例例2】求下图所示运算放大器的数学模型。求下图所示运算放大器的数学模型。图中图中Rf是反馈电阻，是反馈电阻，if是反馈电流，是反馈电流，Ri是输是输入电阻，入电阻，ur和和ir是输入电压和电流，是输入电压和电流，uc是输是输出电压出电压urucRfRiRirif-+n 理想运算放大器：理想运算放大器：虚短虚短/虚断虚断虚短：虚短：虚断：虚断：n运算放大器的数学模型为运算放

10、大器的数学模型为crifuuuuRR)()(tuRRturifcurucRfRiRirif-+0iiuu2.线性系统的特点线性系统的特点n1）定义）定义如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统系统就是线性系统具有具有迭迭加性加性和和齐次性齐次性的元件称为线性元件。的元件称为线性元件。n2）性质：满足叠加原理）性质：满足叠加原理迭迭加性加性齐次性齐次性 设元件输入为设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)， 对应的输出为对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c

11、2(t) 满足满足迭加性迭加性如果如果 r(t)=ar1(t)时，时，c(t)=ac1(t) 满足满足齐次性（均匀齐次性（均匀性）性） 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件17)()()()(22tutydttdydttyd例如，一个二阶模型均可以表示为例如，一个二阶模型均可以表示为)()()()(111212tutydttdydttyd),(),(2211yuyu分别满足上面的方程，即分别满足上面的方程，即)()()()(222222tutydttdydttyd),(22112211ycycucuc如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程如果系统是线性的，

12、那么下面的点也满足方程18)()()()(22tutydttdydttyd),(22112211ycycucuc代入下面的方程代入下面的方程)()()()()()(22112211222112tyctycdttyctycddttyctycd)()()()()()(2222222211112121tycdttdycdttydctycdttdycdttydc)()(2211tuctuc满足叠加原理和齐次性，所以是线性的满足叠加原理和齐次性，所以是线性的n3）叠加原理的意义）叠加原理的意义对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。带来了极大的方

13、便。迭迭加性表明：加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题简化了问题3. 3. 线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解

14、1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd u tdu tdu tbbbb u tdtdtdt【特征方程法特征方程法】hpyyynnnd ysdt00dya ydt00sasthyKe一阶一阶二阶二阶21020d ydyaa ydtdt2100sa sa2104aa 21101,242aaas21011,242ajaasj二阶齐次通解：二阶齐次通解：12120s ts thyK eK e 120ststhyK eK te 120(cossin)thyeKtKt【拉氏变换法拉氏变换法】【特征

15、方程法特征方程法】拉氏变换的定义：拉氏变换的定义：n设函数设函数 f( (t t) ) 当当t t=0=0时有定义，而且积分时有定义，而且积分 存在，则称存在，则称F(F(s) )是是f(t)的拉普拉斯的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。变换，简称拉氏变换。nf( (t t) )称为称为F(s)F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtf拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值时的初始值。)

16、()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL) 0 () 0 () 0 ()()() 1(21)(nnnnnffsfssFstfL拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识(3)积分性质积分性质 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。对对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为如果原函数如果原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则则sfssFdttfL)0()()()1(dttf)() 0() 1(f)(1)(sFsdttfLnn )0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdt

17、tfL拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识(4) 终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，则不能用不存在，则不能用终值定理。终值定理。对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5) 初值定理：初值定理：(6) 位移定理：位移定理：)(lim)(lim0ssFtfstt)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs )()(asFtfeLat实位移定理实位移定理复位移定理复位移定理拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识(7)时间比例尺定理

18、时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。乘积。 )()(asaFatfL)()()()(21021sFsFdftfLt拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识f(t)F(s)f(t)F(s)d d(t)1sin t1(t)cos t t(t) 21sate22s22ssteatsinteatcos22)( a

