无穷等比数列各项的和

1、教学目标：1、理解无穷等比数列的各项和的定义；2、掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式 求无穷等比数列的各项和；3、理解无限个数的和与有限个数的和意义上的区别；4、通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一 些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应 用意识.教学重点及难点：重点：数列极限的概念及简单数列的极限的求解.难点：对数列极限的定义的理解.：讲授法、练习法多媒体辅助教学称为摆动总长有摆动的弧的长度和，求到它停止前所度为第一次摆动的弧的长，假设次摆动的弧长的摆动的弧长都是上一次力，某一类钟的钟摆每、由于空气阻力和摩擦)(40%951cm的弧长解：设钟摆各次摆动na1%9540nna

2、）（%9540%9512aa401a223%9540%95）（ aa构成一个无穷等比数列na，首项401a%95公比q一、引入一、引入项的和这个无穷等比数列前n12%9540%9540%954040nnS）（）（%951%951 40n）（%951%951 40limlimnnnnS）（800%95140度和为钟摆摆动的所有弧的长cm800SSSnn和无限趋近于数列各项的当,0)95.0(lim0lim1nnnnqq时，首项401a%95公比q2、如何把、如何把0. 化成分数形式？化成分数形式？3分析：分析：0. =0.3+0.03+0.003+3 3000. 001个n0.3，0.03，0.

3、003， 3000. 001个n的等比数列，公比为构成首项为1013 . 0)1011 (311 . 01)1011 (3 . 0nn)1011 (31limlim3 . 0nnnnS31Sn=0.3+0.03+0.003+3000. 001 个n解：下面研究无穷等比数列下面研究无穷等比数列 10 q的各项和的问题的各项和的问题 对无穷等比数列： ，112111nqaqaqaa1qqaqqaqqaSnnnnnn1)1 (lim11)1 (limlim111nnSS lim无穷递缩无穷递缩等比数列等比数列qa11，项的和的无穷等比数列前我们把nSnq1时的极限叫做当n，无穷等比数列各项的和二、无

4、穷等比数列各项的和二、无穷等比数列各项的和表示，用符号S即) 1(11qqaS注意：注意：S与与 的不同的不同 nS定义：定义：无限个数的和与有无限个数的和与有限个数的和意义是限个数的和意义是不一样的不一样的三、例题举隅三、例题举隅，求无穷等比数列：例1)31(913111n各项的和解：解：3111qa，qaS11433111311)31(11)1 (1nnnqqaS43limnnSS求例1131) 1(9131121814121lim2nnnn解：解：)31(1121121原式3487654323121312131213121S解：357211111122222n()246821111133

5、333n()911914112124198132，求无穷数列例876543231213121312131213各项的和9. 0) 1 (解：0009. 0009. 009. 09 . 01 . 019 . 01数：化下列循环小数为分例49 . 0) 1 (92. 0)2(134 . 0)3(92. 0)2(00000029. 0000029. 00029. 029. 001. 0129. 099290000031. 000031. 0031. 04 . 0134 . 0)3(990314 .001.01031.04 .0990427说明：说明：化循环小数为分化循环小数为分数，实际上就是求无穷数

6、，实际上就是求无穷等比数列的各项之和，等比数列的各项之和，且有下列结论：且有下列结论：(1)纯循环小数化为分数，这个分数的分子就是一 个循环节的数字组成的，分母的各位数字均是9， 9的个数和一个循环节的位数相同.2710999370073 . 033419912121 . 132966. 0如：结论：2751075990038389050938. 53003790012123312. 0如： (2)混循环小数化为分数，这个分数的分子是小数 点后及第二个循环节前面的数字所组成的数减 去不循环部分数字所组成的数所得的差, 分母 的头几个数字是9，末几个数字是0，其中9的个 数与一个循环节的位数相同

7、，0的个数与不循环 部分的位数相同.121812111qaqaqaa解：16)21(124limnnS)(221舍或qq21241qa ，且，为已知例1815321aaaqPGan 项和，的前是数列，设naSann122求nnSlim的取值范围求首项，的各项的和是、已知无穷等比数列例146aanq公比为解：设无穷等比数列的414111aqqa，得由题设得10 q又041141111aa且)84()40(1，解得a14101a周长的和与面积的和求所有这些正方形；如此无限的作下去方形边中点得到一个更小正这个小正方形的各；又联结个小正方形的各边中点得到一，联结这个正方形的边长等于、如图正方形例222

8、2111117DCBADCBAABCD111a个正方形的边长解：由题设得第 2211qaan，公比首项是一个无穷等比数列，2222212aa个正方形的边长第)2(221naannn个正方形的边长第，面积的和的和所有这些正方形的周长2248Sl所有正方形的面积的和22111S所有正方形的周长的和2482214l的无穷等比数列，公比为为所有周长组成一个首项224的无穷等比数列，公比为项为又所有面积组成一个首211aaBCABaaa3221111，解得解：由题设，知ABC2a3a4a1a)2(322111naaaaannnnn，得由 为公比的无穷等比数列为首项，以是一个以3232aan为公比为首项，以是一个以9494,22232221aaaaan的无穷等比数列225494194aaS内有一系列的正方形，、如图在例ABCRt8的和，求所有正方形的面积，若aBCaAB2，它们的边长依次为naaaa321，1432)32(20)32(20)32(20)32(20322010n为公比的无穷等比数列除首项外是一个以32)2(321naann高空落下，每次着地后、一篮球从例m109，再落下再弹回再落下弹回原高度的32过的总路程，求篮球直至停止所经程组成数列为：每次着地篮球所经过路地，