大学理论力学 动能定理

1、理论力学第十三章第十三章 动动 能能 定定 理理第十三章 动能定理13-1 力的功13-2 质点和质点系的动能13-3 动能定理13-4 功率 功率方程 机械效率 13-5 势力场 势能 机械能守恒定律13-6 普遍定理的综合应用举例13-1 13-1 力的功力的功一、一、 常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功 sFWcos功是代数量，在国际单位制中，功的单位为功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J J（焦耳）。（焦耳）。上式也可以写成上式也可以写成sFW 力在全路程上作的功等力在全路程上作的功等于元功之和于元功之和： 力在无限小位移力在无限小位移dr中作的功称为中作的功称为元功：元功

2、：sFWdcos sFWsdcos0rF d W11dMMWrFkjiFzyxFFFkjirzyxdddd21)ddd(12MMzyxzFyFxFW力力F从从M1到到M2的过程所作的功的过程所作的功在直角坐标系中，在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式上两式也可写成以下矢量点乘形式：二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功 13-1 13-1 力的功力的功根据质心坐标公式，有根据质心坐标公式，有 gPm0 xF0yFmgFz21)ddd(12MMzyxzFyFxFW)(2112iiizzgmWiiczmmz)(2112c

3、czzmgW三、几种常见力的功三、几种常见力的功1 1重力的功重力的功重力重力重力作功为重力作功为 对于质点系，设质点对于质点系，设质点 i 的质量为的质量为mi，运动始末的高，运动始末的高度差为（度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：则全部重力作功之和为：在直角坐标轴上的投影为在直角坐标轴上的投影为21)(d21zzzzmgzmg所以所以13-1 13-1 力的功力的功质点质点M 由由M1 运动到运动到 M2时，弹时，弹性力作功为性力作功为kF 00)(rFlrk21d12MMWrFrr d021d)(012rrrlrkW2 2弹性力的功弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为弹性范围内

4、，弹性力大小为k弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性力弹性力)(2222112kW202201)()(2lrlrk21d)(00rrlrkrrdr)d(212rr)d(21rrrrrd r13-1 13-1 力的功力的功当质点从当质点从M1 1运动到运动到M2时，引力时，引力F作的功为作的功为3 3万有引力的功万有引力的功)11(1221rrmfm万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。质量为质量为m2的质点的质点M受到另一质量为受到另一质量为m1的固定点的固定点O的引的引力力F的作用。由牛顿万有引力定律知

5、的作用。由牛顿万有引力定律知rrF3210221rmmfrmmf式中式中f 为万有引力常数为万有引力常数 f =6.6671010-11-11m3/（kgs s2 2）rF d2112MMWr0r1r2M1M2MFo13-1 13-1 力的功力的功 如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中算，其中Mz为力偶对转轴为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢的矩，也等于力偶矩矢M在轴在轴上的投影。上的投影。cosFF ddRsrF dWdMWZ21124 4转动刚体上作用力的功转动刚体上作用力的功力力F在切线上的投影为在切线上的投影为刚体转动

6、时刚体转动时力力F的元功为的元功为因为因为Ft R等于等于F对于转轴对于转轴z的力矩的力矩Mz，于是于是tdFstdFR13-1 13-1 力的功力的功 221mv一、一、 质点和质点系的动能质点和质点系的动能221iivmT设质点的质量为设质点的质量为m，速度为，速度为v，则质点的动能为，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J（焦耳）。（焦耳）。2. 质点系的动能质点系的动能质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1

7、. 质点的动能质点的动能转动刚体的动能转动刚体的动能iirv 221iivmTZiiJrm2221ZJT 平动刚体的动能平动刚体的动能 civv 221iivmTimm221cmvT icmv2212221iirm2221iirm13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能点点C 质心，质心， 221PJT 2CCPmrJJ22)(21CCmrJTcCvr222121CcJmvT22)(2121CCrmJ点点P 某瞬时的瞬心，某瞬时的瞬心， 角速度角速度13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能一、质点的动能定理一、质点的动能定理F

8、vtmddrFrvddddtmtddvrrFvvddmWmv)21d(21221222121Wmvmv 取质点运动微分方程取质点运动微分方程的矢量形式的矢量形式 因因 得得上式称为质点动能定理的微分上式称为质点动能定理的微分形式形式: :即质点动能的增量等于即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。作用在质点上力的元功。上式称为质点动能定理的积分形上式称为质点动能定理的积分形式：式：在质点运动的某个过程中，在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。点的力作的功。21122)21d(vvWmv13-3 13-3 动能定理动能定理 上式称为质点系