19、s22)(asas1sa1sn几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换 1) 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算称为拉的运算称为拉氏反变换氏反变换,记记 。 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。 按上式求原函数太复杂，一般用查拉氏变换表的按上式求原函数太复杂，一般用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换。方法求拉氏反变换。)(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将不能在表中直接找到原函数，则需

20、要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。氏变换在表中可以查到。例：例：)(1)(bsassF1111) 1(1)(22ssssssF) 1(1)(2sssF)11(1bsasababeetfbtat)(则例：求例：求 的逆变换。的逆变换。tetsFLtf1)()(1拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识例例.的逆变换2)1(1)(sssF1) 1() 1(2cssbssa则2) 1(1)(scsbsasF解：1, 1, 1cba对应项系数相等得ttteetfssssF1)() 1(1111)(2拉氏变换的基本知识拉氏变

21、换的基本知识2）. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法n情况一情况一: F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开成总能展开成如下简单的部分分式之和如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)(1, 2,)( )0,( )()( )iiiiisppinD sMsccspD s式 中是的 根是 常 数 ,拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识321)3)(2)(1(1)(321scscscssssF例：61)1() 3)(2)(1(111sssssc15

22、1)2() 3)(2)(1(122sssssc101)3()3)(2)(1(133sssssc31101211511161)(ssssFttteeetf3210115161)(拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识n情况情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点求拉式反变换,545)(2ssssF1)2(321)2(5545)(222ssssssssF解：1)2(31)2(222sssteteyttsin3cos22拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识n情况情况3:F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重极点重极点 ,而其而其余极点均不相同。余极点均不相同。那么那么11)()()()()()

23、()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,11111111nlpslllpsliiilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识3321432331332213113131021( ),(1)( )(1)(1)11(1) 1(1)11(1) ( )()

24、1(1)11(2)1,12!(1)1( )12sssssstttF sf ts sbbbcF sssssbss sddbssds s sds sbscss sf tt etee 例求 ()拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本知识【例例1】RC电路如图所示电路如图所示rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()(微分方程为：微分方程为：n引例引例)()()(tutudttduRCrcc对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc( )( )( )ccrRC sususus4. 4. 运动的模态运动的模态n n

25、阶微分方程，阶微分方程，n n个特征方程根个特征方程根无重根无重根 模态（振型）模态（振型） 齐次通解齐次通解多重根多重根 模态（振型）模态（振型）共轭复根共轭复根 共轭复模态（振型）共轭复模态（振型） 实函数模态实函数模态 齐次通解齐次通解12,n 12,nttteee12012( )ntttny tcec ec e2,tttetet e()(),jtjteesin,costtet et012( )sincostty tcetc et5. 5. 非线性系统的线性化非线性系统的线性化n1）实际物理系统都是非线性的）实际物理系统都是非线性的n2）常见的非线性）常见的非线性000输入输出输入输出输

26、入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）n3）线性化方法）线性化方法非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。性分析大为简化，有很大的实际意义。方法：切线法方法：切线法/小偏差法小偏差法/增量线性化法增量线性化法 泰勒级数展开泰勒级数展开0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) 如果如果 A(x0,y0)为平衡点，函数为平衡点，函数f(x)在平衡点处连续在平衡点处连续可微，则在平衡点附近展开成泰勒级数可微，则在平衡点

27、附近展开成泰勒级数 202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk 000()xdyyyxxdx 忽略二次以上的各项忽略二次以上的各项,得到得到非线性元件的线性化非线性元件的线性化数学模型数学模型其中其中 注意：注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析法进行分析。0继电特性0饱和特性解：稳定工作点解：稳定工作点稳态方程稳态方程 泰勒

28、级数展开：泰勒级数展开：则有：则有：线性化方程为：线性化方程为：2000()0.24(2)rrrdRRCuuudtr000()0.48rrdRuRCudtr00.48rrRudRCudtr 00.48rrRudRCudtr2-2 复域数学模型：传递函数复域数学模型：传递函数n时域数学模型：微分方程时域数学模型：微分方程优点：直观，易于分析系统响应优点：直观，易于分析系统响应缺点缺点: 结构改变或者参数变化时，必须重新列写结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计微分方程，不便于系统分析和设计n复数域数学模型：传递函数复数域数学模型：传递函数经典控制理论中最基本最重要的概

