2018年高考数学一轮复习专题37数学归纳法教学案理

1、专题37数学归纳法1. 了解数学归纳法的原理；2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。1 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n取第一个值no(no N*)时命题成立；(2) (归纳递推)假设n=k(kno,kN)时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立.2.数学归纳法的框图表示咼频考点一一 算法的顺序结构例 1、f(x) =x2 2x 3.求f(3)、f( 5)、f(5),并计算f(3) +f( 5) +f(5)的值.设计出 解决该问考情解只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有正整数n都成立.题的一个算法，并画出程序框图.

2、-3 -【解析】葺法如下:第一步/令第二步，把工二3代入肿二尹一2x3*第三步，令Jf5第四步，扌巴匚一5代入沖=工2工 第五步，令 L第六歩，把代入M=*-2x-3-第七步，把y,y2,y3的值代入y=yi+y2+y第八步，输出yi,y2,y3,y的值.该算法对应的程序框图如图所示：【特别提醒】（1）顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下 的顺序进行的.（2）解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可.【变式探究】如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题./输芫/ (x ) =-jr+mx/输阻心）/-4 -(1) 该程

3、序框图解决的是一个什么问题？(2) 当输入的x的值为 0 和 4 时，输出的值相等，问当输入的x的值为 3 时，输出的值为多大?(3) 在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？【解析】(1)该程序框團解决的是求二次函数二-工+御的函数值的问题夕 当输入的x x的值为0和4时，输出的值相等、即爪尸妙因为人0)=0,天4尸一16 + 4叭所以-16 + 4朋=0,所以ffl4用)二-0 + 4工则f(3)=-32+4X3=3,所以当输入的x的值为 3 时，输出的f(x)的值为 3;2 2因为f(x) = x+ 4x= (x 2) + 4,当x= 2 时，f(x)最大值=4,所以要

4、想使输出的值最大，输入的x的值应为 2.高频考点二 算法的条件结构例 2、如图中xi,X2,X3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分.当xi= 6,X2= 9,p= 8.5 时，X3等于()-5 -A. 11B. 10C. 8D. 7思维点拨依据第二个判断框的条件关系，判断是利用X2=X3”，还是利用xi=X3”，从-6 -而验证p是否为 8.5.【答案】C【解析】顶=6孟=9血一期二不成立即九T否3所以再输入劝 由绝对值的竜义（一点到另一个 点的距离）和不等式检-xi|xj-盘|知，点鸡到点Jfl的距离小于点狗到点JQ的距离*所以_当7-5时，ps砂7一,时， 闰一划

5、中3-划不成立： 即为否笃此P寸九=巧 所以尸駕巴符合题意，故选C_【特别提醒】条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进 行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执 行两个分支.【变式探究】（2014 四川）执行如图所示的程序框图，如果输入的x,y R,那么输出的S的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C-X1|75，不&题意；当艮严;?= 8 5解得xj=87.S-7 -【解析】当条件虺 6 疸h x+匹1不成立时输出$的值为b当条件丘 6 班工+血1成立时4加+力 下面用线性规划

6、的方法求此时S的最大值-J0作出不尊式组*比 4表示的平面区域如囹中阴影部分，由图可去心直线 Xg 经过点駅M）坯t 5最大，其最大值为2x1+ 0=2,故输出S的最大值为2.高频考点三算法的循环结构例 3、执行如图所示的程序框图，则输出A. 10C. 19【答案】C【解析】开始s= 0,k= 2； 第一次循环s= 2,k= 3; 第二次循环S= 5,k= 5; 第三次循环s=10,k= 9；第四次循环s= 19,k=17, 不满足条件，退出循环，输出【特别提醒】 利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变 量；第三要注意从哪一步开始循环.弄清进入或终止的

