第十二章+结构动力计算(1)

1、第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算教学内容：教学内容：结构振动自由度的确定；单自由度体系无阻尼自由振动；阻尼对自由振动的影响；单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动；多自由度体系自由振动。教学要求：教学要求：1、了解多自由度系统振频、振型计算一般理论；2、理解振动自由度的概念；3、掌握单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动，多自由度体系自由振动。重点：重点：单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动。难点：难点：多自由度体系的自由振动第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-1 12-1 概述概述12-2 12-2 运

2、动方程的建立运动方程的建立12-3 12-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动12-4 12-4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响12-5 12-5 简谐荷载作用下无阻尼单自由度体简谐荷载作用下无阻尼单自由度体 系的受迫振动系的受迫振动12-6 12-6 多自由度体系的自振频率和振型计算多自由度体系的自振频率和振型计算第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、动荷载及其分类一、动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不的荷载

3、。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。的函数。 12-1 12-1 概述概述第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的变化规律进行分类： 载其他非确定规律的动荷风荷载地震荷载非确定性其他确定规律的动荷载突加荷载冲击荷载非周期非简谐荷载简谐荷载周期确定性动荷载第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、结构动力计算的目的二、结构动

4、力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。可靠性设计提供依据。 三、动力反应的特点三、动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除了与动荷载的变化规律有关移等）都随时间变化，它除了与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼自振频率、振型和阻尼）有）有关。关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻

5、尼、频率和振不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力结构的动力特性。特性。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 强迫振动：强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。究强迫振动，可得到结构的动力反应。 四、自由振动和强迫振动四、自由振动和强迫振动 自由振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起

6、的振动。、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。振型和阻尼参数。 结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的构的自由振动的频率自由振动的频率密切有关。密切有关。 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立几何参数数目，称为体系的独立几何参数数目，称为体系的自由度自由度。 根据自由度的数目，结构可分为根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多单自由度体系，多自由度体系和

7、无限自由度体系自由度体系和无限自由度体系。五、动力分析中的自由度五、动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义 将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。 2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：际结构简化为有限自由度。常用的简化方

8、法有：（1 1）集中质量法）集中质量法第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算m不计轴向变形不计轴向变形: : W=1W=1平面平面: :计轴向变形计轴向变形: W=2: W=2第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3.3.确定体系振动自由度的方法确定体系振动自由度的方法( b )( a )( c )( a )( b )( c )4 4个自由度个自由度2 2个自由度个自由度方法一方法一: :可以运用附加链杆法，使质量不发生可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移线位移所所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。方法二方法二: :当当忽略杆件的轴向变形忽略

9、杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法析中的铰接链杆法将所有质点和刚结点变为铰结点将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。杆数即为自由度数。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不计轴向变形：不计轴向变形： 1yy1y2W=1W=1W=2W=2第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算y321yyW=3W=3W=1W=1第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结论：结论： 结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静

10、定次数无关结构自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？数是多少？思考：思考：第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 描述体系振动时质点描述体系振动时质点动位移动位移的数学表达式，称的数学表达式，称为为动力体系的运动方程动力体系的运动方程（亦称振动方程）。（亦称振动方程）。 单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。微幅振动（线性振动）。 根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动

11、根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法刚度法和和柔度法。柔度法。12-2 12-2 运动方程的建立运动方程的建立第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算刚度法：刚度法：将力写成位移的函数，将力写成位移的函数，按平衡条件按平衡条件列出外列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。程），类似于位移法。 柔度法：柔度法：将位移写成力的函数，将位移写成力的函数，按位

12、移协调条件按位移协调条件列列出位移方程（柔度方程），类似于力法。出位移方程（柔度方程），类似于力法。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算质量质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载所产生的水平位移，可视为由动力荷载P P( (t t) )和惯和惯性力性力 共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得理，得一、按位移协调条件建立运动方程一、按位移协调条件建立运动方程柔度法柔度法 11( )( )( )( )y tP tmy tB 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1111柔度系数。柔度系数。表示在质量的运动表示在质量的运动方向施加单位力时，

13、在该运动方向所产方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。生的静力位移。11( )( )( )( )y tP tmy tB 11( )( )( )(12 1)y tmy tP t式（式（B B）可改写为：）可改写为：第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、单自由度体系的振动模型、单自由度体系的振动模型 二、二、 按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程 刚度法刚度法（1 1）动力荷载：）动力荷载： P t（2 2）弹性恢复力：）弹性恢复力： 11K y t（3 3）惯性力：）惯性力： my t 2 2、取质量、取质量m m为隔离体，其上作用有：为隔离体，其上作用有： 第十二

