第一章(5)习题课

1、第一章习题课第一章习题课( (场强、电势）场强、电势）1、描述静电场性质的两条基本规律是、描述静电场性质的两条基本规律是高斯定理高斯定理、静电场的环路定理静电场的环路定理。相应的数学表达式为。相应的数学表达式为、 1)(0 内内SiSqSdE 0 LldE2、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零，即等于零，即, 0 Ll dE这表明静电场中的电场线这表明静电场中的电场线不闭合。不闭合。3、一均匀静电场，场强、一均匀静电场，场强,)600400(1 mVjiE则点则点a（3、2）和点）和点b（1、0）之间的电势差为）之间的电势差为2000abVV

2、jiE600400: 解解jdyi xdl d (400600 ) ()bbabaaVE dlijdxidyj )0, 1()2, 3()600400(dydx 0213600400dydx1200800 )(2000 V 4、一、一“无限长无限长”均匀带电直线沿均匀带电直线沿Z轴放置，线外轴放置，线外某区域的电势表达式为某区域的电势表达式为VAln(x2+y2) ，式中，式中A为为常数，该区域电场强度的两个分量为：常数，该区域电场强度的两个分量为：222,xVAxExxy 222yVAyEyxy 5、在圆心角为、在圆心角为 ，半径为，半径为R的圆弧上均匀分布着电的圆弧上均匀分布着电荷荷q，试

3、求：，试求：(1)圆心处的电势；圆心处的电势； (2)圆心处的场强。圆心处的场强。 Rq / 任取一小段圆弧任取一小段圆弧dl，其电量，其电量为为解：电荷线密度解：电荷线密度 dqRdRqdldq 点点产产生生的的电电势势在在Odq )1(04dqdVR Rqd 04 圆弧在圆弧在O点产生的电势点产生的电势2024qdVdVR Rq04 yRq O Ox ddlxdEydEEd点点产产生生的的场场强强大大小小为为在在Odq )2( dRqRdqdE202044 Ed的方向如图所示的方向如图所示 cosdEdEx sindEdEy dRqsin420 dRqcos420 2220cos4 dRq

4、dEExx20sin22qR 2220sin4 dRqdEEyy0 jEiEEyx 20sin22qiR yRq O Ox ddlxdEydEEd(在习题四、在习题四、7中中 = )奇函数在对称区间积分为零奇函数在对称区间积分为零6、半径为、半径为R的球面上有一小孔，小孔的面积为的球面上有一小孔，小孔的面积为S, S与球面积相比很小，若球面的其余部分均匀分与球面积相比很小，若球面的其余部分均匀分布正电荷布正电荷q，则球心，则球心O点场强大小点场强大小 E = ,16402RSq 方向方向由由O指向指向S，电势，电势 V =Rq04 解解: :24 Rq S的电量为的电量为24 RSqSq S在

5、在O点产生的场强和电势分别为点产生的场强和电势分别为rrSeRSqeRqE40220164 2300416Sqq SVRR o oS SEq完整球面在完整球面在O点产生的场强和电势分别为点产生的场强和电势分别为0 球面球面E04qVR 球球面面根据场强叠加原理根据场强叠加原理 SEEE 球球面面SEEE 球球面面得得 reRSq40216 根据电势叠加原理根据电势叠加原理 SVVV 球球面面 SVVV 球球面面得得3020164RSqRq )41(420RSRq Rq04 )4(RS o oS Eq 7、一个半径为、一个半径为R1的均匀带电球面，带电的均匀带电球面，带电+q，其，其外套一个半径

6、为外套一个半径为R2的同心均匀带电球面。的同心均匀带电球面。R2R1，外球面带电外球面带电Q，求两球面间的电势差；若有一，求两球面间的电势差；若有一试验电荷试验电荷q0从外球面处移到无限远处，电场力作从外球面处移到无限远处，电场力作功多少？功多少？ R1R2Q+qO)( , 42120RrRerqr )( , 01Rr E)( , 4220RrerQqr 解法一：解法一：由高斯定理可得由高斯定理可得211212RRVVVE dl 21RREdr121201211()4qVVVRR 21204RRrdrq21140RRrq )11(4210RRq 解法二：解法二：以无穷远处为电势零点以无穷远处为

