32-2立体几何中的向量方法

1、练习巩固练习巩固思考思考1引入引入知识要点知识要点例例1的思考的思考zxyzxyzxy （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义.（化为向

2、量问题或向量的坐标问题）（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形） 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解解:如图如图1,不妨设不妨设11 ABAAAD化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则依据向量的加法法则，11ACABADAA 进行向量运算进

3、行向量运算2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 1112(cos60cos60cos60 )6 回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍倍。1AC61160BADBAADAA 思考：思考：(1)本题中四棱柱的对角线本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ (2)(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗那么有

4、这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少距离是多少? ? 11BDBABCBB 11120 60，ABCABBB BC 思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设2222111111 2()由 ACABADAAACABADAAAB ADAB AAAD AA 2221 32(3cos) 36cos即 axxxa 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.A1B1C1D1ABCDH 分析：分析

5、：面面距离转化为点面距离来求面面距离转化为点面距离来求. 11HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos6033ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 111116cos sin3| |3AAACA ACA ACAAAC 1116sin3AHAAA AC 所求的距离是所求的距离是6 .3 思考思考(3)(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少本题的晶体中相对的两个平面之间的距

6、离是多少? ? 如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离?DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),B(2,0,0)EFEGE 如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离?22024201 1(,1)3 3nEF nEGxyxyn ，|BE|2 1111ndn :,|AOO eAdAO e 评注 若平面 的斜线交 于点是单位法向量,则 到平面 的距离为DABCGFExyzAPDCBMN 2. 2.如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直在这个

7、二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 3.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点的中点,当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值的余弦值.111ABCA B C 11ABBC 1D BCC CADBC1B1A1 1.1.解：如图解：如图, ,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0,

8、 )2aa2aaaDMPNAxCBzy 2. 2.如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直两点，直线线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 3.解:如图，以如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为设底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b31(,0),22Aaa(0,0),Ba31(,0)44Daa1(0,0, ),Cb1(0,),Ba b则则 C(0,0,0),故故131(, ),22ABaa b 1(0, ),BCa b 由于由于 ,所以所以 11AB