14、章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3、建立运动方程、建立运动方程根据达朗贝尔原理，由根据达朗贝尔原理，由X X0 0，得，得代入，即得代入，即得 11( )( )( )(126)my tK y tP t11( )( )( )0P tmy tK y tK K1111刚度系数。刚度系数。表示在质量的运动方向产生单位位移表示在质量的运动方向产生单位位移所需施加的力。所需施加的力。11111K刚度系数与柔度系数互为倒数：刚度系数与柔度系数互为倒数：11( )( )( )( )y tP tmy tB 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例1 1：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载：试用刚度法

15、建立图示刚架受动力荷载P P( (t t) )作用的运作用的运动方程。动方程。解：解：1)1)确定自由度确定自由度（建模）：（建模）：结构的质量结构的质量m分布于刚性分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。 2)2)确定位移参数确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为：设刚梁在任一时刻的位移为y(t)，向向右为正右为正 。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3)3)绘隔离体受力图绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。 4)4)列运

16、动方程列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得：按动静法列动力平衡方程，可得 IS1S20P tFFF第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式中：式中：ymF IS13112( )EIFy tl S23212( )EIFy tl 代入整理，可得运动方程：代入整理，可得运动方程：( )( )myk y tP t IS1S20P tFFF32311212lEIlEIk式中，刚度系数式中，刚度系数 k k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（1 1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。 第十二章第十二章 结

17、构动力计算结构动力计算例例3:3:试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。动方程。CEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmy解：本题为单自由度体系的振动。取质量解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平水平方向的位移方向的位移y y为坐标为坐标 。运动方程为运动方程为: : 111PymyM t第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算绘出绘出 、 图如图所示。由图乘法得图如图所示。由图乘法得1MPMEIl 32311 111PymyMtEIl62P1得运动方程得运动方程

18、 tMlylEIym41233 CEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmyCEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmy1M图图PM图图第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 tMlylEIym41233 也可写作也可写作 tFykymE11 tFE为等效动力荷为等效动力荷载载 tMltMtF4111P1ECEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmyCEIEI ACB ABCBC ABC AF(

19、t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmy tMtF11P1E第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算四、建立运动方程小结四、建立运动方程小结1) 1) 判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2) 2) 沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。并冠以负号。 3) 3) 根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。是写柔度方程还是写刚度方程。 4) 4) 刚度方程几种写法的选择：刚度方程几种写法的

20、选择： 当结构给质体的反力亦即弹性恢复力当结构给质体的反力亦即弹性恢复力F FS S容易求时，容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。为对象列方程（方法一）。 当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。加约束的方法列方程（方法三）。 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、刚度法：、刚度法：质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚拟平衡。一种虚拟平衡。一、运动方程：一、运动方程： 体

21、系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移y y0 0和和初始速度初始速度u u0 0 引起的振动，叫做自由振动引起的振动，叫做自由振动mmy静力平衡位置ymSII0IS110( )aktmy11(0)yyktm22110()ykmy12-3 12-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动( (不计阻尼不计阻尼) )第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2、柔度法：、柔度法：11( )y tI11my111myk110kmyy2111121()0mymyk 当质点振动时，把当质点振动时，把惯性力看作是一个静力荷载惯性力看作是一个静力荷载，则，

22、则质点在其作用下结构在质点处的质点在其作用下结构在质点处的位移位移y(t)y(t)应等于：应等于： my静力平衡位置yIm第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、运动方程的解：二、运动方程的解： 22110()kyym初始条件定积分常数初始条件定积分常数 ( )sincosy tBtCt 当当t=0t=0时时0(0)yy0By则运动方程为：则运动方程为：00( )cossin(12 18)y tyttv0(0)cos0yBy0(0)cos0yCCv0C v设初始时刻有初位移设初始时刻有初位移y y0 0和初速度和初速度v v0 0( )cossiny tBtCt0(0)yv第十二章第十二

23、章 结构动力计算结构动力计算220Ay0v三、自由振动解的分析三、自由振动解的分析1 1质点的运动规律质点的运动规律简谐振动，简谐振动，质点作质点作直线往复运动直线往复运动。ttytysincos)(00vTyt0-AA质点离平衡位置的位移随时间质点离平衡位置的位移随时间t t变化的函数图变化的函数图 00sincosvyAA( )sin()y tAt振幅振幅: :初相位初相位: :0tany0v第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算初相角初相角 ：标志着标志着t=0t=0时的位置。时的位置。2T频率频率f f：每每1 1秒间振动次数，秒间振动次数，12fT圆频率（简称频率）圆频率（简称频

