计算机图形学第八章

1、1第八章第八章 曲线和曲面曲线和曲面o 提出问题提出问题 由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。实验特性、变化规律和趋势等。2第八章第八章 曲线和曲面曲线和曲面o 基本概念基本概念o 三次样条三次样条38.1 基本概念基本概念o 曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展o 曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求o 曲线曲面的表示曲线曲面的表示o 插值与逼近插值与逼近o 连续

2、性条件连续性条件o 样条描述样条描述4曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展o 弗格森双三次曲面片弗格森双三次曲面片o 孔斯双三次曲面片孔斯双三次曲面片o 样条方法样条方法o Bezier方法方法o B样条方法样条方法o 有理有理Beziero 非均匀有理非均匀有理B样条方法样条方法5曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求o 唯一性唯一性o 几何不变性几何不变性o 易于定界易于定界o 统一性统一性o 易于实现光滑连接易于实现光滑连接o 几何直观几何直观6曲线曲面的表示曲线曲面的表示o 参数法表示参数法表示o 参数法表示的优点参数法表示的优点n 点动成线点动成线n 通常总是能够选取那些具有几

3、何不变性的参通常总是能够选取那些具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。数曲线曲面表示形式。n 用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率 1 , 0 )(ttpp7曲线曲面的表示曲线曲面的表示n t0,1 ，使其相应的几何分量是有界使其相应的几何分量是有界的。的。n 可对参数方程直接进行仿射和投影变换。可对参数方程直接进行仿射和投影变换。n 参数变化对各因变量的影响可以明显地表参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。示出来。8插值与逼近插值与逼近o 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。称为样条。o

4、样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。在每段的边界处满足特定的连续条件。o 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。9插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。图图8.1 曲线的拟合曲线的拟合10插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过

5、控制点列。面的形状时，求出的形状不必通过控制点列。图图8.2 曲线的逼近曲线的逼近11插值与逼近插值与逼近o 求给定型值点之间曲线上的点求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。称为曲线的插值。o 将连接有一定次序控制点的直将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征线序列称为控制多边形或特征多边形。多边形。图图8.2 曲线的逼近曲线的逼近12连续性条件连续性条件o 假定参数曲线段假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：以参数形式进行描述：o 参数连续性参数连续性n 0阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线连续性，是指曲线的几何位置连接，即的几何位置连接，即t ,t t

6、)(i1i0tppii)()(0)1()1(1iiiitptp13连续性条件连续性条件n 1阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C1连续性，指代表两连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：阶导数：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且14连续性条件连续性条件n 2阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。和二阶导数。 图图8.3 曲线段的参数连续性曲线段的参数连续性15连续性

7、条件连续性条件o 几何连续性几何连续性n 0阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G0连续性，与连续性，与0阶参阶参数连续性的定义相同，满足：数连续性的定义相同，满足： )()(0)1()1(1iiiitptp16连续性条件连续性条件n 1阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例在相邻段的交点处成比例n 2阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。17样条描述样条描述on次样条参数多项式曲线的矩阵次样条参数多项式曲线的矩阵0,1 t)

8、()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnn18样条描述样条描述0,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn198.2 三次样条三次样条o 给定给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：多项式曲线： 0,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx20自然三次样条自然三次样条o 定义：给定定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次

9、参数样条曲线，要求在所有曲造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。连续性。o 还需要两个附加条件才能解出方程组。还需要两个附加条件才能解出方程组。21自然三次样条自然三次样条o 特点特点n 只适用于型值点分布比较均匀的场合只适用于型值点分布比较均匀的场合n 不能不能“局部控制局部控制” 22三次三次Hermite样条样条o 定义：假定型值点定义：假定型值点Pk和和Pk+1之间的曲线段为之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量给定矢量Pk、Pk

10、+1、Rk和和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：样条曲线：11) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp23o 推导推导CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(232324o Mh是是Hermite矩阵矩阵。Gh是是Hermite几何矢量几何矢量。hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC111110001010012331122012301001111100025三次三次Hermite样条样条o 三次三次Hermite样条曲线的方程为：样条曲线的方程为

11、：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh26三次三次Hermite样条样条o 通常将通常将TMk称为称为Hermite基函数（或称混合基函数（或称混合函数，调和函数）：函数，调和函数）： )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk27三次三次Hermite样条样条图图8.4 Hermite基函数基函数28三次三次Hermite样条样条o 特点特点n 可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。点约束。n

