大学数学与现代数学的关系-2013

1、大学数学与现代数学大学数学与现代数学电气工程学院大学数学课程 高等数学（数学分析） 线性代数（高等代数） 空间解析几何 概率论（随机过程/随机信号分析）一、从代数运算到代数结构 它对现代数学如它对现代数学如拓扑学、泛函分析拓扑学、泛函分析等以及一些等以及一些其他科学领域，如其他科学领域，如计算机科学、编码理论计算机科学、编码理论等，都有等，都有重要影响和广泛应用。重要影响和广泛应用。代数结构代数结构又名又名近世代数近世代数或或抽象代数学抽象代数学，是在初等代，是在初等代数学的基础上产生和发展起来的，起始于数学的基础上产生和发展起来的，起始于19世纪初世纪初形成于形成于20世纪世纪30年代，年代

2、， 在这期间，挪威数学家阿贝在这期间，挪威数学家阿贝尔（尔（N.H.Abel）,法国数学家伽罗瓦（法国数学家伽罗瓦（E.Galois），），英国数学家德摩根（英国数学家德摩根（A.DeMorgan）和布尔）和布尔(G.Boole)等人做出了杰出贡献，等人做出了杰出贡献， 荷兰数学家荷兰数学家范德瓦尔登（范德瓦尔登（B.L.Vanderwaerden）根据德国数学）根据德国数学家诺特（家诺特（A.E.noether）和奥地利数学家阿廷）和奥地利数学家阿廷（E.Artin）的讲稿，于）的讲稿，于1930年和年和1931年分别出版年分别出版了了近世代数学近世代数学一卷和二卷，标志着抽象代数的一卷和二

3、卷，标志着抽象代数的成熟，成熟，代代数数学学近世代数学近世代数学：研究对象更为广泛，不再局研究对象更为广泛，不再局限于实数、复数及其上的多项式方程，可以限于实数、复数及其上的多项式方程，可以是非特定的任意元素组成的集合以及集合上是非特定的任意元素组成的集合以及集合上元素之间满足若干性质或公理的代数运算。元素之间满足若干性质或公理的代数运算。即近世代数学的中心研究问题是即近世代数学的中心研究问题是各种代数结各种代数结构的性质和规律构的性质和规律，研究方法以，研究方法以公理化公理化为主。为主。初等代数学初等代数学：古老的古老的算术算术的推广和发展，的推广和发展，主要研究实数和复数以及以实数和复数为

4、系主要研究实数和复数以及以实数和复数为系数的多项式的代数运算的理论和方法。其方数的多项式的代数运算的理论和方法。其方法以法以计算计算为主，中心问题是实、复系数多项为主，中心问题是实、复系数多项式方程及方程组的求解问题。式方程及方程组的求解问题。内容 代数运算和代数结构 群 环、域 模 同态与同构代数运算和代数结构 什么是代数运算代数结构 代数结构代数结构 定义定义6.1.2 一个非空集合一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的连同若干个定义在该集合上的运算运算 1, 2, k所组成的系统称为一个所组成的系统称为一个代数结构代数结构(代数系代数系统统)，记作，记作。 根据定义根据定义6.1.2，

5、一个代数结构需要满足下面两个条件：，一个代数结构需要满足下面两个条件： 有一个非空集合有一个非空集合A。 有一些定义在集合有一些定义在集合A上的运算。上的运算。 集合集合和定义在集合和定义在集合A上的上的运算运算是一个代数结构的两个要素，是一个代数结构的两个要素，缺一不可。缺一不可。 代数的运算规律线性空间群环同态及同构二、从有限维空间到无限维空间 Euclid空间 无限维空间 度量空间中的收敛性、完备性和紧性 赋范空间与Banach定理 Hilber空间与Fourier展开Euclid空间（长度、距离、夹角等） 内积无限维空间度量空间赋范线性空间HiLbert三、从函数到算子 函数 映射 算

6、子 广义函数四、从序列收敛到网收敛 数列与序列 度量空间中的序列 拓扑空间中网数序及序列五、从导数到广义导数 微积分中的导数 广义函数与广义导数 导子 切丛与向量丛六、从Newton-Leibniz公式到Stokes公式 Newton-Leibniz公式及其在高维的推广 外微分分式和外微分 微分流行上的Stokes公式七、从Taylor公式到学习理论 Taylor公式及其发展 从函数展开到Fourier分析 从函数近似到逼近论 小波分析与神经网络 智能信息处理故障诊断与分析、动态系统辨识、智能控制、雷达及通信中干扰抑制八、从矩阵的特征值到算法的谱 矩阵的特征值 线性算子的谱 紧算子和对称算子的谱 自伴算子的谱分析图像处理与分析特征提取与模式识别九、从微分方程到动力系统 动力系统 平面动力系统的结构稳定与分支现象混沌动力学系统信息安全（混沌密码、图像中的加密（数字水印）混沌通信系统十、从随机变量到随机过程 随机变量与随机向量 随机过程 随机过程的基本性质 平稳和非平稳过程 信息与