24、率）：表示表示22秒内的振动次数。秒内的振动次数。振幅振幅A A：振动过程中的质点的最大的位移。振动过程中的质点的最大的位移。周期周期T T ：)sin()(tAtyTyt0-AA2sin ()At220Ay0v00tanyv211111kmm第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2自由振动中速度的改变规律自由振动中速度的改变规律( )( )cos()ty tAtv Amaxv最大速度等于振幅最大速度等于振幅A A与频率与频率 的乘积的乘积。)()sin()()(22tytAtyt a2maxaA 最大加速度等于振幅最大加速度等于振幅A A与频率与频率 平方的乘积平方的乘积2( )si

25、n()Z tmymAt 3 3自振中加速度和惯性力的变化规律：自振中加速度和惯性力的变化规律：惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积2maxZmA( )sin()y tAt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼对自振频率的影响很小。失。但阻尼对自振频率的影响很小。4 4自振的衰减自振的衰减四、求自振频率的方法：四、求自振频率的方法： 1 1用于柔度系数好求的体系。用于柔度系数好求的体系。 2111m2 2用于刚度系数好求的体系用于刚度系数好求的体系。

26、 211km用于单质点的用于单质点的单自由度体系单自由度体系第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3能量法求自振频率。能量法求自振频率。2maxmax12Tm AU（） （最大动能、势能相等）（用于多质点用于多质点的单自由度体的单自由度体系系、复杂体系）、复杂体系）4 4幅值方程求自振频率。幅值方程求自振频率。)sin()(2tmAymtZ sin()yAt而两者按同一规律两者按同一规律 改变。改变。)sin(t2max212UmA 由式（由式（12-3212-32）：）：第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算在达到振幅时，惯性力在达到振幅时，惯性力Z(t)Z(t)达到其幅值达到其

27、幅值 ，2mA 惯性力与位移方向一致，位移惯性力与位移方向一致，位移A A是惯性力幅值是惯性力幅值 产生的。产生的。2mA故：故：由柔度方程由柔度方程： 1121121mAmA由刚度方程：由刚度方程：mkmAAk112211幅值方程求自振频率幅值方程求自振频率第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例12-812-8：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg123kg的的电机。已知电机。已知梁跨梁跨为为1m1m，弹性模量：，弹性模量： , ,截截面惯性矩面惯性矩I I=78cm=78cm4 4。不计梁的自重，求自振频率和周期。不计梁的自重，求自振频率

28、和周期。1122.06 10/EN mlE IlMmP =1第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算lmE I解：图示体系为解：图示体系为单质点的单自由度单质点的单自由度体系体系111m1 1）画单位力作用下的单位弯矩图。）画单位力作用下的单位弯矩图。2 2）图乘法计算柔度系数。）图乘法计算柔度系数。113lllEI 3 3）求自振频率）求自振频率 16111162.6123 2.074 10sm223.140.162.6sTlP=133lEI3611812.074 10/3 2.06 1078 10m N第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例12-912-9图示排架的横梁为刚性杆，

29、质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m m，柱质量不，柱质量不计计, ,求其自振频率。求其自振频率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1图k13EI/h33EI/h3解解: :第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 不考虑轴向变形，故为一单不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作自由度体系。作 图，求出刚图，求出刚度系数度系数: :1M36EIkh 自振频率自振频率 36kEImmhmhEIEIk13EI/h23EI/h2M1图k13EI/h33EI/h3例例12-912-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m m，柱质量不，柱质量不计计, ,求其自振频率

30、。求其自振频率。 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例3 3：求图示刚架的自振频率。各杆：求图示刚架的自振频率。各杆EIEI为常数。为常数。lm0.6l1 10.6l0.6lMi图图解解:1:1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算lm0.6l10.6l0.6l1 1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，113 3）求自振频率：）求自振频率：2111m2 2）按图乘法求出柔度系数为：）按图乘法求出柔度系数为：31.5215EIml30.432lEI3(0.6 )3lEI0.60.6l llEI 310.432lmE