9、动能定理的积分上式称为质点系动能定理的积分 形式：形式：质点系在某一段运动过程中，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在作用于质点系的全部力在 这段过程中所作功的和。这段过程中所作功的和。iiiWvm)21d(2niniiiiWvm112)21d(iiiWvm)21(d2iWTdiWTT12二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质质点系内任一质点，质量为量为mi，速度为，速度为vi，有，有式中式中Wi 为作用于这个为作用于这个质点上的力质点上的力Fi作的元功。作的元功。设质点系有设质点系有n个质点，个质点

10、，将将n个方程相加，得：个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微上式称为质点系动能定理的微分形式：分形式：质点系动能的增量等质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的于作用于质点系全部力所作的元功的和。元功的和。上式积分，得：上式积分，得：13-3 13-3 动能定理动能定理质点系内力的功质点系内力的功BAWrFrFddBArFrFdd)(dBArrF只要只要A、B 两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。内力的元功和就等于零。 刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零功之和等于零。)(dBArFrBA13

11、-3 13-3 动能定理动能定理理想约束反力的功理想约束反力的功1 1光滑固定面约束光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2 2活动铰支座、固定铰支座和向心活动铰支座、固定铰支座和向心轴承轴承d0W Fr13-3 13-3 动能定理动能定理5 5柔性约束（不可伸长的绳索）柔性约束（不可伸长的绳索）rFrFddW0d)(rFF4 4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）3 3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动tdvFsrFsd sFW013-3 13-3 动能定理动能定理例例图示的均质杆图示的均质杆

12、OA的质量为的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为处于自然状态。设弹簧常数为 k =3kN/m，为使杆能由铅直，为使杆能由铅直位置位置OA转到水平位置转到水平位置OA，在铅直位，在铅直位置时的角速度至少应为多大？置时的角速度至少应为多大？解：解：取取OA杆研究对象杆研究对象)(212 . 12221kmgW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022 8 .284 . 2303121202021T02T 4 .3888 .28020rad/s67. 30) J (4 .388得得由由WTT12mgF13-3 13-3 动能定理

13、动能定理 例例: 均质圆盘均质圆盘A：m，r；滑块；滑块B：m；杆；杆AB：质量不：质量不计，计，平行于斜面。斜面倾角平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。统初始静止。求：滑块的加速度。解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象cos sin 2mgSfSmgW)cossin2( fSmg 01Tgfa)cossin2(522222221212121 mrmvmvT运动学关系：运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理由动能定理:)cossin2(0452fmgSmv对对求导，得求导，得)cossin2(25fmgvmvam

14、gmgFNAFAFNBFBv13-3 13-3 动能定理动能定理 例例: 图示系统中图示系统中,均质圆盘均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R, 两两盘中心线为水平线盘中心线为水平线, 盘盘A上作用矩为上作用矩为M(常量常量)的一力偶；重的一力偶；重物物D重重Q。问下落距离。问下落距离h时重物的速度与加速度。时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳重不计，绳不可伸长，盘绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)QPP13-3 13-3 动能定理动能定理解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象)(h/R QhMW01T222221 2121BCAOJvgQJT2222

15、2232121221BARgPvgQRgP)78(162PQgvQPPavABC1vBRvARvB2BRv2由运动分析知：由运动分析知：h13-3 13-3 动能定理动能定理WTT12由由 )(0)78(162hQRMPQgvRPQhgQRMv)78()(4 thQRMtvvgPQdd)(dd21678上面上面(1)式求导得：式求导得：(1)(1)RPQgQRMa)78()(801T)78(1622PQgvT)dd(thv )(h/R QhMW13-3 13-3 动能定理动能定理一、一、 功率功率 单位时间内力所做的功称为功率，以单位时间内力所做的功称为功率，以P表示。表示。 tWPd因为因为

16、 rF d W所以所以 vFtPvFrFdd功率等于切向力与力作用点速度的乘积。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为zzMtMtWPddd式中式中Mz是力对转轴是力对转轴z的矩，的矩，是角速度。即：是角速度。即：作用于转动作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。13.4 13.4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率取质点系动能定理的微分形式，两端除以取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得，得 niniiiPtWtT11ddd上式称为上式称为功率方程功率方程，

