概率统计模型

1、概率统计模型概率统计模型 现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，可用考虑，可用描述随机因素的影响，建立随机模描述随机因素的影响，建立随机模型型-概率模型。概率模型。 如果由于客

2、观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，么通常要搜集大量的数据，这就，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型统计回归模型。统计回归模型。是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因

3、此这种决策因存在一定发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策因存在一定的风险的风险. .：参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋：参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略略. . ：进行决策的个人、委员会或某个组织：进行决策的个人、委员会或某个组织. .在问题比较在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现重大和严肃时，通常应以后者形式出现. .：衡量所选方案正确性的标准：衡量所选方案正确性的标准. .作为风险型决策，采用作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断学期望值作出判断. .：不为决策

4、者可控制的客观存在的且将发生的：不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态自然状态称为状态( (事件事件) )，如下小雨，下大雨和下暴雨即为，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素. .：某事件：某事件( (状态状态) )发生带来的收益或损失值发生带来的收益或损失值. .上例的决策树如图所示，其中：上例的决策树如图所示，其中： 表示表示，从它引出的分枝叫方案分枝，其数目就是方案数，从它引出的分枝叫方案分枝，其数目就是方案数 表示表示，从它引出的分支叫概率分支，每条概率分支代表一，从它引出的分支叫概率分支，每条概率

5、分支代表一种自然状态，并标种自然状态，并标 有相应状态发生的概率。有相应状态发生的概率。 称为称为，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。X5000-2000P0.60.4X5000-2000P0.60.4【例【例3 3】 销路好销路好 0.70.7销路差销路差 0.30.3建大厂建大厂100-20建小厂建小厂 4010状态及概率状态及概率 益损值益损值方案方案n图41 决策树 注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、回报等）应取期望值的最大值，如果决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的最小值。（2）多级决策问题下面以投资决策问题为

6、例，说明决策方法。（a）画决策树（图42） （b）计算各点的益损期望值：点2：0.7100+0.3(-20)10(年)-300（大厂投资）=340万元点3：0.740+0.31010(年)-160（小厂投资）=150万元由此可见，建大厂的方案是合理的。n现在考虑一种情况：假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期n考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为n0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年销路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个方案好？（a）画出决策树如下（图43）图43 决策树n（b）计算各点的益损期望值点4：0.9100+0.1(20)

7、7(年)=616万元点5：1.0(20)7(年)= 140万元点2：0.71003(年)+0.7616+0.3(20)3(年)+0.3(140) 300(大厂投资)=281.2点6：0.940+0.1107(年)=259点7：1.0107(年)=70点3：0.7403(年)+0.7259+0.3103(年)+0.370160(小厂投资)=135.3通过比较，建大厂仍然是合理方案。【例【例3 3】 某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在3030天内按期完成工天内按期完成工程，但据天气预报，程，但据天气预报，1515天后肯定变坏，有天后肯定

8、变坏，有40%40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度工程进度; ;有有50%50%的可能遇到小风暴而使工期推迟的可能遇到小风暴而使工期推迟1515天天; ;另有另有10%10%的可能遇到大风暴而的可能遇到大风暴而使工期推迟使工期推迟2020天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：（1 1）提前加班，确保工程在）提前加班，确保工程在1515天内完成，实施此方案需增加额外支付天内完成，实施此方案需增加额外支付18 00018 000元。元。（2 2）先维持原定的施工进度，等到）先维持原定的施工进度，等到1515天后

9、根据实际出现的天气状况再作对策：天后根据实际出现的天气状况再作对策： a a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。 b b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费程延期损失费20 00020 000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%50%的可能减少误工期的可能减少误工期1 1天，支付延期损失费和应急费用天，支付延期损失费和应急费用24 00024 000元元;

10、 ; 的可能减少误工期的可能减少误工期2 2天，支付延期损失费和应急费用天，支付延期损失费和应急费用18 00018 000元元; ;有有20%20%的可能减少误工期的可能减少误工期3 3天支付延期天支付延期损失费和应急费用损失费和应急费用12 00012 000元。元。3 3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费损失费 50 00050 000元元; ;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%70%的可能的可能减少误工期减少