31、IMi图图第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例4 4：求图示刚架的自振频率。各杆：求图示刚架的自振频率。各杆EIEI为常数。为常数。llmm / 2llMm/ 2mM11ll分析：分析：图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平位移且相同，故是位移且相同，故是单自由度体系单自由度体系。由于。由于两个质点上的惯两个质点上的惯性力共线性力共线，列方程时可以合并，所以，列方程时可以合并，所以可按一个质点的情可按一个质点的情况考虑况考虑。解解: :（1 1）作出）作出虚设位移方向的单位力虚设位移方向的单位力引起的弯矩图引起的弯矩图第十二章第十二章 结

32、构动力计算结构动力计算llmm / 2llM（1 1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，EIlEIlll3223311（3 3）求自振频率：）求自振频率：2311333()() 222EIEImml（2 2）按图乘法求出柔度系数为：）按图乘法求出柔度系数为：m/ 2mM11ll3EIml0第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例5 5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。mEIEIhEIMi26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI hk11k11312/EI h312/EI h3

33、12/EI h解：图示体系为单自由度解：图示体系为单自由度体系体系: :mk1121)1)在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发生单位位移，作出单位弯矩图。生单位位移，作出单位弯矩图。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算mEIEIhEI2 2）求链杆反力，即为刚）求链杆反力，即为刚度系数度系数113312363EIEIkhh3 3）求自振频率：）求自振频率：211336kEImmhMi26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI hk11k11312/EI h312/EI h312/EI h3336

34、6EIEImhmhEI例例5 5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例6 6：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，不计杆的质量，弹簧刚度系数为不计杆的质量，弹簧刚度系数为K K。mmABlll2 A K / 32m A/32 A / 3A / 3A2m A解：图示体系为单自由度体系。由于两个解：图示体系为单自由度体系。由于两个质点的惯性力质点的惯性力不共线，所以不能将质量合并不共线，所以不能将质量合并。利用幅值方程求解。利用幅值方程求解。 第

35、十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法一：方法一：利用幅值方程。利用幅值方程。 以质点以质点C C 的位移作基本位移的位移作基本位移参数，其最大位移设为参数，其最大位移设为A A，以，以A A点为矩心列力矩方程，有点为矩心列力矩方程，有 22203233AllAmKAlm 2104033mK25KmlmABllmC2AK/32A/3mAA22mA/3A/3第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法二：能量法方法二：能量法 求体系的最大动能和最大求体系的最大动能和最大势能。势能。 振子的最大动能：振子的最大动能：222x2a22m311()2259TAAmmmA弹性势能：弹性势能：22

36、max12()2239AAUKK令令maxmaxTU25Km2225929AmAKlmABllmC2AK/32A/3mAA22mA/3A/3第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量点有一集中质量m m。当不考虑的自重，试比较三者的自振。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。频率。l/2l/2mABl/2l/2mABmBAl/2l/2第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1211mmABl/2l/21144223lllEIABP=14l348lEI348EIml348EIm l思

37、考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量点有一集中质量m m。当不考虑的自重，试比较三者的自振。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。频率。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算l/2l/2mAB112 31 5()222316332stllmgmgEI 3376877768gEImglmlEI211kmmg3 32 2mgl51 16 63mglP=12 2l111m11gmgstgstgMP图Mi图图37( )768mglEIstst表示重力所表示重力所产生的静位移产生的静位移思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度

38、、刚度相等，在中图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量点有一集中质量m m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。振频率。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算mBAl/2l/2211km111m11gmgstgstgMP图mg8 8mgl8 8mgl8 8mglP=12 2lMi图图33192192gEImglmlEI1121()2223838stllmgmgEI 3( )192mglEI思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量点有一集中质量m m。当不考虑梁的自

39、重，试比较三者的自。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。振频率。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算l/2l/2mABl/2l/2mABmBAl/2l/21348EIm l237687EIml33192 EIm l123:1 :1.51 : 2 结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构刚度的加大，其自振频率也相应增高。结构刚度的加大，其自振频率也相应增高。思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量点有一集中质量m m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自。当不考虑

40、梁的自重，试比较三者的自振频率。振频率。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算作业：作业：教材教材12-1512-15、1616总结：总结： 1 1、质点的运动规律、质点的运动规律简谐振动。简谐振动。 2 2、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律 3 3、求自振频率的方法：、求自振频率的方法： 柔度法柔度法刚度法刚度法能量法能量法幅值法幅值法单质点、单自由度体系单质点、单自由度体系多质点单自由度多质点单自由度体系、复杂体系体系、复杂体系第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-5 12-5 简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动简谐荷

