高二数学“求解无棱二面角大小”的解题方法

1、高二数学“求解无棱二面角大小的解题方法高二数学“求解无棱二面角大小的解题方法求解无棱二面角的大小思维活、方法多 ,是高考的热点 ,同时也是难点问题之一 ,现在用一个高考例题来系统疏理和归纳。例题：(2019高考全国卷第16题)如右图 ,点E ,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1 ,CC1上 ,且B1E=2EB ,CF=2FC1 ,那么平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于_.对策一：利用空间向量求解解法1 (利用空间坐标系求解)分别以DA ,DC ,DD1为x ,y ,z轴的正半轴 ,建立空间直角坐标D-xyz ,得A(1 ,0 ,0) ,E1 ,1 , ,F0 ,1 ,

2、 ,从而=0 ,1 , ,=-1 ,1 ,.设平面AEF的法向量为m=(x ,y ,z) ,由m?=0 ,m?=0 ,得y+z=0 ,-x+y+z=0.取z=3 ,得m=(-1 ,-1 ,3) ,故m=.又平面ABC的法向量为=(0 ,0 ,1) ,所以由cos ,m= ,可得sin ,m= ,从而tan ,m=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评 用空间直角坐标系求解时 ,找(作)两两垂直的三线建立适当的空间直角坐标系是关键.解法2 (利用空间基向量求解)由题意 ,=+ ,=+=+.设平面AEF的法向量为n=x+y+z ,由n?=0 ,n?=0 ,得(x+y+z)?(+)=

3、0 ,(x+y+z)?(+)=0 ,把相关量代入化简 ,得x+z=0 ,x+y+z=0.取z=3 ,解得x=y=-1 ,从而n=-+3 ,不难求得n=.又平面ABC的法向量为 ,故n?=(-+3)?=3 ,所以cos ,n= ,从而sin ,n= ,tan ,n=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评 面对丰富的几何条件 ,尤其是每个顶点处的向量都容易表示两两夹角及线段的长度也容易求出 ,利用空间几何向量求解是最易操作的.虽然对于填空或选择题来说 ,这样也许会费时费力、小题大做 ,可这是一种万全之策.对策二：利用公式cosθ=求解 ,其中S是二面角的一个半平面中的一

4、个封闭图形的面积 ,S′是S在另一个半平面上的射影的面积解法3 由正方体的性质 ,可知AEF在平面ABCD上的射影为ABC.设正方体的棱长为1 ,在RtACF中 ,AF=;在RtABE中 ,AE=.取线段CF的中点为点M ,那么在RtEMF中 ,求得EF=;取线段AF的中点为点N ,那么在RtANE中 ,EN=.由此得SAEF=AF?EN=××= ,SABC=AB?BC= ,得cosθ= ,sinθ= ,从而tanθ=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评 利用面积射影法间接求二面角大小 ,可防止找二面角的

5、棱及作二面角的平面角双重麻烦 ,使求解过程更简便.对策三：利用两个半平面垂线求解解法4 过点C作CH⊥AF垂足为点H ,取线段AF的中点为点N ,连结NO ,那么NO⊥OB ,而OB⊥平面ACF ,所以NE⊥平面ACF. 从而CH⊥EN.又CH⊥AF ,所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD ,从而可得二面角的两个半平面的垂线CH ,CF的夹角为∠FCH ,该角和平面AEF与平面ABC所成二面角的大小相等.又∠FCH=∠FAC ,所以在RtFAC中 ,tan∠FAC=.故平面AE

6、F与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评 二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大小相等或互补 ,这就需要先对二面角的大小作粗略的判断：当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的射影在二面角的半平面上的 ,二面角为锐角;当射影在棱上时 ,二面角为直角;当射影在反向延伸面上时 ,二面角为钝角.对策四：找(作)二面角的棱 ,作出平面角求解解法5 (利用相交直线找棱)分别延长线段CB ,FE交于点P ,并连结AP ,那么AP为平面AEF与平面ABC的交线.因为B1E=2EB ,CF=2FC1 ,所以BECF ,从而CB=BP ,DBAP.又DB⊥AC ,所以AP⊥

7、AC.又CC1⊥平面ABC ,所以AC1⊥AP ,从而∠FAC为平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.在RtFAC中 ,AC= ,CF= ,那么tan∠FAC=.点评 假设二面角的两半平面同时与第三个平面相交 ,那么这两条交线的交点在二面角的棱上.解法6 (利用平移平面找棱)分别取线段AF ,CF的中点为点N ,M ,连结NE ,EM ,NM ,那么NOCF ,BECF ,从而可得NOBE ,所以EMBC ,ENBD ,所以平面ENM平面ABC ,那么平面AEF与平面ABC所成二面角和平面AEF与平面ENM所成二面角大小相等.由平面ENM平面ABC ,C

8、C1⊥平面ABC ,得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN ,NM⊥EN ,所以FN⊥EN ,从而∠MNF为平面AEF与平面ECM所成二面角的平面角.在RtNMF中 ,NM= ,MF= ,那么tan∠MNF=.点评 如果两个二面角的两半平面分别平行 ,那么这两个二面角大小相等或互补.唐宋或更早之前 ,针对“经学“律学“算学和“书学各科目 ,其相应传授者称为“博士 ,这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者 ,又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋 ,乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；

9、而后者那么于西晋武帝时代即已设立了 ,主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问 ,其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教一席 ,也是当朝打眼的学官。至明清两代 ,只设国子监国子学一科的“助教 ,其身价不谓显赫 ,也称得上朝廷要员。至此 ,无论是“博士“讲师 ,还是“教授“助教 ,其今日教师应具有的根本概念都具有了。解法7 (利用平行直线找棱)记AC∩BD=O ,取AF的中点为点N ,连结NO ,那么NOCF ,BECF ,所以NOBE ,所以ENBD.又EN?奂平面AEF ,设平面AEF∩平面ABC=l ,过点A作APEN ,那么lBD ,

10、P∈l.以下同解法5.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句