（文章）等腰三角形的性质及判定应用题型例析

1、等腰三角形的性质及判定应用题型例析典例1（学科内综合应用题）有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）A、B、C、D、研析将原等腰直角三角形折叠四次后，边长是原等腰直角三角形的，所以小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的，选B.方法点拨等腰三角形是轴对称图形，沿着其对称轴对折，原三角形被分成两个全等的等腰三角形，被分成的两个小三角形的周长和面积相等.AB典例2（学科间综合应用题） 如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜

2、A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 。【研析】根据光的反射定律，可知入射角等于反射角(或者轴对称知识)。再根据，可得一个顶角为110°的等腰三角形。它的底角为35°，而与底角相等，所以的度数为35°。知识链接本题利用物理上光的反射来解题，要求你先知道物理学中的基本知识：入射角等于反射角，再转化为数学问题来计算。A C B D 60°典例3（社科热点应用题）如图，某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，从B沿南偏西60°方向走18m到C处时，测得ACB=

3、30°，这时，地质专家就知道了河流的宽度。你知道河流的宽度（AB）是多少了吗？请说明理由。研析河宽ABBC18。说理如下：DBCAC（三角形的外角等于不相邻的两个内角和）。ADBCC60°30°30°ACABBC18。方法探究把河北岸树的位置（A点）、南岸小旗的位置（B点）及C处看作三角形的三个顶点，建立三角形的模型，那么求河流的宽度也就转化为求三角形边长的问题，从而结合已知利用等腰三角形的识别方法问题即可解决。典例4（活学巧用应用题）一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30

4、6;方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里/时的速度向前航行，有无触礁的危险？研析画出如图所示的示意图，由条件可证得AB=BP，过P作PCAB，可得PC=PB 解：根据题意画出图形如图1，则AB=15×2=30（海里）过P作PCAB的延长线于点C，由题中分别在A点，B点测得的方位角可知，PAB=15°，PBC=30°ABP=180°-30°=150°APB=PBC-PAB=3°-15°=15° ABPB在RtBCP中，PBC=30°，PC=PB15（海里）即点C距小岛P的距离只有

5、15海里，而小岛周围18海里内有暗礁，所以该船继续向北航行有触礁的危险规律总结解此类问题，应首先正确画出图形，构建三角形模型，然后将实际问题转化成数学问题运用含30º的直角三角形的性质.典例5（开放探究题）已知ABC中，AB=AC，且过ABC的某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数研析此题为一道无附图的等腰三角形问题的探索题，解决此类问题一般要分类讨论，否则，则容易漏解解：当在BC边取点时，分两种情况：（1）如图，设点E在BC上，且AE=BE=EC，这时容易计算得B=C=45°，BAC=90°，即ABC各内角的度数分别为45°

6、、45°、90°（2）如图，过A的直线交BC于F，且BF=BA，CF=AF，设B=x°，则C=x°，CAF=x°，BAF=BFA=2x°，由x+3x+x=180，解得x=36，即ABC各内角的度数分别为36°、36°、108°当在腰上取点时，该点与相对顶点的连线把ABC分成两个等腰三角形也有两种情况：（3）如图1，过B点的直线交AC于D，且BD=AD=BC，设A=x°，则ABD=x°C=BDC=2x°，DBC=x°，有x+2x+2x=180，解得x=36，所以ABC

7、各内角的度数是36°、72°、72°（4）如图，BG=AG，CB=CG，设A=x°，则ABG=x°，CBG=CGB=2x°，C=ABC=3x°，有x+3x+3x=180，解得x=，此时，ABC各内角的度数分别是当点在AB上时，情形与点在AC上情形一样综上所述，ABC各内角的度数分别是45°、45°、90°或36°、36°、108°或36°、72°、72°或 方法归纳等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的特征，又具有自己的特殊性

8、质解决等腰三角形问题，有时需要根据条件的不唯一性，进行分类讨论拓展·体验1已知等腰三角形的底边长为10，周长不大于40，求腰长的取值范围。2、如图,在灯塔A南偏东62°方向上有一暗礁S(看作一个点),且灯塔A与暗礁S相距35海里,有一货轮在灯塔正北35海里的B处,若货轮从B处出发,沿南偏东40°的方向航行,货轮能否避开暗礁?为什么?B A .S C 62° 40° 3、正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图中的正三角形分别分割成四个等腰三角形，（在图中画出分割线）。4、某中学师生在工厂学习劳动中，看

9、到工人师傅在材料的边角处画直角时，采用“三弧法”如图所示，（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧相交于点C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延长线于D；（3）连结DB，则ABD为直角这是为什么呢？5、如图，在ABC中，已知ABC=ACB，BO平分B，CO平分C，请写出一组相等的边和一组相等的角？过O作直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F，则图中有几个等腰三角形？它们分别是哪几个三角形？线段EF和EB、FC之间有怎样的关系？并给予证明；若BC，其他条件不变，图中还有没有等腰三角形，线段EF和EB、FC之间的关系还成立吗？A B C O A B C O

10、E F A O B C E F 答案1、设腰长为，等腰三角形的两腰相等，21040，15；又底边长为10，两边之和大于第三边，10，5，故腰长的取值范围为515.2、:货船能避开暗礁.理由:连接BS.AS=AB=35.ABS=ASB,又ABS+ASB=62°.ABS=ASB=31°.CBA=40°。CBAABS. 即货轮能避开暗礁. 3、分割如图所示4、解：由画法可知，AB=AC=BC=CD AC=BC， A=1（等边对等角） CB=CD， D=2（等边对等角）A+1+D+2=180°， 21+22=180°，1+2=90°即ABD=90°5、OBC=OCB、OB=OC