41、载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动强迫振动强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示如图示: : 弹性力弹性力( )ky t惯性力惯性力 ( )my t平衡方程平衡方程 ( )( )( )my tky tP t第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：或或 2( )( )( )P ty ty tm式中式中 结构的自振频率结构的自振频率

42、 单自由度体系强迫振单自由度体系强迫振动方程动方程 mk第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、简谐荷载一、简谐荷载 ( )sinP tPt 荷载幅值荷载幅值 P 荷载的圆频率荷载的圆频率( (扰频扰频) ) 1 1、运动方程及其解、运动方程及其解 2( )( )sin(1260)Py ty ttm二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解： *( )( )( )y ty ty t齐次解：齐次解： ( )cossiny tBtCt设特解：设特解： *( )sinytAt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算运动方程的通解为：运动方程的通解为： 22( )cossin

43、sin(1261)()Py tBtCttm由初始条件确定由初始条件确定,BC故特解为：故特解为：*22( )sin()Py ttm代入方程，求得代入方程，求得22()PAm式（式（12-6112-61）第三项按扰频）第三项按扰频 振动，称为纯受迫振动。振动，称为纯受迫振动。前两项消逝后，只考虑稳态，即：前两项消逝后，只考虑稳态，即：22( )sin(1262)()Py ttm第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式（式（12-6212-62）中振幅）中振幅A A等于：等于：22()PAm2221(1)Pm其中：其中：211mK由此可得：由此可得：11211stPPPymKsty叫静位移。是

44、将扰力叫静位移。是将扰力 的幅值的幅值P P作为静力加作为静力加上去时产生的位移上去时产生的位移sinPt令：令：2211得振幅的表达式：得振幅的表达式：(1266)stAy动力系数动力系数第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(1266)stAy得振幅的表达式：得振幅的表达式：求动位移、动内力最大值的计算步骤：求动位移、动内力最大值的计算步骤：1 1）在扰力幅值）在扰力幅值P P作用下求静位移作用下求静位移 及静内力；及静内力；sty2 2）求动力系数）求动力系数 ；22113 3）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力的幅值；的幅

45、值；思考题思考题:P70 :P70 例题例题12-1512-15第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数 2 2、算式分析、算式分析它反映了干扰力它反映了干扰力对结构的动力作用。对结构的动力作用。stAy振幅算式：振幅算式：2211动力系数：动力系数：当当 时，时， 1 0即动位移与干即动位移与干扰力指向一致；扰力指向一致；当当 时，时， 1 0即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1） 时，时， 干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显， 因此可当作静荷载因此可当作静

46、荷载处理；处理； 极限情况，即极限情况，即 或或 ，则，则 。意。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。问题。0 1 01当当 时，时， 为增函数。为增函数。 012 2、算式分析、算式分析stAy振幅算式：振幅算式：2211动力系数：动力系数：第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2）当）当 时，时， ，共振，共振, ,为避开共振，可改为避开共振，可改变干扰力频率变干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自振频率 使使 或或 。 1 1.250.753 3）当）当 时，时， 为减函数为减函数当当 时，时， ， ，体

47、系处于静止状态。，体系处于静止状态。10max0y2 2、算式分析、算式分析stAy振幅算式：振幅算式：2211动力系数：动力系数：第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 已知：已知：4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn 第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算解解: (1) (1) 计算动力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率： 38118.488 1048lmNEI111157.4ksmm荷载频率：荷载频率： 1252.360ns动力系数：动力系数： 例：求简支梁

48、跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 2215.8814lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2) (2) 动荷载幅值作为静荷载作用动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力时的位移和内力 4118.488 10styFm104stFlMkN m(3)(3)振幅和动弯矩幅值振幅和动弯矩幅值 振幅振幅 34.99 10stAym 动弯矩幅值动弯矩幅值 58.84dstFlMMkN m例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 4lm547.48 10Im210E

49、GPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(4) (4) 最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点矩均在梁跨中点 跨中重量跨中重量G G产生的静位移产生的静位移 :3112.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移: : 1354GMGlkN m跨中重量跨中重量G G产生的静弯矩产生的静弯矩:3max7.96 10GyyAm跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩: : max93.8GdMMMkN m例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 4lm547.48 10