29、念经典控制理论中最基本最重要的概念1.传递函数定义传递函数定义n定义：定义：零初始条件下零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。表示。)()()(sRsCsG)(sG)(sR)(sC49设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 式中式中c(t)是系统输出量，是系统输出量

30、，r(t)是系统输入量，是系统输入量，ai，bj是与系统结构和参数有关的常系数是与系统结构和参数有关的常系数设设r(t)和和c(t)及其各阶系数在及其各阶系数在t = 0时的值均为零，即时的值均为零，即零零初始条件初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令)()(),()(trLsRtcLsC50)()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 对常微分方程求拉氏变换，得对常微分方程求拉氏变换，得)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 于是，由定义得系统传递函数为：于

31、是，由定义得系统传递函数为：mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)(其中其中512. 传递函数的性质传递函数的性质)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm n性质性质1.1. 传递函数只适用于线性定常系统。传递函数只适用于线性定常系统。n性质性质2.2. 传递函数取决于系统或元件的结构和参数，传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关；而且只描述与输入量的形式（幅度与大小）无关；而且只描述输出与输入的关系，不反映任何该系统的物理结构。输出与输入的关系，不反映任何该系统

32、的物理结构。因而许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数因而许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数G(s) R(s) C(s)()()(sRsGsC52n 性质性质4.4. 零初始条件时，不可约分。零初始条件时，不可约分。n性质性质3.3. 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数的有理真分式函数（ ），具有复变量函数的所有性质。），具有复变量函数的所有性质。nm)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm n 性质性质5.5. 一个传递函数只能表示一个输入与一个输一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输

33、入、多输出系统，要用传出之间的关系，对于多输入、多输出系统，要用传递函数矩阵来表示。递函数矩阵来表示。n 性质性质6.6. 拉氏反变换拉氏反变换G(s)G(s)是脉冲响应是脉冲响应g(t)g(t)。533 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点n多项式形式多项式形式n零极点形式零极点形式n时间常数形式时间常数形式10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s是极点是零点，)2 , 1()2 , 1()()()()()()()(210210nipmizpspspsazszszsbsNsMsGiinm是时间常数，)2

34、 , 1()2 , 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()()(n21nm21mniTmisTsTsTasssbsNsMsGii1012012100()()()()( )( )( )()()()()(1,2)(1,2)mjjmnniijiszb szszszM sG sKN sa spspspspzjmp inbKa是零点，常用 表示是极点，常用 表示传递系数或根轨迹增益：零点和极点零点和极点554 典型环节的传递函数典型环节的传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的1）比例环节（放大环节）比例环节（放大环节）KsG)()

35、()(tKrtc特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟2） 积分环节积分环节ssG1)(特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消失，输出具有记忆功能。失，输出具有记忆功能。56理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分3） 微分环节微分环节( )G ss1)( ssG12)(22sssG特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势输入信号的变化趋势4）惯性环节）惯性环节11)(TssG)()()(trtctcT特点：含一个储能元件，对突变的输入其

36、输出不特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡能立即复现，输出无振荡575） 振荡环节振荡环节1212)(22222TssTsssGnnnnT1是阻尼比，是阻尼比， 时有振荡时有振荡10n是自然振荡角频率是自然振荡角频率特点特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡能量交换，其输出出现振荡实例实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数电路的输出与输入电压间的传递函数2-4 结构图结构图n1.结构图的概念和基本组成结构图的概念和基本组成将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，将方框图中各时间域中的变量用其拉