17、即，即质点系动能对时间的一阶导数，质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。 每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：下，功率方程可写成：无用有用输入PPPtTddtTPPPdd无用有用输入或或二、二、 功率方程功率方程 13-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率 ，如一部机，如一部机器有器有n级传动，设各级的效率分级传动，设各级的效率分别为

18、别为1、2 、n ,则总效率则总效率为为有效功率有效功率 = = tTPdd有用输输入入功功率率有有效效功功率率 机械效率机械效率表示机器对输入功率的有效利用程度，它表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。是评定机器质量好坏的指标之一。显然显然，1n21 ，机械效率用，机械效率用表示，即表示，即三、三、 机械效率机械效率 13-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率 例：例： 车床的电动机功率为车床的电动机功率为5.4 kW。由于传动零件之间。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的的摩擦耗损功率占输入功率的30%。如工件的直径。如工件的直径d =

19、100 mm，转速，转速n = 42 r/min，问允许切削力的最大值为多少？，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为若工件的转速改为n=112 r/min，问允许切削力的最大值，问允许切削力的最大值为多少？为多少？解：解： 由题意知：由题意知： kW4 . 5输入PkW62. 1%30输入无用PP当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为 kW78. 3无用输入有用PPP设切削力为设切削力为F，切削速度为，切削速度为v，则，则 302ndFFvP有用即即 有用PdnF6013-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率当当n=112 r/m

20、in 时，允许的最大切削力为时，允许的最大切削力为Nk45. 678. 31121 . 060F当当n=42 r/min 时，允许的最大切削力为时，允许的最大切削力为 Nk19.1778. 3421 . 060F有用PdnF6013-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率 例：例： 电动机车质量为电动机车质量为m ，由静止以匀加速度，由静止以匀加速度a 沿水平沿水平直线轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于直线轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg (其其中中k是常数是常数)。求电动机车的功率。求电动机车的功率。 解：解：设电动机车行驶距离设电动机车行驶距离s时的速度为时

21、的速度为v，发动机所做，发动机所做的功为的功为W，由动能定理得：，由动能定理得：kmgsWmv0212)2(2gvksmgW将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意及及得电机车的功率得电机车的功率tsvddtvadd)(dgakmgvtWP将将atgakmgP)( atv 代入上式，得：代入上式，得：13-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率 例：例：均质圆轮半径均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在，受到轻微扰动后，在半径为半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心使圆轮

22、在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。的运动规律。 解：解：取轮为研究对象，取轮为研究对象，均质圆均质圆轮作平面运动，其动能为轮作平面运动，其动能为222432121cccmvJmvT只有重力作功只有重力作功, ,重力的功率为重力的功率为 vgmPtsmgddsin 13-4 13-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率应用功率方程：应用功率方程：PtTdd得得tsmgtvvmccddsindd24322ddddddccvsssvtttRr因，当当很小时很小时sin,于是得质心于是得质心C的运动微分方程为的运动微分方程为0)(32dd22srRgts13-4 13-4 功率功率功率方程功率

23、方程机械效率机械效率一、一、 势力场势力场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场力场。例：。例：重力场，太阳引力场等等。重力场，太阳引力场等等。 如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为迹形状无关，这种力场称为势力场势力场（或（或保守力场保守力场）。）。 在势力场中，物体受到的力

24、称为在势力场中，物体受到的力称为有势力有势力（或（或保守力保守力）。）。例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。引力都是有势力。 13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 在势力场中，质点由点在势力场中，质点由点M 运动到任选的点运动到任选的点M0 ，有势，有势力所作的功称为质点在点力所作的功称为质点在点M 相对于点相对于点M0的的势能势能。以。以V 表表示为示为0dMMVrF 点点M0 称为称为零势能点零势能点。在势力场中，势能的大小是相对。在势力场中，势能的大小是相对零势能点

25、而言的。零势能点零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。0)ddd(MMzyxzFyFxF 二、二、 势能势能13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律1 1重力场中的势能重力场中的势能质点重力质点重力mg在各轴上的投影为在各轴上的投影为 0 xF0yFmgFz取取Mo为零势能点，则质点在为零势能点，则质点在点点M的势能为的势能为)(d00zzmgzmgVzz质点系重力势能质点系重力势能 )(0cczzmgV其中其中m为质