12、 基于基于Hermite样条的变化形式：样条的变化形式：Cardinal样条和样条和Kochanek-Bartels样条。样条。n Hermite曲线具有几何不变性。曲线具有几何不变性。298.3 Bezier曲线曲面曲线曲面o Bezier曲线的定义曲线的定义 o Bezier曲线的性质曲线的性质o Bezier曲线的生成曲线的生成o Bezier曲面曲面30Bezier曲线的定义曲线的定义图图8.5 Bezier曲线曲线31Bezier曲线的定义曲线的定义o 定义定义 o Bernstein基函数具有如下形式：基函数具有如下形式：o 注意：当注意：当k=0，t=0时，时，tk=1，k!=1

13、。nknkktBENPtp0,0,1 t)()(n,0,1,k 11!)(,knkknknknkttCttknkntBEN32Bezier曲线的定义曲线的定义o 一次一次Bezier曲线（曲线（n=1）10101 , 1, 0)1 ()()(kkkttPPttBENPtp33Bezier曲线的定义曲线的定义o 二次二次Bezier曲线（曲线（n=2） 1, 0)(2)2()1 (2)1 ()()(00120122022102,tPtPPtPPPPtPttPttBENPtpknkk34Bezier曲线的定义曲线的定义o 三次三次Bezier曲线（曲线（n=3） 1, 0)1 (3)1 (3)1

14、()()()()()()(3322120333 , 323 , 213 , 103 , 030,tPtPttPttPtPtBENPtBENPtBENPtBENtBENPtpknkk 1, 000010033036313311)(321023tGMTPPPPttttpbebe35Bezier曲线的定义曲线的定义OtB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)图图8.6 三次三次Bezier曲线的四个曲线的四个Bezier基函数基函数36Bezier曲线的性质曲线的性质o 端点端点0, 11, 000, )0()0()0( )0()0(PBENPBENPBENPBENPpnnnnnnk

15、nkknnnnnnnknkkPBENPBENPBENPBENPp ) 1 () 1 () 1 ( ) 1 () 1 (, 11, 000,37Bezier曲线的性质曲线的性质o 一阶导数一阶导数)()()1 ()!) 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1)()1 ()!( !)(1,1, 1)1()1()1(111,tBENtBENnttknknnttknknnttknttkknkntBENnknkknkknkkknknknk38Bezier曲线的性质曲线的性质nknkkknnnnnnnknknkktBENPPntBENPPtBENPPtBENPPntBENtBENPnt

16、p11, 111, 111, 1121, 00101,1, 1)()()()(.)()()()()()()()()0()() 1 ()()0()()0(111, 110111, 11nnnknkkknknkkkPPnBENPPnpPPnBENPPnp39Bezier曲线的性质曲线的性质o 二阶导数二阶导数n Bezier曲线在起始点和终止点处的二阶导曲线在起始点和终止点处的二阶导数分别取决于最开始和最后的三个控制点。数分别取决于最开始和最后的三个控制点。)()(1() 1 ()()(1()0(112 0112 nnnnPPPPnnpPPPPnnp40Bezier曲线的性质曲线的性质o 对称性对

17、称性 保持控制多边形的顶点位置不变，仅仅把保持控制多边形的顶点位置不变，仅仅把它们的顺序颠倒一下，将下标为它们的顺序颠倒一下，将下标为k的控制点的控制点Pk改为下标为改为下标为n-k的控制点的控制点Pn-k时，曲线保持不时，曲线保持不变，只是走向相反而已。变，只是走向相反而已。41Bezier曲线的性质曲线的性质o 凸包性凸包性o Bezier曲线各点均落在控制多边形各顶点构成曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中。的凸包之中。o Bezier曲线的凸包性保证了曲线随控制点平稳曲线的凸包性保证了曲线随控制点平稳前进而不会振荡。前进而不会振荡。0)1 ()!( !)(,knknkttknk