37、氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时时方框图方框图就变成了就变成了结构图结构图。控制器控制器调节阀调节阀加热水箱加热水箱温度传感器温度传感器温度温度给定值给定值输出输出温度测量值温度测量值干扰干扰Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s)R(s)C(s)(1)信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。在直线旁标记信号的时间函数或象函数。(2)方框方框(环节环节)：表示输入到表示输入到输出单向传输间的函数关系输出单向传输间的函数关系G(s)(sR)(sC信

38、号线方框(3)引出点引出点（分支点、测量点）（分支点、测量点）:表示信号测量或引表示信号测量或引出的位置出的位置 )(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sP)(sP60(4)比较点比较点（合成点、综合点）（合成点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 “+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写号可省略不写 CRERC321TTTE1T2T3T注意：注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲进行相加减的量，必须具有相同的量纲612 结构图的绘制结构图的绘制（1 1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分）考虑负

39、载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示方程或传递函数，并将它们用方框表示（2 2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的结构图各方块连接起来，便可得到系统的结构图系统结构图系统结构图- -也是系统数学模型的一种也是系统数学模型的一种 【例例2.4】绘制绘制RC网络的结构图网络的结构图643. 结构图的简化等效变换结构图的简化等效变换结构图简化：对方块图进行等效变换，得到等结构图简化：对方块图进行等效变换，得到等效传递函数效传递函数等效变换原则等效变换原则：变换前后各变量之间的传递函：变换前后各变量

40、之间的传递函数保持不变数保持不变方框的三种基本连接方式：串联、并联和反馈方框的三种基本连接方式：串联、并联和反馈65R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b）（1）串联连接 等效变换特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量?)(sG66)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(321123231212211sGsGsGsRsCsGsRsGsGsGsUsGsCs

41、RsGsGsUsGsUsRsGsUR R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sG结论：结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积的乘积niisGsG1)()(n为相串联的环节数 67（a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sCG G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )特点：特点：各环节的输入信号是相同的，均为各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输，输出出C(s)为各环节的输

42、出之和，所以为各环节的输出之和，所以（2 2）并联连接）并联连接)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC68)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()(1sGsGniin为相并联的环节数，当然还有“-”的情况 结论：结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的节传递函数的代数和代数和69（a a）C C( (s s

43、) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )（3 3）反馈连接）反馈连接比较点的比较点的“-”负反馈，负反馈，“”表示正反馈表示正反馈)()()()()()()(sCsHsRsGsEsGsC)()()()()(1 sRsGsCsHsG?开环传递函数前向通道传递函数1)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs70有关移动中，有关移动中，“前前”、“后后”的定义：按的定义：按信号流向信号流向定义定义，也即信号从，也即信号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是，而不是位置上的前后位置

44、上的前后（4）比较点和分支点（引出点）的移动）比较点和分支点（引出点）的移动C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )Q sC sR s G sQ sR sG sG s71 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsQ

45、sGsRsGsQsRsC72R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)()()(sGsRsC分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()(1)()()(sRsGsGsRsR73R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)或V1(s)V2(s)C(s)R(s

46、)(-)（5）比较点的交换或合并）比较点的交换或合并结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串 联联并并 联联反反 馈馈2 相邻比较点可互换位置、可合并相邻比较点可互换位置、可合并结构图等效变换方法结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式3 相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并 注意事项：注意事项：1 不是典型结构不可直接用公式不是典型结构不可直接用公式2 引出点比较点相邻，不可互换位置引出点比较点相邻，不可互换位置76【例例1 1】根据结构图求传递函数根据结构图求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)

47、G1G2G3G4H3H2H1R(s)C(s)ab77引出点移动abG1G2G3G4H3H2H1G41G1G2G3G4H3H2H1R(s)C(s)ab78引出点移动abG1G2G3G4H3H2H1G413434311HGGGG回路（回路（1 1）的闭环传函）的闭环传函G1G2H2H1G411abG1G2G3G4H3H2H1G4180G1G2H2H1G411回路（回路（2 2）的闭环传递函数的闭环传递函数3432324321224124412212211HGGHGGGGGHGGGGGGHG3434311HGGGGG1G2H2H1G411G1H12R(s)C(s)82整个系统的闭环传函为整个系统的闭

