数量金融6_即期利率曲线拟合

1、1第六讲第六讲即期利率曲线拟合即期利率曲线拟合6.1 债券.6.2 即期利率曲线.6.3 即期利率曲线拟合.26.1债券债券债券在指定时间，债券发行人向债券持有人归还借款（ par value/ face value/principal）和支付利息的凭证。零息债券：没有息票（利息）支付的债券。Maturity dateFace valuestream of coupon payments: Face value * coupon rate36.1债券债券即期利率（spot rate）记当前时刻为0时刻，T年期的即期利率rT为面值等于1的T年期零息债券的到期收益率，即其中B(0,T) 为面值等于

2、1的T年期零息债券的价格（假设市场为连续复利）。rT称为T-year spot rate （zero rate，short rate）。B(0,T) 称为T年的无风险贴现因子（risk-free discount factor from T to 0 ）。(0, ), (6.1)TrTBTe46.1债券债券债券价格假设时刻Ti的即期利率为ri，那么如下一般债券的价格为Maturity date (TN)F + cNc1T1T2c2T0=011(0, )(0,)(0,). (6.2)i iNNNNrTr TiiiNiiPTceFec BTFBT56.1债券债券即期利率与债券收益率的关系债券收益率

3、y描述了某个特殊债券的整体回报情况，满足因此，我们有故，可以将y视为即期利率的某种平均。11.iNi iNNNNyTyTrTr TiiiiceFeceFe1(0, ) (6.3)iNNyTyTiiPTceFe66.2即期利率曲线即期利率曲线即期利率曲线描述即期利率ri相对于到期时间Ti的变化规律的曲线。也称为利率的期限结构（term structure of interest rate）。如何构建即期利率曲线？使用各种债券，互换，或其他利率衍生产品计算关键时刻T1，T2，TN的即期利率，而后对关键时刻之间的即期利率进行拟合。76.2即期利率曲线即期利率曲线86.2即期利率曲线即期利率曲线93.

4、2 Bond （Topic 3. Interest rates market）Construction of Zero Rates CurveExample 3.3Principal ($)Time to maturity (years)Annual coupon ($) (semiannual paying)Bond price ($)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6103.2 Bond （Topic 3. Interest rates market）Solution:6 .101)2 , 0(106

5、)5 . 1 , 0(6) 1 , 0(6)5 . 0 , 0(60 .96)5 . 1 , 0(104) 1 , 0(4)5 . 0 , 0(40 .90) 1 , 0(1009 .94)5 . 0 , 0(1005 .97)25. 0 , 0(100BBBBBBBBBB%81.10)2(%68.10)5 . 1 (%54.10) 1 (%47.10)5 . 0(%13.10)25. 0(rrrrr113.2 Bond （Topic 3. Interest rates market） The 1.75-year zero rate (R) can be calculated from the

6、 r(1.5) and r(2) as follow:r(1.75)= 0.5r(1.5) + 0.5r(2) = 0.510.68% + 0.510.81% =10.75% 126.3 即期利率曲线拟合即期利率曲线拟合样条函数（spline function）一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数。 我们使用二次连续可微的（三次）自然样条函数r(T)拟合即期利率曲线，具体的33111111221()()( )()666 (), ,6( )/,( ),.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTTTTrhr TrrTTrhhhrhTTrTT Thrd r TdTrr

7、 ThTT其中136.3 即期利率曲线拟合即期利率曲线拟合例子6.1上交所企债即期利率曲线2012-03-27上交所企债即期利率曲线2012-03-20序号期限(年)利率(%)利率(%)利差(bp)10.253.2530063.610978-35.797220.53.4969653.829652-33.2686313.9449094.231233-28.6323424.6722484.882171-20.9923535.1459915.302309-15.6319645.3630755.487949-12.4874755.4405175.545199-10.4683875.4096465.486094-7.64475985.3472875.411438-6.4151210105.1806575.219236-3.8579111154.7513844