18、ntBENnknknknknkttttknkntBEN00,1)1()1 ()!( !)(42Bezier曲线的性质曲线的性质o 几何不变性几何不变性o 差变减少性差变减少性o 控制顶点变化对曲线形状的影响控制顶点变化对曲线形状的影响43Bezier曲线的生成曲线的生成o 绘制一段绘制一段Bezier曲线曲线knCnknknknCknkn11)!( !nknkknknkknknkktBENztzttBENytytBENxtx0,0,0,)()( 1, 0)()()()(44Bezier曲线的生成曲线的生成o Bezier曲线的拼接：曲线的拼接：如何保证连接处具有如何保证连接处具有G1和和G2连

19、续性。连续性。n 在两段三次在两段三次Bezier曲线间得到曲线间得到G1连续性连续性)(3)0()(3) 1 (012231QQpPPp为实现为实现G1连续，则有：连续，则有：) 1 ()0(12pp)(2301PPQQ45Bezier曲线的生成曲线的生成n 在两段三次在两段三次Bezier曲线间得到曲线间得到G2连续性连续性)2()2() 1 ()0(32121012PPPQQQpp 图图8.7 两段三次两段三次Bezier曲线的连接曲线的连接46Bezier曲面曲面o 定义定义 1 , 0 1 , 0),()()(),(00,vuvBENuBENPvupminjnjmijiBENi,m(

20、u)与与BENj,n(v)是是Bernstein基函数基函数 47Bezier曲面曲面48Bezier曲面曲面o 双三次双三次Bezier曲面曲面(m=n=3) 1 , 0 1 , 0),()()(),(30303 ,3 ,vuvBENuBENPvupijjiji图图8.8 双三次双三次Bezier曲面及其控制网格曲面及其控制网格49Bezier曲面曲面TTbebeVPMUMvup),(3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0232300010033036313311,1PPPPPPPPPP

21、PPPPPPPMvvvVuuuUbe50Bezier曲面的性质曲面的性质o 控制网格的四个角点正好是控制网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个曲面的四个角点。角点。o 控制网格最外一圈顶点定义控制网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条曲面的四条边界，这四条边界均为边界，这四条边界均为Bezier曲线。曲线。o 几何不变性、对称性、凸包性等。几何不变性、对称性、凸包性等。51Bezier曲面的拼接曲面的拼接o 0阶连续性只要求阶连续性只要求在边界上匹配控制点；在边界上匹配控制点；o 1阶连续性则要求在边界曲线上的任何一点，阶连续性则要求在边界曲线上的任何一点，两个曲面片跨越边界的切线矢量

22、应该共线，而两个曲面片跨越边界的切线矢量应该共线，而且两切线矢量的长度之比为常数。且两切线矢量的长度之比为常数。52Bezier曲面的拼接曲面的拼接图图8.9 Bezier曲面片的拼接曲面片的拼接538.4 B样条曲线曲面样条曲线曲面o B样条曲线样条曲线o B样条曲线的性质样条曲线的性质o B样条曲面样条曲面54B样条曲线样条曲线o Bezier曲线的不足曲线的不足n 控制多边形的顶点个数决定了控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线曲线的阶数，且当顶点个数较大时，控制多边形的阶数，且当顶点个数较大时，控制多边形对曲线的控制将会减弱；对曲线的控制将会减弱；n 不能作局部修改，任何一个控制点

23、位置的变不能作局部修改，任何一个控制点位置的变化对整条曲线都有影响。化对整条曲线都有影响。55B样条曲线样条曲线o 定义定义n de Boor点点n B样条控制多边形样条控制多边形n B样条基函数样条基函数nkk,mk(t)BPp(t)056B样条曲线样条曲线o 参数说明参数说明n m是曲线的阶数，是曲线的阶数，(m-1)为为B样条曲线的次样条曲线的次数，曲线在连接点处具有数，曲线在连接点处具有(m-2)阶连续。阶连续。 tBtttttBtttttBttttBmkkmkmkmkkmkkmkkk1, 111,1,1k1 ,)( 0 1)(其它若57B样条曲线样条曲线n tk是节点值，是节点值，T