7、循环条件、循环次数是做题的关键.B. 17D. 36s= 19,故选 C.s的值为（-8 -【变式探究】当mr乙n= 3 时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）/输出酸vA. 7B. 42C. 210D. 840【答案】C【解析】程序框團的执行过程如下；tntn7?i=3时,m m ?1+1 = 3, S=l, S=1x7=7;4=比一1= S=6?=42;厂上_1二5=5,S=5X42-21C5it二七一1二4v输出S=2ia故选C.高频考点四 基本算法语句例 4、阅读下面两个算法语句：-9 -=1HILEi* i+|勿i=i+1ENDPNT“i=”；iQD=1Oi=i+1)OP UN

8、TIL片i+ RINT“i=”；iND执行图 1 中语句的结果是输出 _执行图 2 中语句的结果是输出 _【答案】i = 4 i = 2【解析】执行语句得到叫$+1)结果依次为仏2),3 (X12),(420，故输出 E执行语句2的情况如下:r-lr-lf ft t (r+l)-62C(r+l)-62C(是)，结束循环，输出=2一【特别提醒】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领 悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题.【变式探究】设计一个计算 1X3X5X7X9X11x13 的算法.图中给出了程序的一部分,则在横线上不能填入的数是()=1=3HIL

9、E iS=SXii=i+2 END RINT S NDi =WWPIElL(PE-10 -A. 13 B . 13.5 C . 14 D . 14.5【答案】A【解析】当填iC：=佃+1)C驚+伽79器一C鬻)+(C汩 Y 爲)十十(C霜一C近) 七+1)C眾1.【2015 江苏高考，23】（本小题满分 10 分）已知集合X=&2,3,Yn=&2,3,，ngn2),S(a,b)a整除b或b整除a,(m+1)cm+(m+2Cm+1+(m+3C：+2+ + nC：_广(n+1)C：= (m+1)Cm+2n+2-11 -aX,b斗，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f (

10、6)的值;(2)当n _6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明F面用数学归纳法证明:【答案】(1) 13 (2)f n二c in n】n 2123丿c in1 n1 n 2V 23_ in n - 2 n 2123 _ in -1 n n+2 + +_I 23丿in nn +2 + +-123丿n j 口,n =6t 5I 23丿,n = 6t,n = 6t 1,n =6t 2,n = 6t +3,n = 6t +4【解析】/(6Hl3(2)当”26时，/(对=/i+2+用+2+U 3 ) = 6/+3x+2+|二 + - 兀= 6r+4123K+2 +w1H2-d-23a/: = 6

11、?+5+ 2 +t tn n = = 6t6t科+2+-12 -严 y 18，2an-36 , an181当n=6时，f 6 =62,6，6=13，结论成立；232假设n =k(k _6)时结论成立，那么n k 1时，Sk 1在Sk的基础上新增加的元素在1,k 1，2,k 1，3,k 1中产生，分以下情形讨论:1）若k 1 =6t，则k =6 t -15，此时有f k 1 = f k 3 =k 1 2口 口，结论成立;232）若k 1 = 6t 1，则k =6t，此时有f k 1 = f k丁1 = k 21二k 12k 1 k 1，结论成立;23k1 k13）若k 1 = 6t 2，则k =

12、 6t 1，此时有fk1二fk 2二k 2223 .k 12匚k 1一2，结论成立;23Z-ir 24）-若Ar + l=6+3,则无=& +2，此时有才（花+1） = Ar） + 2 = A;+2 F-22 n=仗+1）+2+（上：）“+罟,结论成立； 1k5）-若疋+1=6壬+4,贝ijt= &+3此时有/（疋+1） =/（七）+2=疋+2+- 1223=仿+1）+2+号+化；）,结论成立；k k -16）若k 1 =6t 5，则k =6t 4，此时有fk1二fk1二k2123综上所述，结论对满足n _ 6的自然数n均成立.2.【2015 高考北京，理 20】已知数列:an

13、1 满足：arN*, a 18.M二6,12,24(n)因为集合M存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设ak是 3 的倍数，由已知=2an，an 0,整数p 1,nN*.证明：当x- 1 且XM0时，(1 +x)p 1 +px；1p_ 1c1数列a“满足a1c,an+1=an+ap,证明：anan+1b.pp pp【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下.1当p= 2 时，(1 +x)2= 1 + 2x+x21 + 2x,原不等式成立.2假设p=k(k2,kN*)时，不等式(1 +x)k1 +kx成立.当p=k+ 1 时，(1 +x)k+1= (1 +x)(1 +x)k(1 +x)(1 +kx

