导数及其应用(章末测试带答案)

1、1选修选修 1-11-1第三章第三章 导数及其应用质量评估导数及其应用质量评估一一、选择题选择题( (本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 5050 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的) )1曲线y12x22x在点1，32 处的切线的倾斜角为()A135B45C45D1352下列求导运算正确的是()A.x3x13x2B(log2x)1xln 2C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2xsinx3函数yx42x25 的单调减区间为()A(，1)及(0，1)B(1，0)及(1，)C(1，1)D

2、(，1)及(1，)4函数y13xx3有()A极小值1，极大值 1B极小值2，极大值 3C极小值2，极大值 2D极小值1，极大值 35函数f(x)x2x1()A在(0，2)上单调递减B在(，0)和(2，)上单调递增C在(0，2)上单调递增D在(，0)和(2，)上单调递减6函数yx44x3 在区间2，3上的最小值为()A72B36C12D07已知f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2B3a6Ca1 或a2Da3 或a68已知f(x)的导函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()29函数f(x)x3ax2 在区间(1，)内是增函数，则实

3、数a的取值范围是()A3，)B3，)C(3，)D(，3)10设曲线yxn1(nN N*)在(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则 log2 010 x1log2 010 x2log2 010 x2 009的值为()Alog2 0102 009B1C(log2 0102 009)1D1二、填空题二、填空题( (本大题本大题共共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上) )11若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值为_12 已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y12x2， 则f(1)f(1).

4、13函数yx3x25x5 的单调递增区间是14 设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点， 则常数ab的值为_15已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示过原点的曲线，且在x1 处的切线的倾斜角均为34，有以下命题，其中正确命题的序号为f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2f(x)的极值点有且只有一个f(x)的最大值与最小值之和等于零三三、解答题解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7575 分分解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、证明或演算步骤证明或演算步骤) )16(12 分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，aR R.若f(

5、x)在x3 处取得极值(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程317(12 分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x1 与x2 处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x2，3，不等式f(x)32cc2恒成立，求c的取值范围18 (12 分)已知函数f(x)13x312ax2(a1)x1， 其中aR R.若函数f(x)在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围19(12 分)某大型商厦一年内需要购进电脑 5 000 台，每台电脑的价格为 4 000 元，每次订购电脑的其它费用为 1 600 元，年保管费用

6、率为 10%(例如，一年内平均库存量为150 台，一年付出的保管费用 60 000 元，则60 0001504 00010%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？420(13 分)若函数f(x)ax3bx4，当x2 时，函数f(x)有极值43.(1)求函数的解析式(2)若方程f(x)k有 3 个不同的根，求实数k的取值范围21(14 分)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)23x312x2的下方5选修选修 1-11-1第三章第三章 导数及其应用质量评估（

7、答案）导数及其应用质量评估（答案）一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分) )1解析:yx2，所以斜率k121，因此，倾斜角为 135.答案 D2解析：x3x13x2，所以 A 不正确；(3x)3xln 3，所以 C 不正确；(x2cosx)2xcosxx2(sinx)，所以 D 不正确；(log2x)1xln 2，所以 B 正确答案选 B.3解析：y4x34x4x(x21)，令y0.x(0，1)和(1，2)时，f(x)0.答案B6 解析：y4x34， 令y0， 4x340，x1， 当x1 时，y1 时，y0得y极小

8、值y|x10，而端点的函数值y|x227，y|x372，得ymin0.答案D7解析：因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f(x)3x22ax(a6)有两个不等实根，所以4a212(a6)0，得a3 或a6.答案D8解析：x(，2)时，f(x)0 得x1.答案，35 ，(1，)14解析f(x)3x22axb，242a3，24b3a3，b24.ab32421.答案2115.解析：f(x)3x22axb，由题意f(0)0，f(1)f(1)tan341.c032ab132ab1a0，b4，c0.f(x)x34x，x2,2故正确由f(x)3x240 得x12 33，x22 33.根据x1，x2分析f

9、(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.x2(2，2 33）2 33(2 33，2 33)2 33(2 33， 2)2f(x)00f(x)016 3916 390 x2 33是极大值点也是最大值点x2 33是极小值点也是最小值点f(x)minf(x)max0.错，正确答案三三、解答题解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7575 分分解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、证明或演算步骤证明或演算步骤) )16解：(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3 处取得极值，f(3)696(a1)36a0，解得a3.f(x)2x312x218x8.7(2)A点在f

10、(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.17.解：(1)f(x)3x22axb，由题意得f（1）0，f（2）0，即32ab0，124ab0，解得a32，b6.f(x)x332x26xc，f(x)3x23x6.令f(x)0，解得1x0，解得x2.f(x)的减区间为(1，2)，增区间为(，1)，(2，)(2)由(1)知f(x)在(，1)上单调递增；在(1，2)上单调递减；在(2，)上单调递增x2，3时，f(x)的最大值即为f(1)与f(3)中的较大者f(1)72c，f(3)92c.当x1 时，f(x)取得最大值要使f(x)32cf(1)32c，即 2