50、Im210EGPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算4. 4. 动荷载不作用在质点上时的动计算动荷载不作用在质点上时的动计算 振动方程振动方程 1112( )( )siny tmy tFt1211111( )( )sinmy ty tFt令令*1211FF (a) (b) y(t)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算则则*11s n1( )( )imy ty tFt稳态解稳态解 同式同式(12-62)(12-62)*222( )sin(1)Fy ttm111112Fyst (c) (d

51、) (e) *1211FF第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 （1 1）、振幅）、振幅 *max222*11212111211 ( )(1)stFAy tmFFmFFy 结论结论: :仍是位移的动力系数仍是位移的动力系数. .*1211FFFyst第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 （2 2）、动内力幅值）、动内力幅值 ( )sinpF tFt( )siny tAt2( )siny tAt 2( )( )sinI tmy tmAt 三者同时达到幅值。三者同时达到幅值。、( )y t( )I t( )pFt、作同频同步运动，作同频同步运动， 根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，

52、将惯性力根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。便可求得动内力幅值。y(t)Fsintml/4l/4l/2第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知已知：0.5 (a) (b) 解解 (1)(1)计算动力系数计算动力系数 221431(2) (2) 简支梁的振幅简支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/

53、2Fm2AAFyst第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 (d) (e) (3) (3) 作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值2ImA动弯矩幅值图动弯矩幅值图(f) 将动荷载幅值将动荷载幅值 F F 和惯性和惯性力幅值力幅值 I I 作用在梁上，按静作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图力学方法作出弯矩图-动弯动弯矩幅值图。矩幅值图。 13l/1612F4811FFl38483Fl192351l/411例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知已知：0.52(0.5)mA211(0.5)A1148F33111576448FLEILEI第

54、十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结结 论论 对于对于单自由度体系单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。 对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力的位移和内力，然后再，然后再乘以动力系数乘以动力系数，

55、便可得到稳态振动，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。时结构的最大动位移和最大动内力。 对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算工程实例工程实例1)1)多层房屋的侧向振动，多层房屋的侧向振动，2)2)不

56、等高排架的振动，不等高排架的振动，3)3)块块式基础的水平回转振动，式基础的水平回转振动，4)4)高耸结构高耸结构( (如烟囱如烟囱) )在地震在地震作用下的振动，作用下的振动，5) 5) 桥梁的振动，桥梁的振动，6) 6) 拱坝和水闸的振拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。动等，一般均化为多自由度体系计算。目的目的1) 1) 计算自振频率，即计算自振频率，即 ， ， ， 。i12n2) 2) 确定振型（振动形式），即确定振型（振动形式），即 ， ， ，或振型常数或振型常数r r1 1，r r2 2（仅适用于两个自由度体系）。并讨（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性论振型的

57、特性主振型的正交性。主振型的正交性。 iY 1Y 2Y nY12-7 12-7 多自由度体系的自振频率和振型计算多自由度体系的自振频率和振型计算第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法方法1) 1) 刚度法刚度法根据力的平衡条件建立运动微分方程。根据力的平衡条件建立运动微分方程。2) 2) 柔度法柔度法根据位移协调条件建立运动微分方程。根据位移协调条件建立运动微分方程。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、一、 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动1. 1. 刚度法刚度法(1)(1

58、)运动方程的建立运动方程的建立m12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=若不考虑阻尼，取质量若不考虑阻尼，取质量m1和和m2作隔离体，质点上作作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出根据达朗伯原理，可列出平衡方程平衡方程002S2I1S1IFFFF第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算m12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=结构所受的力结构所受的力 、 与结构

59、的位移与结构的位移 、 之间应满足刚度方程之间应满足刚度方程1SF2SF1y2ym12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=m12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=2221212S2121111SykykFykykF是结构的是结构的刚度系数刚度系数 ijk第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算可得运动方程可得运动方程 002221212221211111ykykymykykym 也可用矩阵表示为也可用矩阵

60、表示为 00021222112112121yykkkkyymm 0MyKy或缩写为或缩写为式中，式中， 为质量矩阵；为质量矩阵； 为加速度列阵；为加速度列阵； 为刚度矩阵；为刚度矩阵； 为位移列阵。为位移列阵。M y K y第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)(2)运动方程的求解运动方程的求解设设 1) 1) 在振动过程中，两个质点同频率（在振动过程中，两个质点同频率（w w）、同相位（）、同相位（a a）。）。 1122sin()sin()yAtyAt上式所表明的运动具有以下特点：上式所表明的运动具有以下特点：2) 2) 在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变在振动过程中