26、点系全部质量，为质点系全部质量，zc为质心的为质心的z坐标，坐标，zc0为零势为零势能位置质心能位置质心z坐标。坐标。 几种常见势能的计算几种常见势能的计算13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律2 2弹性力场中的势能弹性力场中的势能 设弹簧的一端固定，另一端与设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为物体连接。弹簧的刚度系数为k。 取取Mo为零势能点，则物体在点为零势能点，则物体在点M的势能为的势能为 )(2202kV 如取弹簧的自然位置为零势能点，则有如取弹簧的自然位置为零势能点，则有0 = 0，则，则22kV 13-5 13-5 势力场势

27、力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律3 3万有引力场中的势能万有引力场中的势能 设质量为设质量为m1 的质点受质量为的质点受质量为m2的物体的万有引力的物体的万有引力F 作用。作用。 取点取点M0为零势能点，则质点在点为零势能点，则质点在点M 的势能为的势能为rF d0MMV式中式中 f 为引力常数。为引力常数。 rdd0 rr因为因为 所以所以 1d221rrrrmfmV如选取点如选取点M0 在无穷远处，即在无穷远处，即r1=，则，则 rmfmV210221rFrmfmrr d02210MMrmfm)11(2121rrmfm13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .

28、机械能守恒定律机械能守恒定律 一质量为一质量为m、长为、长为 l 的均质杆的均质杆AB。A端铰支，端铰支，B端由端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长0。如弹簧刚度系数为如弹簧刚度系数为k， 如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的位置，称为质点系的“零势能位置零势能位置”。 质点系从某位置到其质点系从某位置到其“零势能位置零势能位置”的运动过程中，的运动过程中，各有势

29、力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。 0)(FAM020lmglkkmg2013-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角角 处，势能为处，势能为2lmg2)2(21220lmgllk (1)如重力以杆的水平位置为零如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角能点，则杆于微小摆角处势能为处势能为kgmlk8212222注意注意 kmg20可得可得 2

30、221lkV20)(21lk1VV)(212020lk2lmg13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。 设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1 到点到点M2，该力所作的功为，该力所作的功为W12。 取点取点M0 为零势能点，则为零势能点，则01MM 110VW02MM220VW 因有势力的功与轨迹形状无关，从因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经经M2到到M0201210WWW21201012VVWWW

31、2112VVW 即即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。终了位置的势能的差。13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能机械能。 由质点系动能定理由质点系动能定理1212WTT如只有有势力作功，则如只有有势力作功，则211212VVWTT 移项后移项后 2211VTVT 即即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变能保持不变。这种质点系称为。这种质

32、点系称为保守系统保守系统。13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 如质点系还受到非保守力的作用，称为如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统非保守系统，非，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12， 非保守力所作的功为非保守力所作的功为W 12 ，由动能定理有，由动能定理有121212WWTT2112VVW因因 则则 122112WVVTT121122)()(WVTVT 如如W 12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散机械能耗散；

33、如如W 12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对时外界对 系统输入了能量。系统输入了能量。13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 例例: 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆，的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角杆的倾角和质心的位置表达）。和质心的位置表达）。 解：解：取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心静止，故质心C 铅垂下

34、降。铅垂下降。由于只有重力作功由于只有重力作功, 因此机械因此机械能守恒。取地面为零势能面能守恒。取地面为零势能面01TmglV211222)dd(21)dd(21tymtJTc)2(2ylmgV222)dd(21)dd(241tymtml13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：将将代入上式，化简后得代入上式，化简后得)cos1 (2lytltyddsin2ddtyltddsin2ddtyltddsin2ddygty22sin31sin6dd)2()dd(21)dd(24121222ylmgtymtmlmglmglV2

35、112222)dd(21)dd(241tymtmlT)2(2ylmgV01T13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 例例: 两根均质杆两根均质杆AC和和BC各重为各重为P，长为，长为l，在，在C处光滑铰接，置于处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度点高度为为h，求铰，求铰C到达地面时的速度。到达地面时的速度。13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 解：取整体为研究对象：由于只解：取整体为研究对象：由于只有重力作功有重力作功,

36、 因此机械能守恒。取地面因此机械能守恒。取地面为零势能面为零势能面01T22223123121lgPlgP lvC分析分析AC杆运动，杆运动，PhPhV221102V由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：ghvC3vA231CvgPPh A点为其速度瞬心。点为其速度瞬心。22122AJT2231CvgPT 13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 例：均质圆轮半径例：均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆

