2019届高考理科数学一轮复习学案：第14讲导数的应用第3课时(含解析)

1、第 3 课时导数与不等式例 1思路点拨(1)对函数f(x)求导,根据切线方程及导数得出参数a,b;(2)构建函数F(x)=f(x)-g(x),只需证明 Hx) 0,F(x)0,F(x)为增函数；当x (X。,+8)时，G x)0,F(x)0,G(1)=1-e0,又.百-二=o, .鸟即 Inxo=-xo,F(Xo)=O,即F(x)w0,f(x) wg(x).x变式题 解:(1)依题意得 f (x)=Inx+1-e ,又f(1)=1-e, f (1)=1-e,故所求切线方程为y-1+e=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.证明：依题意，要证f(x)sinx,即证xlnx-ex+1sinx,

2、即证xlnx0,xlnxw0,故xlnxex+sinx-1,即f(x)1 时，令g(x)=ex+sinx-1-xlnx,故g(x)=ex+cosx-1nx-1.1令h(x)=g(x)=ex+cosx-Inx-1,贝U h(x)=ex- -sinx,1 1当x1 时,ex- e-11,所以h(x)=ex- -sinx0,故h(x)在(1,)上单调递增.故h(x)h(1)=e+cos 1-10,即g(x)0,所以g(x)g(1)=e+sin 1-10,即xlnxex+sinx-1,即f(x)sinx.综上所述,f(x) .- .在 e,e3上有解，令h(x)=.- .，利用导数求得其最小值，进而得

3、到a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+).nr-l因为f(x)= . -ax+b,所以f(x)=-a,所以f(e)=e-ae+b,f(e)=-a.所以函数f(x)的图像在点(e,f(e)处的切线方程为y-(e-ae+b)=-a(x-e),即y=-ax+e+b.又已知函数f(x)的图像在点(e,f(e)处的切线方程为y=-ax+2e,所以实数b的值为 e.1 X 1 3f(x)w+e,即血7-ax+ew-+e,1 I所以问题转化为 al i .在e,e2上有解.1 12令h(x)=i：卜：.,x e,e ,1Qnx十则h(x)=-心/壬畑疗:=.令p(x)=lnx-

4、2，,1I 1祁所以当x e,e2时，有p(x)= -=0,所以函数p(x)在区间e,e2上单调递减，所以在区间e,e2上,p(x)p(e)=ln e-2 _0,所以h(x)h(e )=沉”-一=-一.1 1所以实数a的取值范围为 一-，.变式题 解：f(x) x+(1-x)e%,即e*-ax2x+x-xe*,即e*-ax-1 0,x 0.令h(x)=ex-ax-1(x 0),则h(x)=ex-a(x0).当aw1 时，由x 0 知h(x) 0,Ah(x) h(0)=0,原不等式恒成立.当a1 时,令h(x)0,得xlna;令h(x)0,得x 0 不恒成立，二a1 不合题意.综上,a的取值范围

5、为(-8,1.例 3 思路点拨问题转化为f(x)w0 在(0,+8)上恒成立，构建函数g(x)=f (x),让其最大值小于或等 于 0 即可.J-l1解:由已知得,f(x)=lnx+ . -2(x-a)=lnx- -2x+1+2a0).当 Ovxvl 时,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递增,当x1 时,g(x)=g(1)=2a-2.由f(x)W0 恒成立可得aw1.即当f(x)在(0,+s)上单调递减时，a的取值范围是(-8,1.2二变式题 解：T函数y=ax的图像恒在函数y=E勺(x1)图像的上方ax2-拧 J0 在(1,+8)上恒成立,1a$心.设f(x)=-,x1,1-6H则f(

6、x)=：窖 讥 o 在(1,+8)上恒成立,f(x)在(1,+8)上单调递减,f(x)vf(1)=1,Aa 1.击栏目为教师专用【备选理由】例 1、例 2 均为涉及不等式的证明及不等式恒成立求参数的问题，可作为对探究点二的补充曲1S.1配合例 2 使用2017 凉山州模拟已知函数f(x)= -(t+1)lnx,t R(1)若t=1,求证:当x1 时,f(x)0;1(2)若t 1,且f(x)1 在区间上恒成立，求t的取值范围1解:证明:当t=1 时,f(x)=x- -21 nX,12氏防1竺 f(x)=1+ - =- =0,f(x)在(1,+8)上单调递增，f(x)f(1)=1-1-0=0,当x

7、1 时,f(x)0.1(2)依题意知,在区间-电,e 上f(x)min1.1附(1)(x4f(x)=t+ -=.-=.,1令f(x)=0,解得x=1 或x= e,当 1x0,函数f(x)单调递增，1当二x1 时,f(x)1,满足条件.1 1若 1te,则当：wxv.或 1x0,函数f(x)单调递增，1当vx1 时,f (x)0,函数f(x)在-巴 e 一上单调递增综上所述t2.型 2 配合例 2 使用2017 广元三诊已知函数f(x)=exsinx-cosx,g(x)=xcosx-.ex,其中 e 是自然对数的底数(1)判断函数y=f(x)在 0,内零点的个数，并说明理由若对任意的X1L0,2，总存在X2L0,2，使得不等式f(x+g(X2)m成立，试求实数m的取值范围解:(1)函数y=f(x)在 0, 一 内的零点的个数为 1.x理由如下：因为f(x)=e sinx-cosx,所以f(x)=e sinx+e cosx+sinx.n因为 0vx0,所以函数f(x)在 0, 一上单调递增f(X)min=fm等价于f(xd m-g(x2),因为f(0)=-1m成立等价于f(xi)mdm-g(X2)min=m-g(X2)max.当X|_ 0,2时,f(X)=eXsinx+eXcosx+sinX0,