14、) = 1 + (k+ 1)x+kx21 + (k+ 1)x.所以当p=k+ 1 时，原不等式也成立.综合可得，当x_ 1,x工0时，对一切整数p1，不等式(1 +x)p1+px均成立.方法一：先用数学归纳法证明&*,1当n=1时，由题设知新cp成立.1假设n=k(k 1,kN*)时，不等式akcp成立.,p 1由an+1=p当n=k+ 1 时,1p，-*an+an易知an0,nN.pak+1p 1c_p=+a/=akp p1c1+a1 .p a由akc0 得一p1_ 1丄咤-1 an+1c,nN.pp 1C1_p1p方法二：设f(x) =x+px,xCp,贝 UxC,所以f(x) =

15、+C(1 -P)xp= T1-T0.1 1 1 1由此可得，f(x)在cp,+)上单调递增，因而，当xcp时，f(x)f(cp) =cp.1当n= 1 时，由a1c-0,即apc可知p、 1 11,并且a2=f(a1)c-，从而可得a1a2b,p p故当n= 1 时，不等式anan+QC1成立.p假设n=k(k 1,kN*)时，不等式akak+1c；成立，则当n=k+ 1 时 ,f(ak)f(ak+1)f(cp),1即有ak+iak+2c,P所以当n=k+ 1 时，原不等式也成立.+x),g(x) =xf(x),x0,其中f，(x)是f(x)的导函数.(1)令gi(x) =g(x),gn+i(

16、x) =g(gn(x),若f(x) ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN+,比较g(1) +g(2) +g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明.综合可得，对一切正整数n,不等式1 、anan+1c均成立.p4. (2014 陕西卷) 设函数f(x) = ln(1nN+,求gn(x)的表达式;1 +a2= 口a1+CaH ap p-16 -y_ YE=I7壬？可得馳尸话下面用数学归纳法证明.CD当盟=1时卩卑0)=十？结论成iz*假设盒日7!?论成立；即韻工】=+虹-JC那么当盟=氏+1时/取+L(X)=g(gXX)=：；：=+：=+(；+1)工，即结论成立1 +l + ib由可

17、知，结论对底N+成立.ax已知f(x) ag(x)恒成立，即 ln(1 +x) -恒成立.1xrax设0(x) = ln(1 +x)存x(x0),1则0(X)=石x( 1 +X) (1 +x)当awl时，0(x) 0(仅当x= 0,a= 1 时等号成立),二0(x)在0 ,+)上单调递增，又0(0) = 0, 0(x)0在0,+s)上恒成立，axawl时，ln(1 +x) 订x恒成立(仅当x= 0 时等号成立).当a1 时，对x (0 ,a 1有0 (x)0,0(x)在(0 ,a 1上单调递减，【解析】由题设由已知，皿)二1+工因0)=宓 功)=l+x _ JJC l+2x，1+x-17 -0

18、(a1)1 时，存在x0,使0(x)ax1 +x不恒成立.综上可知，a的取值范围是(g,1.由题设知g(1) +g(2) +g(n) = 2 + !+ +比较结果为g(1) +g(2) +g(n)nln(n+ 1).证明如下:方法一：上述不等式等价于壬+扌+计在中取尸1,可得仅一令气底N+,则JI*i年1下面用数学归纳法证明.1当 沪1时，詁2,结论成立.2假设当尸耐结论成立，即齐扣+ 击如仇+1)那么，当?!二A+1时，扣扌+齐吕+计利n(*+l) +占产広+2),即结论成立.由可知，结论对fi6N+成立.1ii方法二：上述不等式等价于+-+1 十x，x0.1令x=n，nN十，贝 UInn+