37、轮在滚动时无滑动。求质心无滑动。求质心C的运动规律。的运动规律。 解：取轮为研究对象，此系统解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置的机械能守恒，取质心的最低位置O 为重力场零势能点，圆轮在任一为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为位置的势能为同一瞬时的动能为同一瞬时的动能为)cos1)(rRmgV243cmvT 由机械能守恒，有由机械能守恒，有0)(ddTVt13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律把把V和和T的表达式代入，取导数后得的表达式代入，取导数后得0dd23ddsin)(tvmvtrRmgcc，rRvtcdd于是得于是得 0

38、sin32dd22gts当当很小时，很小时， rRssin，于是得，于是得 0)( 32dd22srRgts22ddddtstvc因因,rRs13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。于研究机械运动与其它运动形式有能

39、量转化的问题。 应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。 应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例解：取杆为研究对象解：取杆为研究对象2312lPlgPlg 2/3由质心运动定理：由质心运动定理：O0XagPCx PYlgPagPCyO2例：均质杆例：均质杆OA，重，重P，长，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，杆的，绳子突然剪断。求该瞬时，杆

40、的角加速度及角加速度及O处反力。处反力。对对O点应用动量矩定理：点应用动量矩定理：PY41O)(OOFMJ aCyxyaCx13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例ll0AB例：图示弹簧两端各系以重物例：图示弹簧两端各系以重物A和和B，放在光滑的水平，放在光滑的水平面上面上, 重物重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1、m2, 弹簧的原长为弹簧的原长为l0，刚，刚性系数为性系数为k。若将弹簧拉到。若将弹簧拉到 l 然后无初速地释放，问当弹簧然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物回到原长时，重物A和和B的速度各为多少？的速度各为多少？13-6 13-6 普遍定理的综

41、合应用举例普遍定理的综合应用举例ll0AB解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。m1 gm2 gFAFBvAvBx 0 xF因为因为，所以，所以应用动量定理应用动量定理应用动能定理应用动能定理2200)(21llk（2）BAvmvm210（1）由由(1)(1)、(2)(2)两式解得：两式解得：)()(21102mmmllkmvA)()(21201mmmllkmvB021212221BAvmvm13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例例：图示圆环以角速度例：图示圆环以角速度绕铅垂轴绕铅垂轴AC自由转动。此圆自由转动。此圆环半经为环半经为R, 对轴的转动惯量为对轴的转

42、动惯量为J。在圆环中的点。在圆环中的点A放一质量放一质量为为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环，小球与圆环间的摩擦忽略不计。求当小球到达点间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和和C时，圆环的角速时，圆环的角速度和小球的速度。度和小球的速度。ACB13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例ACB解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球小球AB应用动量矩定理应用动量矩定理 0zM因为因为，所以，所以BBmRJJ22mRJJB应用动能定理应用动能定理mgRmmRJJJmgRvB1)(2

43、2222222121BBmvJ221J13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球小球AC应用动量矩定理应用动量矩定理 0zM因为因为，所以，所以CJJC应用动能定理应用动能定理mgR2gRvC2解得解得解得解得222121CCmvJ221J13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例 例：如图所示两均质圆轮质量均为例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为，半径为R，A轮绕固定轮绕固定轴轴O转动，转动，B轮在倾角为轮在倾角为的斜面上作纯滚动，的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到轮中心的绳绕到A轮上。若轮上。若

44、A轮上作用一力偶矩为轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求轴承的摩擦，求B轮中心轮中心C点的加速度、绳子的张力、轴承点的加速度、绳子的张力、轴承O的的约束反力和斜面的摩擦力。约束反力和斜面的摩擦力。13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。假设轮假设轮B的中心的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力，则各力所作功的和为所作功的和为smgRM)sin(01T2222212121BCCAOJmvJT221mRJJCORvCBA222222)(21(

45、2121)(21(21RvmRmvRvmRTCCC由动能定理，得由动能定理，得smgRMmvC)sin(02将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得mRmgRMaC2sin2Cmv12WMsinmgs13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例 (2)取轮取轮A为研究对象。应用定轴转动微分方程为研究对象。应用定轴转动微分方程RFMJTAO其中其中 221mRJORaCA得得 )sin3(41mgRMRFT应用质心运动定理，得应用质心运动定理，得cosTOxOxFFmasinTOyOyFmgFma因因 aox=aoy=0，得，得cosTOxFFsinTOyFmgFcos)si