11、c275c，解得c72.c的取值范围为(，1)72，18解:f(x)x2axa1，由题意知f(x)0 在(1,4)上恒成立，且f(x)0 在(6，)上恒成立由f(x)0 得x2axa10，即x21a(x1)x(1,4)，x1(0,3)，ax21x1x1.又x1(2,5)，a5， 由f(x)0 得x2axa10，即x21a(x1)x(6，)，x10，ax21x1x1.又x1(7，)，a7， 同时成立，5a7.经检验a5 或a7 都符合题意，所求a的取值范围为 5a7.19解：设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销8售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平

12、均库存量为12x台，所以每年的保管费用为12x4 00010%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000 x1 600 元，这样每年的总费用为5 000 x1 60012x4 00010%元令y5 000 x1 60012x4 00010%，y1x25 0001 600124 00010%.令y0，解得x200(台)即当x200 台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值 80 000 元20解：f(x)3ax2b.(1)由题意得f（2）12ab0，f（2）8a2b443，解得a13，b4，故所求函数的解析式为f(x)13x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)

13、，令f(x)0，得x2 或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)28343因此，当x2 时，f(x)有极大值283，当x2 时，f(x)有极小值43，所以函数f(x)13x34x4 的图象大致如图所示若f(x)k有 3 个不同的根， 则直线yk与函数f(x)的图象有 3 个交点， 所以43k1 时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明令F(x)f(x)g(x)12x223x3lnx，F(x)x2x21xx22x31xx2x3x31x1x2x2x1x.x1，F(

14、x)0，F(x)在(1，)上是减函数，F(x)F(1)1223160.f(x)0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调减函数，则a的最大值为()A1B2C3D4答案：C7若函数f(x)asinx13cosx在x3处有最值，那么a等于()A.33B33C.36D36解析：A。f(x)acosx13sinx，由题意f3 0，即a1213320，a33。8函数yxsinx，x2，的最大值是()A1B.21CD1解析： C。y1cosx0，所以yxsinx在2，上为增函数当x时，ymax.9函数f(x)x1x的单调增区间是()A(，1)B(1，)C(，1)，(1，)D(，1)，(1，)解析：Cf(x)

15、x1xx1x1x21xx1x211x20，又x1，f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)10. 曲线ylnx在点M(e，1)处的切线的斜率是_，切线的方程为解析:由于y1x，ky|xe1e，故切线的方程为y11e(xe)，故y1ex.答案1e，xey011设函数f(x)ax33x1 (xR R)，若对于x1，1，都有f(x)0，则实数a的值为解析：4。若x0，则不论a取何值，f(x)0，显然成立；11当x(0,1时，f(x)ax33x10 可转化为a3x21x3，设g(x)3x21x3，则g(x)312xx4，所以g(x)在区间0，12 上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)ma

16、xg12 4，从而a4；当x1,0)时，f(x)ax33x10 可转化为a3x21x3，设g(x)3x21x3，则g(x)312xx4，所以g(x)在区间1,0)上单调递增因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上所述，a4.12. 如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：4 39。设CDx，则点C坐标为x2，0.点B坐标为x2，1x22，矩形ABCD的面积Sf(x)x 1x22x34x(x(0,2)由f(x)34x210，得x123(舍)，x223，x0，23 时，f(x)0，f(x)是递增，x23，2时，f(

17、x)0，f(x)是递减，当x23时，f(x)取最大值4 39.13.(12 分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x23与x1 时都取得极值(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)0，得x1，令f(x)0，得23x1.所以函数f(x)的递增区间是，23 和(1，)，递减区间是23，1.(2)f(x)x312x22xc，x1,2，由(1)知，当x23时，f23 2227c为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得c2.14(12 分)给定函数f(x)x33ax2(a21)x和g(x)xa2x.(1)求证：f(x)总有两个极

18、值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值解：(1)证明：因为f(x)x22ax(a21)x(a1)x(a1)，令f(x)0，解得x1a1，x2a1.当x0；当a1xa1，f(x)0.所以xa1 为f(x)的一个极大值点同理可证xa1 为f(x)的一个极小值点所以f(x)总有两个极值点(2)解：因为g(x)1a2x2（xa） （xa）x2.令g(x)0，则x1a，x2a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1a和a1，a1 不可能相等，所以当aa1 时，a12；当aa1 时，a12.经检验，当a12和a12时，x1a，x2a都是g(x)的极值点15(12 分)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；13(2)设f(x)在1,1上是单调函数，求a的取值范围解：(1)对函数f(x)求导数，得f(x)(x22ax)ex(2x2a)exx22(1a)x2aex.令f(x)0，得x22(1a)x2aex0，从而x22