24、（t0，t1，tnm）构成）构成了了m1次次B样条函数的节点矢量。样条函数的节点矢量。o 节点矢量分为三种类型：均匀的，开放均匀的节点矢量分为三种类型：均匀的，开放均匀的和非均匀的。和非均匀的。58B样条曲线样条曲线o 均匀周期性均匀周期性B样条曲线样条曲线 当节点沿参数轴均匀等距分布，即当节点沿参数轴均匀等距分布，即tk+1tk=常数时，所生成的曲线称为均匀常数时，所生成的曲线称为均匀B样条曲线。样条曲线。)2()()(, 2, 1,ttBttBtBmkmkmk)()(, 0,tktBtBmmk59B样条曲线样条曲线o 均匀二次（三阶）均匀二次（三阶）B样条曲线样条曲线 取取n=3，m=3，

25、则则n+m=6，不妨设节不妨设节点矢量为：点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： tBmtmktBmkttBktktBmkmkmkk1, 11,1 ,11)(其它 01 1)(60B样条曲线样条曲线32 )3(2121 )3)(1(21)2(2110 21 )(223 , 0ttttttttttB43 )4(2132 )4)(2(21)3)(1(2121 ) 1(21)(223 , 1ttttttttttB61B样条曲线样条曲线54 )5(2143 )5)(3(21)4)(2(2132 )2(21)(223 , 2ttttttttttB65 )6(2154 )6)(4(21)5)(3(

26、2143 ) 3(21)(223 , 3ttttttttttB62B样条曲线样条曲线图图8.10 四段二次四段二次(三阶三阶)均匀均匀B样条基函数样条基函数63B样条曲线样条曲线o 曲线的起点和终点值：曲线的起点和终点值：o 均匀二次均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：样条曲线起点和终点处的导数：)(21)(),(21)(3210PPendpPPstartp2301)(,)(PPendpPPstartp64B样条曲线样条曲线o 对于由任意数目的控制点构造的二次均匀周对于由任意数目的控制点构造的二次均匀周期性期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，

27、终止点位于最后两个控制两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间。点之间。o 对于高次多项式，起点和终点是对于高次多项式，起点和终点是m1个控个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。次，样条曲线会更加接近该点。65B样条曲线样条曲线o 三次周期性三次周期性B样条曲线样条曲线 取取m=4，n=3，节点矢量为：节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 43)4(6132 )2()4(61) 1)(3)(4(61)3(6121 ) 1)(4(61) 1)(3(61)2(611061 ) 1(34)(3)( 322223

28、3 , 03 , 04, 0tttttttttttttttttttttBttBttB66B样条曲线样条曲线0,1) t 61)() 1333(61)()463(61)() 133(61)(34, 3234, 2234, 1234, 0ttBttttBtttBttttB67B样条曲线样条曲线0,1) t 0141030303631331611)(3210233210434241400,BB,nkmkkGMTPPPPtttPPPP(t)B(t)B(t)B(t)BBPtp68B样条曲线样条曲线o 三次周期性三次周期性B样条曲线的边界条件样条曲线的边界条件)(21) 1 ()(21)0()4(61)

29、1 ()4(61)0(1302321210PPpPPpPPPpPPPp图图8.11 四个控制点的三次周期性四个控制点的三次周期性B样条曲线样条曲线69B样条曲线样条曲线o 开放均匀开放均匀B样条曲线样条曲线 节点矢量可以这样定义：节点矢量可以这样定义：令令L=n-m，从从0开始，按开始，按titi+1排列。排列。2mn),.,1,1,2,.,0,.,0(TmmkkkkmLimLimmiLmiti021070B样条曲线样条曲线o 开放均匀的二次（三阶）开放均匀的二次（三阶）B样条曲线样条曲线 假设假设m=3，n=4，节点矢量为：节点矢量为：T=(t0 ,t1,tn+m) =(t0 ,t1, t2

30、, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 21 )2(2110 )34(21)(10 )1 ()(23 , 123 , 0ttttttBtttB71B样条曲线样条曲线32 )2()( 32 )3)(53(2121 ) 1(21)(32 )3(2121 )3)(1(21)2(2110 21)(23 , 423 , 3223 , 2tttBttttttBttttttttttB72B样条曲线样条曲线图图8.12 开放均匀的二次开放均匀的二次B样条基函数样条基函数73B样条曲线样条曲线o 非均匀非均匀B样条曲线样条曲线 图图8.13 非均匀非均匀B样条曲线的