48、环传函为1211212342323431234111GH GGG G GG G HG G HGG G G H G1H12R(s)C(s)23422323431G G GG G HG G H 831. 1. 信号流图的组成及性质信号流图的组成及性质abG方框图表示方框图表示信号流图表示信号流图表示Gaba,b为节点，为节点，G为增益，表示关系为增益，表示关系2-5 信号流图和梅逊增益公式信号流图和梅逊增益公式节点节点表示系统的表示系统的变量变量支路支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递，号只能沿支路上的箭头指向传递，相当于乘法

49、器相当于乘法器节点的输出信号等于所有输入支路信号的叠加节点的输出信号等于所有输入支路信号的叠加信号流图的不唯一性信号流图的不唯一性Gab84信号流图中的术语信号流图中的术语n输入节点输入节点( (源节点源节点) )：只有输出支路，而没有输：只有输出支路，而没有输入支路的节点，一般代表系统的输入变量。入支路的节点，一般代表系统的输入变量。)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg185n输出节点输出节点( (阱节点阱节点) )：只有输入支路，而没有输：只有输入支路，而没有输出支路的节点，一般代表系统的输出变量。出支路的节点，一般代表系统的输出变量。)(sR)(sN1

50、H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg186n混合节点混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。：既有输入支路，又有输出支路的节点。)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg187n前向通路前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经只经 过一次过一次，最终到达输出节点的通路前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总前向通路总增益增益 用 表示 kp)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefg188各前向通道及其通道增益各前向通道及其通道增益211GGp CfedcbaR232GGp )(sR)(sN1H2H

51、3H1G2G3G)(sC11111CfedaRabcdefg189)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111n回路回路: :起点和终点在同一节点，且信号经过每一个节点不多于一次不多于一次的闭合通道称为回路回路中所有支路增益的乘积称为回路增益回路增益，用 表示aLabcdefg190)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111部分回路及其回路增益部分回路及其回路增益111HGL3212HGGLbgcbbgfedcbdfed223HGLabcdefg191)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111abcdefgn不接触回路：不接触回路：回路之间没有公共

52、节点时，这种回路叫做不接触回路192)(sR)(sN1H2H3H1G2G3G)(sC11111图中的不接触回路图中的不接触回路bgcbabcdefgdfed111HGL222LG H 1932 信号流图的绘制信号流图的绘制 由微分方程绘制由微分方程绘制（仅作了解）（仅作了解）1 1）将各环节转化为传递函数，再画信号流图）将各环节转化为传递函数，再画信号流图2 2）对系统每个变量指定一个节点）对系统每个变量指定一个节点3 3）按照系统中的变量的因果关系，从左至右）按照系统中的变量的因果关系，从左至右顺序排列顺序排列4 4）根据数学关系将各节点变量正确连接，标）根据数学关系将各节点变量正确连接，标

53、明支路增益明支路增益94在结构图上用小圆圈标出传递函数的信号，即得在结构图上用小圆圈标出传递函数的信号，即得到节点到节点用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路得到支路由系统方块图绘制由系统方块图绘制（需要掌握）（需要掌握） 95n由结构图转化为信号流图时，节点数量要尽由结构图转化为信号流图时，节点数量要尽量精简量精简支路传输增益为支路传输增益为1的相邻两个节点可以合并的相邻两个节点可以合并比较点与其之后的引出点比较点与其之后的引出点可以可以合并合并比较点与其之前的引出点比较点与其之前的引出点不能不能合并合并96HRBC1G2G3G4G1A2A【例例1 1】画出所示系统方块图的信号流图画出所示系统方块图的信号流图97HRBC1G2G3G4G1A2A解：用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点A1,A2 可以与引出点合并R1A1