19、11- 一n n+1故有 In 2 In 1 2,In 3 In 21,31In(n+1)In nn77，上述各式相加可得In(门十 1)2 十 3 十十1n+1,-19 -20 -结论得证.nxx12方法三：如图，xdx 是由曲线 y=，x = n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积， 而 q + 3 +.0n+n是图中所示各矩形的面积和,0 0123 jt-i结论得证.5. (2014 重庆卷) 设a1= 1,an+1=,05 2an+ 2+b(nN*).(1)若b= 1,求02,03及数列的通项公式.若b= 1,问：是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立？证明你的结论.【解析

20、】(1)方法一：0=2,创二说+1.再由题设条件知从而(為-1尸杲苜项为0,公差为1的等差数列，故=1,即Oj=lf?T1 + 1 (?1 N*)-方法二：02=2；03 = 5 + 1.可写为创=寸1-1+1,匕=寸2-1 + 1, OJ=#3T + L因此猜想4=如-1+L下面用数学归纳法证明上式.当n= 1 时，结论显然成立.假设n=k时结论成立，即ak=k 1+ 1,贝 U0k+1 =过(ak1)+1+1= y (k1) +1+1= J (k+1) 1+1,122+3+nn+ 1x+ 10dx=1x + 1=n In(n + 1)-21 -这就是说，当n=k+ 1 时结论成立.所以an

21、= n 1 + 1(nN).方法一：设f(x) = (x 1)2+ 1 1,则an+i=f(an).-21令c=f(c)，即c= , (c 1) + 1 1,解得c= 4.下面用数学归纳法证明命题a2nCa2n+1002*+202.再由f(x)在(g,1上为减函数，得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31,故ca2k+31，因此a2(k+1)caa(k+1)+11,这就是说，当n=k+ 1 时结论成立.1*综上，存在c=-使a2nCa2a+1对所有nN成立.4方法二：设f(x) = , (x 1)2+ 1 1,贝yan+1=f(an).先证：Owanw1(nN).当n= 1 时，结论明

22、显成立.假设n=k时结论成立，即 0wak 1.易知f(x)在(g,1上为减函数，从而0=f(1)wf(ak)wf(0)=211.即 Ow a+1w1.这就是说，当n=k+ 1 时结论成立.故成立.再证：a2nam+1(nN).当n= 1 时，a2=f(1) = 0,a3=f(a2)=f(0)=寸 2 1,所以a2a3, 即卩n= 1 时成立. 假设n=k时，结论成立，即a2kf(a2k+1) =a2k+2,-22 -a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2) =a2(k+1)+1.这就是说，当n=k+ 1 时成立.所以对一切nN成立.-23 -由得a2na2n 2a2n+ 2 1 ,2

23、 2即(a2n+ 1) a2n 2a?n+ 2 ,1因此a2nf(a2 n+1)，即a2n+1总+2.严- 1所以a2n+1 _ a2n+1 2a2n+1+ 2 1 ,解得a2n+11 *综上，由知存在c=；使a2nca2n+1对一切nN*成立.【答案】C证法是（）.A.假设n=k（k N+），证明n=k+ 1 命题成立B.假设n=k（k是正奇数），证明n=k+ 1 命题成立C.假设n= 2k+1（k N+），证明n=k+1 命题成立D.假设k（k是正奇数），证明k+ 2 命题成立【答案】D【解析】A、B、C 中，k+ 1 不一定表示奇数，只有 D 中k为奇数，k+ 2 为奇数.左端应在n=k

24、的基础上加上1 1A. B. 2k+22k+21 1 1 1C - -D-+-2k+ 1 2k+ 22k+ 1 2k+ 2【答案】C题专1.利用数学归纳法证明“ 1 +a+ a2+ an+1n+21 a*(a丰1, nN) ”时，在验证 n= 1 成立时，左A.1B.1 + a2C.1 + a+ aD.1 + a + a【解析】当 n =1 时，左边=2用数学归纳法证明命题“当21 + a+ a ,故选n是正奇数时,C.xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的3.用数学归纳法证明1 1 112+34+12n11 1 1+ + n+1n+22n则当n=k+ 1 时,-24 -【解析】T当月