7、电势零点则由电势叠加原理可得则由电势叠加原理可得内球面电势为内球面电势为1010244qQVRR 外球面电势为外球面电势为2020244qQVRR 00202()()4qQ qAq VVR 8、一半径为、一半径为R的的“无限长无限长”圆柱形带电体，其电荷圆柱形带电体，其电荷体密度为体密度为 =Ar(rR)，式中，式中A为常数，试求：为常数，试求：(1)圆柱体内，外各点场强大小分布；圆柱体内，外各点场强大小分布；(2)选距离轴线的距离为选距离轴线的距离为R0(R0R)处为电势零点，计处为电势零点，计算圆柱体内，外各点的电势分布。算圆柱体内，外各点的电势分布。RSrh上底上底下底下底侧面侧面解：解

8、：(1)作一半径为作一半径为r，高为，高为h的同轴圆柱面为高斯面的同轴圆柱面为高斯面 根据对称性分析，圆柱面侧面上任一根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向点的场强大小相等，方向沿矢径方向 侧侧面面下下底底上上底底SdESdESdESdES 侧侧面面SdErhEdSE2 侧侧面面由高斯定理由高斯定理0)(/ 2qrhESi 内内EERr R 时时, Srh上底上底下底下底侧面侧面hdrrrhdrdV 2rdrAhdVdq 22 302)(322AhRrdrAhqRSi 内内即即3032 2AhRrhE rARE033 RrSh上底上底下底下底侧面侧面r R时时r R2

9、 20 10 14AdqrdrdVrr 2121102RRRRAArdrrdVV 1031323)(rRR AOR2R1B r1rdrr2（2）B点处，点处， r2 R2 11133332222200 1()()=33ArrrRRRRdrVE dlEdrrr v vv v(2) B点处，点处， r2 R1 122212+RRBrrRRVE dlEdrEdrEdr v vv v21233331222200()()33RRRrRRRdrdrrr 021222)( RR = 010.(第一章习题二第一章习题二.9)无限长均匀带电圆柱面，电荷无限长均匀带电圆柱面，电荷面密度为面密度为 ，半径为，半径为

10、R，求圆柱面内外的场强分布。，求圆柱面内外的场强分布。RrSEEh为高斯面为高斯面, ,作一半径为作一半径为r，高为，高为h的同轴圆柱面的同轴圆柱面解：解：根据根据对称性分析，对称性分析，圆柱面圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，侧面上任一点的场强大小相等，方向方向沿矢径方向。沿矢径方向。 SSdE 侧侧面面下下底底上上底底SdESdESdErhEdSEEdS2 侧面侧面侧面侧面(1) r R时时,2Rhqi )( 0Rr，rrR )( 0Rr， E的方向垂直轴线沿径向，的方向垂直轴线沿径向， 0则背离轴线；则背离轴线；E 0，则，则 方向如图方向如图OE , 3 0 rE 03 rE 根据叠加

11、原理可得根据叠加原理可得Q点的场强：点的场强： EEE 003 3 rr )(3 0rr a03 Rbaoo1 Qrr aE 空腔内为一均匀电场空腔内为一均匀电场 Q点为空腔中任意一点，点为空腔中任意一点， 为一常矢量为一常矢量a讨论讨论 求求O、O1连线上连线上M点和点和P点的场强点的场强 和和 (以以 代表沿代表沿 方向的单位矢，方向的单位矢，rM、 rP分别代表分别代表M、P与与O的距离的距离)，aMEPEaPMPrMrM点和点和P点在点在O点左侧。点左侧。M点为大球外一点点为大球外一点arRRraEMM3344 230320 )(34)(4 320 baraEMarRarbEEEMMM)(3 23230 aarbM)(3230 Rbaoo1 Qrr aEPMPrMrME0)(2323 MMrRarbME a 与与 反向反向 (设设)ararbEEEPPP)(3 230 P点为大球内小球外一点点为大球内小球外一点)(34)(4 320 baraEParEP3 0 aarbP)(3230 Rbaoo1 Qr