第九章 杆件变形及结构的位移计算

1、第九章第九章 杆件变形及结构的位移计算杆件变形及结构的位移计算虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法 FW21力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功FMMW21FW21 根据能量守衡定律，外力和内力实功是相等的。VW 1111111VFW 2222222VFW 12112 FW1212VW虚功方程虚功方程 第一组外力和内力在第二组外力所产生的位移和变形上所作的第一组外力和内力在第二组外力所产生的位移和变形上所作的虚功相等。这就是虚功原理。虚功相等。这就是虚功原理。 力在非自身所产生的位移上所作的功，力在非自身所产生的位移

2、上所作的功，作功的力作功的力 与相应的位移无关。与相应的位移无关。 (a)力状态 (b)位移状态 LbaBCBCC1=P欲求点欲求点A A竖直方向的位移竖直方向的位移 ，可在，可在A A点的竖直方向上加一个点的竖直方向上加一个单位力单位力 任取一微段任取一微段 在此微段上其轴力产生的轴向变形为在此微段上其轴力产生的轴向变形为 dsEAdsFduN弯矩弯矩M使微段左、右截面产生的相对转角为使微段左、右截面产生的相对转角为EIMdsd 剪力剪力Q使微段左、右两截面产生的相对错动为使微段左、右两截面产生的相对错动为GAdsFkdsSlSSllNNGAdsFFkEIMdsMEAdsFF1这种用虚设单位

3、荷载法计算结构位移的方法称为单位荷载法单位荷载法。 各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式 梁和刚架梁和刚架 EAdsFFEAdsFFNNlNNlEIMdsMllNNEIMdsMEAdsFF桁架桁架 组合结构组合结构 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 研究梁在外力作用下的变形，目的在于把梁的变形限制在规定范围内，保证梁的正常工作。 挠度挠度 ：梁任一横截面的形心的竖向位移：梁任一横截面的形心的竖向位移 转角转角 ：一横截面相对原来位置绕中性轴转过的角度：一横截面相对原来位置绕中性轴转过的角度 梁的刚度条件梁的刚度条件 maxll max-最大挠度最大挠度 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯

4、曲刚度的措施 1、增大梁的抗弯刚度EI2、减小梁的跨度 3、改善荷载的作用情况qPQPM1 PiQiMx例例 1：已知图示粱的：已知图示粱的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.1PxlhbqA)(lxqxM021-2)(lxxM0-)()()(EIqlEIqxdxqxxEIEIMdsMll8821140420EIMdsM计算图示简支梁中点 C的竖向位移 Cy和截面的转角 B。已知 EI为常数。解解 （1）求 Cy以 A为坐标原点，则0 x l/2时， xM21)(221xlxqM因为对称，所以有 )()(/EIqldxlxlxqxEIlCy

5、3845221124220（2）求B 当0 x l )( ,2-2xlxqMlxMP) ( )()( EIqldxxlxqlxEIlB2421420一简支梁由No28b工字钢制成，承受荷载作用如图所示。已知 P=20kN，l=9m，E=210MPa，=170MPa,/l=1/500，试校核该梁的强度和刚度。 3268.534cmWZ=40067480cmIZ.mkNPLM4549204max 28410268534104536aZMPWM.maxmax此梁强度足够。 （3）刚度校核 lEIPLl46511074801021048109102048432332max不满足刚度条件，需要加大截面。

6、 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便. 下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.EIsMMd刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：图乘法sEIMMdMdsMEI1xMxEIdtan1xxMEIdtanccyEIxEI1tan(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)xMMEId1)tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:EIyc图乘法小结图乘法小结1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线

7、图中。cy2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1

8、lPEIBEIll图形分解图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPM1ABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB图形分解图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPM13/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.)(16)4312122142122143221221(12EIPlPllPllPllEIB4/PlM

9、P图形分解图形分解B求求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.AB2/ lEI2/ lP2/1图形分解图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB40206020图形分解图形分解B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql 试计算图示简支梁 A端的角位移 A和中点 C的竖向位移 Cy.EI为

10、常数。（1）作实际荷载作用时弯矩图）作实际荷载作用时弯矩图（2）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图 （3）图乘求位移）图乘求位移 ) ()(EIqlqllEIA2421832132)()()(3845325823221422211qllqlklEIyAyAEICy 试求图示外伸梁 A端的角位移 A及C端的竖向位移Cy。 （1）作实际荷载作用时弯矩图）作实际荷载作用时弯矩图 （2）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图 （3）图乘求位移）图乘求位移 ) (.437106913161048211051A)(. ). .(mmCy5325151105432

11、5132511048215132610482110513337 计算图示刚架中截面 D的水平线位移)()()(EIEIEIDx354404214203243216042114321604211 用图乘法计算图示刚架C端的Cx、Cy、C（1）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图 （2）作刚架实际荷载作用时弯矩图）作刚架实际荷载作用时弯矩图 （3）图乘求位移 )(EIqlqlllEICx82212142 )(EIqlllqlEIlqllEICy83221432311422 ) (EIqllqlEIqllEIC125122112311322 例例 1. 已知已知 EI 为常数，

12、求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 应用举例应用举例AlqBhq8/2qlh11hMP1M)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C应用举例应用举例解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /111M)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql 例例 4. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移

13、。点竖向位移。应用举例应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc32/2ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。应用举例应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数

14、，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2qlAlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。iMMP 练习练习11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称

15、弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM 作变形草图作变形草图PPPl1111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：求求B点水平位移。点水平位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl设温度沿杆件截面高度线性变化，

16、杆轴温设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度度 ，上、下边缘的温差，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数线膨胀系数为为 .0tt 12tttstutdd0 hththtthhtt211212110 )(hsttdd 若若,/ 221hhh2120/)(ttt另外，温度变化时，杆件另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向不引起剪应变，微段轴向伸长和截面转角为：伸长和截面转角为：温度,支座,互等定理MiithtlNt)(0温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式:hsMtsNtiitddi 0对等对等 截截 面面 直直 杆杆:上式中的正、负号：上式中的正、负号：若若 和和 使杆件的同一边使杆件的

17、同一边产生拉伸变形，其乘积为正。产生拉伸变形，其乘积为正。 Mt 图面积图面积MhsMtsFthstMstFMvFuFttttKyddddddd)(N00NQN 对等对等 截截 面面 直直 杆杆MNhtt 0 图面积图面积NF将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得例：例： 刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态C

18、tCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lMi1Nil )(125llhllh10121101)(.m00501c2c3cKKKC1K1R2R3R变形体虚功方程为变形体虚功方程为:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:计算公式为计算公式为:iikcCR 例例1：求：求?Cx1AxF1CyF1AyF解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCxCBA1P解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m