25、=直时,左侧=1一g+g 右+春厂总当K=盘+1时左*=14+H+2i4_i+2iil 2t+2-4.对于不等式 寸n2+nn+1(n N)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：当n= 1 时，12+ 1 1)时，不等式成立，即_ k2+k24 的过程中，由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是_12k+2k+28.用数学归纳法证明：2 2 21X3+3X5+（2n 爲+ 1） =；当推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 _ .2答案k(k + 1)+(k + 1)= (k + 1)(k + 2)答案 2(2k + 1)+(2 k + 1)(2k + 3) =2

26、(2k + 3)【解析】当口二k+1时，P 22k2k+1)21x33览5丁T (2k- l)(2k+1) (2k-F l)(2k + 3)_ kk+l)丄(k+巧2(2k+l) (2k+l)2k+3)故口需证明Mk+l) +仕+1尸x八丙乩门2(211，n N)，求证：Sn1 + (n2,n N).【解析】111 252证明 (1)当n= 2 时，S?n= S= 1 + 2+3 + 4=121+ 2，即卩n= 2 时命题成立；2 3 4 122*111k假设当n=k(k2,k N)时命题成立，即S2k= 1 + 2 + +歹1+ 2,11111k111-1-317X17X- -1 13535

27、-0303- -115115- -0202-27 -则当n=k+1 时，S2k+1= 1 + 2+3+ 孑+2+1+ 厂1+2+2+2+ 尹1kk2k1k+1+ 2+2k+2k=1+2+2= 丁，故当n=k+ 1 时，命题成立.由(1)和可知，对n2,n N.不等式S2n1 +号都成立.12. 已知数列an:a1= 1,a2= 2,a3=r,an+3=an+ 2(n N)，与数列bn : b = 1,b2= 0,b3*=1 ,b4= 0,bn+4=bn(n N ).记Tn=b8 +b2a2+b3a3+bnan.(1)若a1+a2+a3+a12= 64,求r的值；*求证：T12n= 4n(n N

28、).【解析】(1)解a1+a2+a3+ +a12= 1 + 2 +r+ 3+ 4+ (r+ 2) + 5+ 6+ (r+ 4) + 7+ 8+ (r+ 6) = 48 +4r./48+ 4r = 64, r = 4.证明 用数学归纳法证明：当n N*时，T12n= 4n.1当n= 1 时，T12=a1a3+asa?+a9an= 4，故等式成立.2假设n=k时等式成立，即T12k= 4k,那么当n=k+ 1 时，T12(k+1)=T2k+a12k+1a12k+3+a12k+5a12k+7+312k+9312k+11= 4k+ (8k+ 1) (8k+r) + (8k+ 4)(8k+ 5) + (

29、8k+r+ 4) (8k+ 8) = 4k 4= 4(k+ 1)，等式也成立.根据和可以断定：当n N*时，T12n= 4n.13. 设数列an满足a1= 3,an+1=an 2nan+ 2,n= 1,2,3，(1)求a,a3,a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；记S为数列an的前n项和，试求使得 S2n成立的最小正整数n,并给出证明.【解析】(1)*1257j猜想伽二2盘+1_2)尿二立孑+孑+1二护+訪,使得民严成立的最小正整数尸 下证：3 时都有2匕用+2rt.1？1=6时炉用+2瀚即成立$2假i殳査=耳是爲 辰时；2%単+2i成立，那么2尸1二2*2亏2借+肚)=总+肚+总+怡廉+2*+3 +=1)2+ 2(4+1)即nA+ 1 G寸，不等式成立？由、可得，对于所有的 逹ae都有牡曲+加成立._ 2 *14 .数列Xn满足X1= 0,Xn+1=Xn+Xn+C(n N ).(1) 证明：Xn是递减数列的充分必要条件是C0 ；(2) 求C的取值范围，使Xn是递增数列.-28 -【解析】-29 -2证明 先证充分性，若C0,由于Xn+1=-Xn+Xn+CWXn+CXn，故Xn是递减数列; 再