如果一个物体在力F的作用下产生位移S

1、如果一个物体在力如果一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移S，那，那么力么力F所做的功所做的功W可用下式计算：可用下式计算：其中其中 是是F与与S的夹角。的夹角。cos|SFW F285图ABO295图5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 （一）基本概念（一）基本概念1向量的夹角向量的夹角 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b ,作作 ， ，则则 叫做向量叫做向量a和和b的夹角。的夹角。， aOA bOB AOB)1800(当当 时，时，a与与b同向；当同向；当 时，时，a与与b反向反向 0180向量垂直向量垂直:如果如果a与与b的夹角是的夹角是 ，我们说，我们

2、说a与与b垂直，记作垂直，记作 。 90ba 3数量积数量积已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量我们把数量 叫做叫做a与与b的数量积的数量积（或内积），记作（或内积），记作 ， 即即:cos| |bababacos| |ba规定规定 (1)零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为零零。 (2)数量积是个数，数量积是个数，不是向量（可以是不是向量（可以是负数）负数）例例1 已知已知|a|=4，|b|=5，a与与b的夹角的夹角 ，求求 120ba3性质性质设设a、b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的方向相同的单位向量，单位向

3、量， 是是a与与e的夹角，则的夹角，则（1）（2） (3)eaaecos| aba 0ba|baba夹角练习夹角练习DCBAABCDABCBAC（1）在梯形）在梯形ABCD中求向量中求向量 和向量和向量 所成的角所成的角 ABCD（2）在梯形在梯形ABCD中求向量中求向量 和向量和向量 所成的角所成的角 ABCD（3）在直角三角形在直角三角形ABC中求向量中求向量 和向量和向量 所成的角ABBC（4）在等边三角形在等边三角形ABC中求向量中求向量 和和 向量向量 所成的角及向量所成的角及向量 和向量和向量 所成的角所成的角 ABABACCB(4)当当a与与b同向时，同向时， 当当a与与b反向反

4、向时，时， 特别地，特别地， 或或 |baba |baba2aaaaaa |cosbaba(5)四、几 何 意 义、讲 练 结 合OAB1Bab) 2(OAB1Bab) 1 (OABab)3(bacos| |ba的几何意义 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 b 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积。 ba| aacos|ba1、已知、已知a为非零向量，为非零向量， =0 由此能不由此能不能推出能推出b一定是零向量？一定是零向量？2、已知、已知 aa=1，求，求 |a| 的值的值.ba(1(1）数量积是实数还是向量？数量积是实数还是向量？（2 2）数量积一定是正数吗？）数量积一定是正数吗？3运算律运算律（1）（交换律）；）（交换律）；（2）；）；（3）abba)()()(bababacbcacba )(想一想：向量的数量积满足结合律吗？想一想：向量的数量积满足结合律吗？例例2 求证：（1（2） 2222)(bbaaba22)(bababa例例3 已知已知 ， ，a与与b的夹角为的夹角为 ，求求 。6|a4|b60)3()2(bbba例例4 已知已