11、误工期 2 2天，支付天，支付 延期损失费及应急费用延期损失费及应急费用54 00054 000元元; ;有有20%20%可能减小误工期可能减小误工期3 3天，支付延期损失费及应急费用天，支付延期损失费及应急费用46 00046 000元元; ;有有10%10%的可能减少误工期的可能减少误工期4 4天，支付延期天，支付延期损失费及应急费用损失费及应急费用38 00038 000元。元。 试进行决策，选择最佳行动方案。试进行决策，选择最佳行动方案。 A正常速度 风暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 减少误工3天(0

12、.2) 减少误工4天(0.1)减少误工2天 (0.7) 减少误工1天 (0.5)减少误工2天 (0.3) 减少误工3天(0.2) 阴雨0.40.5 0.1 - 提前加班 应急正常施工 正常施工 应急 台风 A正常速度 风暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 阴雨 0.40.5 0.1 提前加班 应急正常施工 正常施工 应急 台风 A正常速度 风暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800

13、050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 阴雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 应急正常施工 正常施工 应急 台风 A正常速度 风暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 阴雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 应急正常施工 正常施工 应急 台风 A正常速度 风暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0

14、.7) (0.5) (0.3) (0.2) 阴雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 应急正常施工 正常施工 应急 台风 【讨论题】天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。如【讨论题】天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.50.5其分别的获利为其分别的获利为12001200万元与万元与-500-500万元，如取消生产销售计划，万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用则损失设计与准备费用4040万元。为稳妥起见，可先小批量生产试万元。为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入

15、需销，试销的投入需4545万元。据历史资料与专家估计，试销成功与万元。据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为失败的概率分别为0.60.6与与0.40.4，又据过去情况，大批生产销售为成，又据过去情况，大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占功的例子中，试销成功的占84%84%，大批生产销售失败的事例中，试，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占销成功的占36%36%。试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值。试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策。准则确定最优决策。 4.设定以下变量设定以下变量 1.1.问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销

16、售这问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；2.2.决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；3.3.尚需注意后面几句话：尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”36%”，这意味着要计算，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时

17、，大批量销售成功与失败的概率；其二是两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯着要利用贝叶斯概率公式；概率公式；AABB -试销成功，则试销成功，则 ,36. 0)/(, 6 . 0)(,84. 0)/(BAPBPBAP)()/()()/()()/()/(BPBAPBPBAPBPBAPABP,78. 04 . 036. 06 . 084. 06 . 084. 0.22. 0)/(ABP代入贝叶斯概率公式代入贝叶斯概率公式 从而即当试销成功时，大批量销售成功与失

18、败的概率分别为即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.780.78和和0.22.0.22.同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为别为0.220.22和和0.780.78.试销试销-45-45万万成功成功0.60.6失败失败0.40.4不试销不试销大量销售大量销售大量销售大量销售大量销售大量销售取消销售取消销售取消销售取消销售取消销售取消销售成功成功0.780.78成功成功0.220.22成功成功0.50.5失败失败0.780.78失败失败0.220.22失败失败0.50.51200万-500万 -40

19、万1200万-500万 -40万1200万-500万 -40万试销与否作为决策思路，从左至由画出决策树模型如下，这棵树即为所求的数学试销与否作为决策思路，从左至由画出决策树模型如下，这棵树即为所求的数学模型。模型。为了简单化，原题没有对求解等后续过程作要求。我们不妨将模型求解出来。为了简单化，原题没有对求解等后续过程作要求。我们不妨将模型求解出来。（三）模型求解（三）模型求解试销成功成功0.6失败0.4不试销大量销售大量销售大量销售大量销售取消销售取消销售取消销售取消销售成功0.78成功0.22成功0.5失败0.78失败0.22失败0.51200万-500万 -40万1200万-500万 -4

20、0万1200万-500万 -40万图-3350350-40-126479.6434.68268261.问题的提出问题的提出 在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是等价的。这两种办法对于下面

21、的讨论是等价的。 设某种型号的飞机容量为设某种型号的飞机容量为n n，若公司限制预定，若公司限制预定n n张机票，那么由于总会有一些订张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补救，也

22、会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公司无偿救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰当订票数量和限额。当订票数量和限额。 假设飞机容量为假设飞机容量为300300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%10%，飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为0.60.

