D6_3曲面及其方程

1、四、二次曲面四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第六六章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面在空间

2、解析几何中被看成是点的几何轨迹1、显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2、不在此平面上的点的坐标不满足此方程.定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何

3、形状( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）故所求方程为,),(为球面上任意一点设zyxM特别,当M0在原点时,球面方程为解解:RMM0即依题意xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: :,21|0MMMO根据题意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 研究方程042222

4、yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 5)2() 1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2. . 一条平面曲线一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其所在平面上一条绕其所在平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转曲线

5、叫做旋转曲面的旋转曲线叫做旋转曲面的母线母线. .建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论：结论：求旋转曲面方程时求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴

6、旋转平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴则该坐标轴对应的变量不变对应的变量不变,而曲线方程中另一变量而曲线方程中另一变量写成写成该变量与第三个变量平方和的正负平方根该变量与第三个变量平方和的正负平方根.xyzO解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 L), 0(zyMxy例例5. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线12222czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的

7、旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x 轴旋转轴旋转122222czyax绕绕 z 轴旋转轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .所成曲面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 (旋转双叶双曲面）旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）旋转单叶双曲面）122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆C, 222Ryx

8、222Ryx沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzxyzo定义定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. 表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的轴的平面平面.

9、0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 lxzy2l一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线表示表示柱面柱面, ,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程同理0 ),( ,zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：5x922 yx1 xy斜率为1的直

10、线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考思考指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyzDxyCzByAx 2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 相应地，平面被称为相应地，平面被称为一次曲面一次曲面 用坐标面

11、和平行于坐标面的平面与曲面相截，考用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌解曲面的全貌1. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,(椭圆锥面也可由圆锥面经椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或或 y 方向的方向的伸缩变换伸缩变换得到, 见书 P223 )xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx2. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczby

12、ax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz 同样与平面)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. .椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面1

13、2222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )| (1cz .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222xyzab(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面(2) 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）2222xyzab 特别,当a = b时为绕 z 轴的旋

14、转抛物面.xyzxyz3. 抛物面抛物面机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线双曲线: 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线相交直线:

15、双曲线双曲线: 0(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三元二次方程 椭球面