《二次函数》单元复习

1、二次函数单元复习【知识梳理】1 定义：一般地如果 （、是常数，且）那么叫做的二次函数2 二次函数用配方法化成顶点式：的形式后的表达式为： 。3 二次函数的表达式有以下几种形式：（1）一般形式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式（或称两根式）： 其中，是抛物线与轴交点的横坐标（或相应的 的两个实数根）。注意：这个表达式必须是在抛物线与轴有交点的情况下使用。4 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 的符号决定抛物线的 ，即当时开口 ；当时开口 ；若决定抛物线的 ，即的值相等，抛物线的 和 一定相同 平行于轴且过点（，0）的直线记作 特别地，轴也可记作直线 。5 顶点决定抛物线的 。几个不同的二次

2、函数如果二次项系数相同，那么抛物线的 完全相同，只是顶点的 不同。6 求抛物线的顶点、对称轴的方法： （1）公式法：，顶点是（ ），对称轴是直线 。（2）配方法：运用配方的方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点坐标为（，）对称轴是直线 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是轴对称图形，所以连接对称点线段的垂直平分线是抛物线的 ，对称轴与抛物线的交点是 用配方法求得的顶点再用公式法或对称性进行验证才能做到万无一失7 抛物线中、的作用： （1）的符号决定开口的 ，决定开口 ，这与中的完全一样 （2）和共同决定抛物线 的位置由于抛物线的对称轴是直线，故：时对称轴为 轴；（即、同号）时对称轴在轴 侧

3、；（即、异号）时对称轴在轴 侧 （3）的大小决定抛物线与 轴交点的位置 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： 当时，抛物线经过 点； 当时，抛物线与轴交于 ；当时，抛物线与轴交于 注意：以上三点中当结论和条件互换时仍成立如抛物线的对称轴在轴右侧，则 有8 用待定系数法求二次函数的解析式：（用待定系数法求二次函数的解析式时，一定要注意根据题目所给条件，选择适当的表达式的形式。） （1）一般式：若已知图象上三点或三对、的值通常选择 式 （2）顶点式：若已知图象的顶点或对称轴通常选择 式 （3）交点式：若已知图象与轴的交点坐标、通常选用 式：9 直线与抛物线的交点： （1）抛物线与轴的交点为（

4、 ） （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（，） （3）抛物线与轴的交点：二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、是对应一元二次方程的两个 。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的 来判定，即 抛物线与轴有两个交点 ； 抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上） ； 抛物线与轴没有交点 （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标 ，设纵坐标为，则横坐标是的两个 （5）一次函数的图象与二次函数的图象的交点由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点； 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时

5、与没有交点（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为由于、是方程的两个根，故，。【能力训练】一、选择题：1 抛物线的对称轴是（ ）（A）直线（B）直线（C）直线（D）直线2 对于抛物线下列说法正确的是（ ）（A）开口向下顶点坐标 （B）开口向上顶点坐标（C）开口向下顶点坐标 （D）开口向上顶点坐标3 若A（）B（）C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） （A）（B） （C）（D）4 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）5 抛物线向右平移1个单位再向下平移2个单位所得到的抛物线是（ ） （A） （B） （C） （D）6 如图当0时

6、函数与函数的图象大致是（ ）AxyO BxyO CxyO DxyO7 二次函数（a0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）O1xy（第7题图）Aac0 B当x=1时，y0C方程 （a0）有两个大于1的实数根D存在一个大于1的实数x0，使得当xx0时，y随x的增大而减小 ；当xx0时y随x的增大而增大8 抛物线的顶点在第三象限，则的值为（ ）A B C D 9 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O作0°90°的旋转，那么旋转时露出的ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n关系的图象大致是（ ）OShBOShDOShCOShA

7、ABC 10 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh（第10题图）11 抛物线与x轴的交点的个数有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个12 抛物线的对称轴是（ ） A直线 B直线x=1 C直线x=2 D直线x=213 已知二次函数的图象如图所示，则在“ a0；b 0；c 0； b24ac0”中正确的判断是（ ）A B C D14 已知二次函数 （a0）的图象如图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时函数值相等；4a+b=0；当y=2时x的值只能取0其中正确的个数是（ ） Al个 B2个 C3

8、个 D4个15 二次函数的图象如图所示，则在以下结论中：；。正确的是（ ）A B C D16 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OBC45°，则下列各式成立的是（ ）Abc10 Bbc10Cbc10 Dbc10（第13题图）xyO（第14题图）xyO-1-25ABOxyC（第16题图）yxO-1（第15题图）二、填空题：17 把二次函数化成的形式： 。18 若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_（只要求写一个）19 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：012根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时， 20 二次函数

9、与x轴两交点之间的距离为_。21 平移抛物线使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 。22 抛物线的图象经过原点，则 。23 将化成的形式为 。24 抛物线是由先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的。25 函数当x=_时函数有最_值为_，当x_时y随x的增大而增大。26 抛物线与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_。27 抛物线经过点（2，5）（4，5）则对称轴是_。28 （2013绵阳）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：xyO12-1（第30题图）；若，则；其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）Oxy3-1（第29题图）Oxy-1（第28题图）29 如图，为二次函

10、数的图象，给出下列说法：；方程的根为；当时，y随x值的增大而增大；当时，；0。其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）30 小明从图中的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：；。你认为其中正确信息的个数有 。三、解答题：31 已知抛物线经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点。（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）若点（，）在抛物线上且试写出的取值范围。32 已知二次函数的图象经过点（0，）且顶点坐标为（1，）。求这个解析式。33 已知二次函数的图象如图。（1）求此函数的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点坐标；（3）根据图象回答

11、：当x为何值时；当x为何值时；当x为何值时。xyO21-434 如图，已知直线AB经过x轴上的点A（2，0），且与抛物线相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1）。（1）求直线和抛物线的解析式；Ox yABC （2）如果D为抛物线上一点，使得AOD与OBC的面积相等，求D点坐标。ABC13-3xy35 （12分）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求D点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围36 如图，二次函数（a0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点Ox yC ABMD（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积37 （本题10分）如图，抛物线经过点A（1，0），与y轴交于点B。（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标。（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。ABO1-1xy38 （1