31、基函数样条曲线的基函数74B样条曲线的性质样条曲线的性质o 局部支柱性局部支柱性 B样条的基函数是一个分段函数，其重要样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在特征是在参数变化范围内，每个基函数在tk到到tk+m的子区间内函数值不为零，在其余区的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性。性。 75B样条曲线的性质样条曲线的性质图图8.14 B样条曲线的局部支柱性样条曲线的局部支柱性76B样条曲线的性质样条曲线的性质o B样条的凸组合性质样条的凸组合性质 B样条的凸组合性和样条的凸组合性和B样条基函数

32、的数样条基函数的数值均大于或等于值均大于或等于0保证了保证了B样条曲线的凸包样条曲线的凸包性，即性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。的凸包之内。 t ,t t 1)(1n1 -m0,nkmktB77B样条曲线的性质样条曲线的性质图图8.15 B样条曲线与样条曲线与Bezier曲线的凸包性比较曲线的凸包性比较78B样条曲线的性质样条曲线的性质o 连续性连续性n 若一节点矢量中节点均不相同，则若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（阶（m-1次）次）B样条曲线在节点处为样条曲线在节点处为m-2阶连续。阶连续。n B样条曲线基函数的次数样条曲线基函数的次数与控

33、制顶点个数无关。与控制顶点个数无关。n 重节点问题重节点问题 图图8.16 具有重节点的三次具有重节点的三次B样条样条79B样条曲线的性质样条曲线的性质o 导数导数o 几何不变性几何不变性o 变差减少性变差减少性nkmkkmkkktBttPPmtp11n1 -m1,11t ,t t)() 1()(80B样条曲面样条曲面o 定义定义n 控制顶点、控制网格（特征网格）、控制顶点、控制网格（特征网格）、B样条基样条基函数。函数。n B样条曲面具有与样条曲面具有与B样条曲线相同的局部支柱样条曲线相同的局部支柱性、凸包性、连续性、几何不变性等性质。性、凸包性、连续性、几何不变性等性质。112222112

34、100,)()(),(nknkmkmkkkvBuBPvup818.5 有理样条曲线曲面有理样条曲线曲面o NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o 有理基函数的性质有理基函数的性质o NURBS曲线曲面的特点曲线曲面的特点82NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o 定义定义nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,)()()(83NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o 例：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的例：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量上的二次（三阶）节点矢量上的二次（三阶）B样条函数来拟合，样条函数来拟合，于是，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为：

35、取权函数为：10 11120rrrwww84NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o 则有理则有理B样条的表达式为：样条的表达式为：)(3 , 2)(3 , 1)(3 , 0)(3 , 22)(3 , 11)(3 , 0011)(ttttttBBrrBBPBPrrBPtp85NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o 然后取不同的然后取不同的r值得到各种二次曲线：值得到各种二次曲线：图图8.17 由不同有理样条权因由不同有理样条权因子生成的二次曲线段子生成的二次曲线段图图8.18 由有理样条函数生成由有理样条函数生成的第一象限上的圆弧的第一象限上的圆弧86NURBS曲线曲面的定义曲线曲面的定义o

36、 NURBS曲面可由下面的有理参数多项式函数曲面可由下面的有理参数多项式函数表示：表示：112222112111222211212100,00,)()()()(),(nknkmkmkkknknkmkmkkkkkvBuBwvBuBPwvup87NURBS曲线曲面的性质曲线曲面的性质o NURBS曲面可由下面的有理参数多项式函数曲面可由下面的有理参数多项式函数表示：表示：njmjjmkkmknkmkktBwtBwtRtRPtp0,0,)()()()()(88NURBS曲线曲面的性质曲线曲面的性质o 普遍性普遍性o 局部性局部性o 凸包性凸包性o 可微性可微性o 权因子权因子89NURBS曲线曲面的

37、特点曲线曲面的特点o 既为自由型曲线曲面也为初等曲线曲面的精确既为自由型曲线曲面也为初等曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式，因此，表示与设计提供了一个公共的数学形式，因此，一个统一的数据库就能够存储这两类形状信息。一个统一的数据库就能够存储这两类形状信息。o 为了修改曲线曲面的形状，既可以借助调整控为了修改曲线曲面的形状，既可以借助调整控制顶点，又可以利用权因子，因而具有较大的制顶点，又可以利用权因子，因而具有较大的灵活性。灵活性。90NURBS曲线曲面的特点曲线曲面的特点o 计算稳定且速度快。计算稳定且速度快。o NURBS有明确的几何解释，使得它对良好的有明确的几何解释，使得