46、n3(41mgRMRsin3)sin4(412MmgRR13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例 (3)取轮取轮B为研究对象，为研究对象，FmgFmaTCsin代入已量，得代入已量，得)sin(41mgRMRF本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。 )sin3(41mgRMRFTmRmgRMaC2sinFRJCRaC221mRJC)sin(41mgRMRF应用质心运动定理，得应用质心运动定理，得13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例 例例: 均质细长杆为均质细长杆为l、质量为、质量为m，静止直立于光

47、滑水平面，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。速度和地面约束力。CA13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例CA解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，倒下过程中解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。质心将铅直下落。cos2lvCPvCC2222)cos311 (212121CCCvmJmvT由动能定理，得由动能定理，得 )sin1 (2)cos311 (2122lmgvmCglvC321lg3当当 时解出时解出 0mgFNvAvCP 设任一

48、瞬时杆与水平线的夹角为设任一瞬时杆与水平线的夹角为，如，如图所示，图所示，P为杆的瞬心。为杆的瞬心。由运动学知由运动学知, , 杆的角速度杆的角速度13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例aA杆刚到达地面时杆刚到达地面时。 CmaFmgN1222NmlJlFC由于质心运动在水平方向守恒，由于质心运动在水平方向守恒，aC 应为铅垂应为铅垂,以点以点A为基点为基点CACAACaaaan沿铅垂方向投影，得沿铅垂方向投影，得2laaCAC4NmgF mgFNaCAC由刚体平面运动微分方程，得由刚体平面运动微分方程，得aA由运动学知由运动学知nCAaCAa13-6 13-6 普遍

49、定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例例：两个相同的滑轮例：两个相同的滑轮A和和B，半径各为，半径各为R，重量各为，重量各为P，用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始运动。求轮运动。求轮B质心质心C的速度的速度v及加速度及加速度a与下落距离与下落距离h的关系。的关系。ACBh13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例ACBh解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。FxFyPPABvPh由运动学知：由运动学知：BARRvACBFxFyPAPBvFF取轮取轮A为研究对象为研究对象FR取轮取轮B为研究对象为研究

50、对象RF由动能定理：由动能定理：22)21(21ARgP22)21(21BRgP221vgP0tRgPAdd212应用动量矩定理应用动量矩定理tRgPBdd21213-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例由于由于F=F，开始时系统静止，所以，开始时系统静止，所以BARv2代入上面的方程，得代入上面的方程，得PhvgP285ghv522上式两边求导，得上式两边求导，得PvvagP45ga54Ph22)21(21ARgP22)21(21BRgP221vgP0FRtRgPAdd212RFtRgPBdd21213-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例例：图示

51、三棱柱体例：图示三棱柱体ABC的质量为的质量为m1, 放在光滑的水平放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体的均质圆柱体O由静由静止沿斜面止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为,求三求三棱柱的加速度。棱柱的加速度。ABCO13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例ABCOm1gm2gFNvrv1v1解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。应用动量定理应用动量定理x 0 xF因为因为，所以，所以01221rcosvmmmv应用动能定理应用动能定理s0其中其中cos2r12r2122v

52、vvvvrvr)cos(r12vvm11vmsin2gSm21121vm222222)21(2121rmvmv213-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例sin)(21cos)(432212122221gSmvmmmmm两边求导（注意：两边求导（注意： ），得），得1221rcosddvmmmvtSsincos)(cos)(2312212112122221vmmmgmavmmmmm所以所以gmmmma222121sin232sin13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例例：重例：重150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重60N、长、长24cm的均质杆的

53、均质杆AB在在B处用处用铰链连接。铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置置B点时的速度及支座点时的速度及支座A的约束反力。的约束反力。解：解：（1 1）由动量矩定理求盘的角加速度）由动量矩定理求盘的角加速度 取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象; F0)(Bm 0BBJ00，圆盘平动，圆盘平动。由相对于质心的动量矩定理由相对于质心的动量矩定理)(BFBBmJ0B13-6 13-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例（2）用动能定理求速度。）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：最低位置时：2221AJT 2221213121BBvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121llGGllGllGWWTT12)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据，得代入数据，得m/s 58. 1Bv由动能定理：由动能定理：vBG1G2G1G22221BvgG22163BvgGG13-6