八年级数学上册3.7可化为一元一次方程的分式方程分式方程错解剖析素材(新版)青岛版

1、分式方程错解剖析例 1 解方程冬+二错解：去分母，得 4x +仁 7.3解这个方私做333雄验当工=空时,2(x+3) = 2X (- + 3) = 90,所 tU二是原方程的根.诊断：这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题.但只要将瓮=舟代入原方程，就知道 x = p 不是原方程的根问题出在去分母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x + 3)，没有将 2(x + 3)与 1 相乘，因而所得的方程与原方程不同解了. 那么，为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提， 否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不能断定未知数的这个

2、值是原方程的根.正确解法：去分母，得 4x + 2x+ 6=7.解这个方程，得況二,经检验，藍=是原方程的根.点评：解分式方程时要注意的是：检验未知数的值是不是原方程的根，不仅要检验是否有增根(代入公分母)，而且要代入原方程，检验原方程两边的值是否相等.3412例 2 解方程二-二厶.x - 2 x - 1 x -4 x - 3错解：通分整理，得5-x _5-xX2- 3x + 2 X2- 7x +12 *由两个相等分式的分子相等分母必相等，得X2 3x + 2=x2- 7x + 12.解之、得 X = |.检脸 X=|是原方程的根.诊断：两个分式相等，可能是分子、分母分别相等，还可能是分子为

3、零，即 5-x=0 .也 就是说，原方程的另一根为 x=5上面解答错在忽视“分子为零”这一情形而出现了失根.2例 3解方程壬学二x -4x -4错解方程两边都除以氓,并整理，得x -4x2- 5x + 6=0,即(x 3)(x 2)=0 .解这个方程，得 Xi=3, X2=2.检验，X2=2 是原方程的增根，故舍去，所以原方程的根为x=3.诊断上面曲 学-除方程两边，其实质是方程两边同乘姑 7x -4又同时除以 2x2当方程两边同乘以 x24 时，这就扩大了原方程中 x 的允许值范围， 所以产生增根 x=2 ;当方程两边同除以 2x2时，这就缩小了原方程中 x 的允许值范围.显然， 原方程中

4、x 可以等于零，而当方程两边同除以 2x2时，须保证 2x2工 0,即 x 工 0其实 x=0 恰 是原方程的一个根，但它被遗失了，我们须以“ 2x2=0”中将它寻找回来.本题的较好解法应是；移项后提取 4*得X -4(xa-5x + 6) = 0,解之，得 xi=0, X2=3, X3=2.经检验，将增根 X3=2 舍去，从而原方程的根为 Xi=0, X2=3.点评：在解分式方程时，由于转化变形往往导致原方程中未知数允许值范围的扩大或 缩小，因而“增根”和“失根”(或称遗根)也是常有的事，所以“验根”是解分式方程时必 不可少的一个重要步骤.从上述二例我们不难觉察到， 在解分式方程时，我们如果

5、能避开使方程产生增根或失根的变形，那么就尽量地避开，否则，我们宁可让未知数的允许值范围扩大使之产生增根，而尽量不要轻易让未知数的允许值范围缩小使之产生失根，因为要找回失根毕竟比舍去增根要麻烦得多.m (x + 2) - 3(m -1)x + 1错解：去分母，得 m(x+ 2) 3(m 1)=x + 1.例 4 当 m 为何值时，方程=1有负数3去括号，移项合并，得（m 1）x=m 2.当详时解得汁一-m -1依题意，得叱0,可化为下面两个不等式组:m - 1不等式组（I）的解集为 1 m 2.不等式组（n）无解.因此，当 1 m 2 时，原方程有负数解.诊断：因为原方程为分式方程，所以，XM-

6、 1上面解答正是忽视了这个隐含条件, 导致 m 取值范围扩大的错误.正确解法：由上述解法，得 1 m 2.但 Q1.即：巴辛 7m1解这个不等式，得 mH 右3,十因此当 1尬2 且垃尹*时，原方程有负数解.例 5解关于盜的方程宁-b - a.ab2错解：去分母，得 bx ab =ax a2b.移项，合并同类项，得 （a b）x=ab（a b）两边除以 a b,得 x=ab.诊断：本题是含有字母系数的一元一次方程，用含有字母的式子去乘（或除）方程的两边，这个式子的值不能等于零但在 *式中，若 a=b，贝Ua b=0.因此，不能盲目用 a b 去除方程的两边.正确解法：因为 aM0, bM0（否

7、则原方程没有意义），所以，将原方程两边乘以ab,得（a b）x=ab（a b）.当 aMb, 即卩 a bM0时，则有 x=ab ;当 a=b,即 a b=0 时，原方程化成 0 x=0,此时 x 为任意实数.点评：在解含有字母系数的一元一次方程时首先应分清哪个字母是未知数，哪些字母-20,一 104表示系数.在求解过程中要注意用含字母的有理式去乘以（或除以）方程的两边时，这个有理式的值不能为零必要时，可分别讨论.例 6 一台电子收报机的译字效率相当于人工译字效率的75 倍，译字 3000 个比人工少用 2 小时 28 分，这台收报机与人工每分钟各译字多少个？错解 1:设人工每分钟译字为 x

8、个，列方程，得3000 _ 300028解这个方程，得 x=1200, 75x=90000 错答：收报机每分钟译 90000 个字，人工每分钟译 1200 个字.错解 2:设人工每分钟译 x 个字，则收报机每分钟译 75x 个字，列方程为75x x -=-+148.30003000解这个方程，得 x=6000 , 75x=450000 错答：人工每分钟译 6000 个字，收报机每分钟译 450000 个字.诊断解 1 错误有二一是时间单位不统並然 2學是以小时为60单位，而后面答案中却以“分钟”为单位；二是列分式方程解应用题忽视检鬼 解 2 列方程时错扌巴收艮机和人工译迦 0字所用时间写成“环

9、亦和弼爲=显热这两个式子是所要表示的量的倒数.产生错误的原因是没有理解题意，没有弄清题目中数量之间的相等关系.解这个方程，得 x=20, 75x=1500.经检验，x=20 是原方程的根.答：收报机每分钟译 1500 个字，人工每分钟译 20 个字.例 7 一水池有 A 和 B 两个进水龙头和一个出水龙头C,如果同时打开 A 和 C, 2 小时可注满水池；同时打开 B 和 C, 3 小时可注满水池；当水池装满水时，先单独打开C2 小时，再把 A, B 也同时打开，半小时后，水池又可注满.问：单独打开A 几小时可注满水池？错解：设 A 水管 x 小时可将空池注满，B 水管 y 小时可将空池注满，C 水管 z 小时可将 满池水放空.正确解法设人工每分钟译 x 个字，则收报机每分钟译75x 个字，依题意，得3000 3000= 148.511 _1X21114yZ30.50.5H-=X1y2.5依题意.列方程组9X=7*18K =7I-187 -5 错答单独打开扎討吋可注满水池.诊断：此解看上去似乎无懈可击，但事实上