38、它对良好的几何知识尤其是画法几何知识的设计人员特别几何知识尤其是画法几何知识的设计人员特别有用。有用。o NURBS具有强有力的几何配套计算工具，包具有强有力的几何配套计算工具，包括节点插入与删除、节点细分、升阶、节点分括节点插入与删除、节点细分、升阶、节点分割等，能用于设计、分析与处理等各个环节。割等，能用于设计、分析与处理等各个环节。91NURBS曲线曲面的特点曲线曲面的特点o NURBS具有几何和透视投影变换不变性。具有几何和透视投影变换不变性。o NURBS是非有理是非有理B样条形式以及有理与非有样条形式以及有理与非有理理Bezier形式的合适的推广。形式的合适的推广。o 需要额外的存

39、储以定义传统的曲线曲面。需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。o 权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随后的曲面结构。甚至毁掉随后的曲面结构。92NURBS曲线曲面的特点曲线曲面的特点o 某些技术用传统形式比用某些技术用传统形式比用NURBS工作得更好。工作得更好。例如，曲面与曲面求交时，例如，曲面与曲面求交时，NURBS方法特别方法特别难于处理刚好接触的情况。难于处理刚好接触的情况。o 某些基本算法，例如求反曲线曲面上的点的参某些基本算法，例如求反曲线曲面上的点的参数值，存在数值不稳定问题。数值，存在数值不稳定问题。938.6 曲线曲面的转换

40、和计算曲线曲面的转换和计算o 曲线曲面的转换曲线曲面的转换o 样条曲线曲面的离散生成样条曲线曲面的离散生成94曲线曲面的转换曲线曲面的转换11)(GMTtp22)(GMTtp2211)(GMTGMTtp12, 111122GMGMMG以三次周期性以三次周期性B样条变换到三次样条变换到三次Bezier样条为例样条为例95bebeBBGMTGMTtp)(BbeBBBbebeGMGMMG,114100420024001416101410303036313316100010033036313311,beBM96 三次三次Hermite样条矩阵：样条矩阵：0001010012331122hM000100

41、3303631331beM0141030303631331BM三次Bezier样条矩阵：三次均匀B样条矩阵：97样条曲线曲面的离散生成样条曲线曲面的离散生成o Horner规则规则o 向前差分计算向前差分计算o 细分细分98Horner规则规则o Horner规则是最简单和最直观的规则。该规规则是最简单和最直观的规则。该规则通过逐次分解因子来减少计算量。下面以三则通过逐次分解因子来减少计算量。下面以三次样条为例进行说明。次样条为例进行说明。zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx232323)()()(xxxxdtctbtatx)()(99向前差分计算向前

42、差分计算o 向前差分计算是求解多项式函数值最快的方法。向前差分计算是求解多项式函数值最快的方法。它采用了增量算法的思想，利用前次计算出的它采用了增量算法的思想，利用前次计算出的函数值以及当前的函数值增量来求出当前的函函数值以及当前的函数值增量来求出当前的函数值，以数值，以x坐标值为例坐标值为例o 每步的增量每步的增量 称为向前差分（称为向前差分（Forward Difference）。）。kkkxxx1100细分细分o 用少量的控制顶点来设计曲线形状，然后用细用少量的控制顶点来设计曲线形状，然后用细分过程来得到附加的控制点，可以对曲线的某分过程来得到附加的控制点，可以对曲线的某些小段作精确的调

43、整。些小段作精确的调整。图图8.19 四个控制点的四个控制点的Bezier曲线分成两段曲线分成两段1018.7 OpenGL生成曲线曲面生成曲线曲面o Bezier曲线曲面函数曲线曲面函数o B样条曲线曲面函数样条曲线曲面函数102Bezier曲线曲面函数曲线曲面函数o Bezier曲线曲面的求值函数曲线曲面的求值函数 void glMap1fd(GLenum target, TYPE t1, TYPE t2, GLint stride, GLint order, const TYPE *points); void glMap1fd(GLenum target, TYPE t1, TYPE t2, GLint stride, GLint order, const TYPE *points);103Bezier曲线曲面函数曲线曲面函数o 激活激活Bezier曲线曲面的求值函数曲线曲面的求值函数 glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3)