23、6，乘客不按，乘客不按时前来登机的概率为时前来登机的概率为0.030.03），），请你请你: : 1 1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。上述预定票业务确定最佳的预定票数量。 2 2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价

24、。公司为降低若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票策略。策略。（1 1）假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。）假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。（2 2）假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。）假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。（3 3）假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。）假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。n n：飞机的座位数，即飞机的容量；：飞机的座位数，即飞机的容量；g g：机票的价格

25、；：机票的价格；f f：飞行的费用；：飞行的费用；b b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费； m m：售出的机票数；：售出的机票数；k k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；p pk k：已预订票的：已预订票的m m个乘客中有个乘客中有k k个乘客不能按时前来登机的概率；个乘客不能按时前来登机的概率；p p：每位乘客迟到的概率；：每位乘客迟到的概率；P Pj j（m m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j

26、j人的概率，即社会声誉指标；人的概率，即社会声誉指标；S S：公司的利润；：公司的利润；ESES：公司的平均利润。：公司的平均利润。当当m-knm-kn 时，说明时，说明m-km-k个乘客全部登机，此时利润个乘客全部登机，此时利润S =S =（m - km - k）g - fg - f通过上面引进的符号易知，赔偿费通过上面引进的符号易知，赔偿费b b=0.1g=0.1g，飞行费用，飞行费用f f=0.6=0.6ngng，每位乘客迟，每位乘客迟到的概率到的概率p p=0.03=0.03，已预订票的，已预订票的m m个乘客中，恰有个乘客中，恰有k k个乘客不能按时前来登机，个乘客不能按时前来登机，

27、即迟到的乘客数即迟到的乘客数k k服从二项分布服从二项分布B B（m m，p p），），当当m-kn m-kn 时，说明有时，说明有n n个乘客登机，有个乘客登机，有m-k-nm-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润掉了，此时利润S = ng f - (m k - n) bS = ng f - (m k - n) b根据以上的分析，利润根据以上的分析，利润S可表示为：可表示为：)()()()(nmknkmbnkmfngnmknkmfgkmSkmnmknmkkpfgkmpbnkmfngES)()(10101010010)()()()()1)()()(nmkkn

28、mkknmkkmkknmkkmnmkkmnmkkkmnmkkpgkgEpfmgfmgkpkpgpfmgkpgpfmgpfgkm于是平均利润于是平均利润因为因为由于k服从B（n，p）可知，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，1010101010)()()()()()()()()()(nmkknmkknmkknmkknmkkpnkmgbfgkEmpgkfmgbnkmfngfgkEmkpgkgEpfmgfmgpbnkmfngESkmkkmnmkppCnkmgbfmgpES)1 ()()()1 (10kmkkmkppCp)1 (所以所以通过以上对问题的分析，可以在一定的社会声誉指标通过以上对问题

29、的分析，可以在一定的社会声誉指标P Pj j（m m）范围内，寻）范围内，寻求合适的求合适的m m，根据，根据f f=0.6=0.6NgNg的关系，使得目标函数的关系，使得目标函数ES/fES/f达到最大，即达到最大，即1)1 ()()1 ()1(6 . 01max10kmkkmnmkppCnkmgbmpNfES1)1 ()300(1 . 197. 0180110kmkkmnmkppCkmm下面考虑社会声誉指标下面考虑社会声誉指标: : 由于由于m=n+k+jm=n+k+j，所以，所以k=m-n-jk=m-n-j，即当被挤掉的乘客数为，即当被挤掉的乘客数为j j时，等价的说法是恰有时，等价的说法是恰有m-n-jm-n-j个迟到的乘客。个迟到的乘客。 公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要太大，可用至少挤掉太大，可用至少挤掉j j人的概率作为声誉指标，相应地人的概率作为声誉指标，相应地k k的取值的取值范围为范围为k k=0,1,2,=0,1,2,m-n-jm-n-j，社会声誉指标，社会声誉指标 kmkkmjnmkjppCmP)1 ()(0 m ES p 305 0.6436 9.2338e-005 306 0.6490 9.3723e-004 307 0.6543 0.0048 308 309 310 311 31