D5_1不定积分

1、第五章微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第五五章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为 m 的质点,的作tAFsin下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为: 已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定义定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(

2、dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例中, tmAsin的原函数有 ,cos tmA, 3cos tmA问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数说明：说明：1）定义在区间）定义在区间I上的连续函数一定存在原函数，上的连续函数一定存在原函数，但其原函数不一定能用初等函数表示，如但其原函数不一定能用初等函数表示，如),(

3、,)(2xexfx为连续函数，但其原函数不能用初等函数来表示为连续函数，但其原函数不能用初等函数来表示2）在区间）在区间I内存在原函数的内存在原函数的 函数不一定是连续函数，如函数不一定是连续函数，如0,0, 01cos1sin2)(xxxxxxf内存在原函数在但存在间断点),()(, 0 xfx0,0, 01sin)(2xxxxxF,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )(

4、)(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF即定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若, )()(xfxF则CxFxxf)(d)( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作说明：说明：的不定积分的原函数的全体称为)()() 1xfxf不可能丢掉或去掉定义中的 C)2分运算的

5、运算称为求积分或积求从dxxfxf)()()3微分与积分互逆)4不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有C2121C因此所求曲线为12 xyyxo)2, 1 (ox例例2. 质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,)

6、0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx 则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx先求. )(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx )(txx xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本

7、积分表基本积分表从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx csc

8、xexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex例例3. 求求.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例4. 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 若, )()(1xfkxfinii则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k四、基本积分法四、基本积分法1、分项积分法、分项积分法为常数，且均可微,),()( ),

9、()( ,)(),(xgxGxfxFxGxF由微分规则有由微分规则有dxxgxfxGxFd)()()()(微分与积分可逆微分与积分可逆CxGxFdxxgxf)()()()(此方法的此方法的 关键是将关键是将f(x)作适当分解，作适当分解，较易积分，从而有且dxxfxfxfinii)(),()(1dxxfdxxfnii)()(1例例5. 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (122xxxxx

10、解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313例：例：2sin)() 12xxf其中,)(dxxfI2cos2sin1)()222xxxf23) 1()()3xxxfxxxxf22cossin2cos)()42 2、凑微分法（第一换元法）、凑微分法（第一换元法）)()( )()(ufuFxuuF均为可微函数，与设由复合函数的微分链规则有由复合函数的微分链规则有dxxxfxdxfduufudF)(

11、 )()()()()(由微分与积分的关系得由微分与积分的关系得(*)()( )(duufdxxxf(*)()( )(duufdxxxf（*）有两种用法：）有两种用法：称为凑微分法转化为将从左至右,)()( )(,) 1duufdxxxf称为换元法转化为将从右至左,)( )()(,)2dxxxfduuf凑微分法的凑微分法的 关键：选定适当的关键：选定适当的)(xudxxxfdxxg)( )()(使CxFdxxgCuFduuf)()()()(，而duufxdxf)()()()()(1)(,baxdbaxfadxbaxf一般地例：求例：求若,)(dxxfI) 12sin()() 1xxf121)()

12、2xxfxexf)()32231)()4xxf2211)()5xxf)()(1)(,baxdbaxfadxbaxf一般地为用凑微分法，常将被积表达式作如下变形：为用凑微分法，常将被积表达式作如下变形：)()(1)() 1baxdbaxfadxbaxf)()(21)()2222xdxfdxxxf)()(11)()3111xdxfdxxfx)(ln)(ln)(ln1)4xdxfdxxfxxxxxdeefdxeef)()()5xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin)6xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos)7xdxfdxxxfarctan)(arctan11)(arctan)

13、82若例：求,)(dxxfI1)() 12xxeexf22sincos)()2axxxfxxftan)()3xxfcot)()4xxxfln1)()5内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2. 分项积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质3、凑微分法、凑微分法,2chxxeex2shxxeex思考与练习思考与练习1. 证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2x

14、xfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221提示提示:3. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx5. 求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxx