第3章恒定电场2013

1、第三章 恒定电场基本概念：基本概念： 电介质中的静电场电介质中的静电场 通有直流电流的导电媒质中的恒定电通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场中的静态电场恒定电恒定电流流恒定电恒定电源源恒定电恒定电场场恒定电恒定电荷荷 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场的基本方程微分形式E=0和J=0； 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程2=0； 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导和接地电阻。SJdIS电流是积分量电流是积分量3.1.2 3.1.2 电流密度电流密度 电流

2、密度是一个矢量，在各向同性线性导电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。电媒质中，它与电场强度方向一致。I 是通量是通量, ,并不反映电流在每一点的流动情况并不反映电流在每一点的流动情况 3.1.1 3.1.1 电流强度电流强度3.1 3.1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流AdtdqI 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 分布的体电荷以速度分布的体电荷以速度v v作匀速运动形成作匀速运动形成1 1）电流面密度）电流面密度vJ2mA亦称体电流密度亦称体电流密度 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布同轴电缆的外导体

3、可视为电流线密度分布 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示高频电流的集肤效应可用电流线密度表示 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示工程意义：工程意义：mAvK 分布的面电荷在曲面上以速度分布的面电荷在曲面上以速度v v运动形成的电流运动形成的电流dlIln)(eK电流是积分量电流是积分量e e 是垂直于是垂直于dl，且通过，且通过dl与曲面相切的单位矢量与曲面相切的单位矢量n n2 2）电流线密度）电流线密度 分布的线电荷沿导线以速度分布的线电荷沿导线以速度 v 运动形成的电流运动形成的电流 3 3）线电流）线电流vI 恒定电流场与恒定电场相互依存，电

4、流恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场与电场E方向一致方向一致 欧姆定律的微分形式，电路理论中的欧姆定律的微分形式，电路理论中的 U=RI 由它积分而得由它积分而得4 4）元电流的概念：）元电流的概念：元电流是指沿电流元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流方向上一个微元段上的电流 IdlKdsJdv,dlv,ds,dvdq vvv1 1）在各向同性导电媒质中，电位移矢量）在各向同性导电媒质中，电位移矢量D D 线与电流密度线与电流密度J J 线线 方向是否一致？方向是否一致？2 2）电流线密度）电流线密度 是否成立？是否成立？ EK3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微

5、分形式EJ电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明式中：式中： 为电导率，单位：西门子为电导率，单位：西门子/ /米（米（S/m)S/m)3.1.4 3.1.4 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明: :RIUIP2 电路中的焦耳定律，可由它积分而得电路中的焦耳定律，可由它积分而得（W） 焦耳定律的积分形式焦耳定律的积分形式EJ p（W/m3 ）焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式功率体密度功率体密度恒定电流的形成恒定电流的形成3.2 3.2 电源电势与局外场强电源电势与

6、局外场强 要想在导线中维持恒定电流，要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将必须依靠非静电力将B B极板的正电极板的正电荷抵抗电场力搬到荷抵抗电场力搬到A A极板。极板。这种提这种提供非静电力将其它形式的能量转为供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。电能装置称为电源。3.2.1 3.2.1 电源电动势电源电动势qeefE 电源内部局外场强电源内部局外场强)(VdlelE 电源电动势电源电动势电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量0dddlelellElElEE)(局外场局外场 Ee 是非保守场是非保守场考虑局外场强考虑

7、局外场强 E Ee e)(eEEJ3.2.2 3.2.2 电场强度电场强度 电源电动势电源电动势 与局外场强与局外场强在电源极板和导体表面聚集的电荷产生库仑场强 E3.3.1 3.3.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 3.3 3.3 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件 边值问题边值问题 1. 1. J 的散度的散度tqdSSJ电荷守恒定律电荷守恒定律在恒定电场中在恒定电场中0t0SJ dS恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。由高斯散度定理，得由高斯散度定理，得0dVVJ故故 0 J2. 2. E 的旋度的旋

8、度恒定电场是无源、无旋场。恒定电场是无源、无旋场。 所取积分路径不经过电源所取积分路径不经过电源0lEdl恒定电场是无旋场恒定电场是无旋场故故3. 3. 恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程由斯托克斯定理，得由斯托克斯定理，得0)(SE ds0dsSJ0delEEJ0 J0 E0 E折射定律折射定律2121tantan说明：在两种媒质分界面两侧，说明：在两种媒质分界面两侧， 电场强度的切向分量是连续的电场强度的切向分量是连续的 电流密度的法向分量是连续的电流密度的法向分量是连续的3.3.2 3.3.2 分界面的衔接条件分界面的衔接条件分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件nn

9、tt2121JJEE 0LdlE 0SdSJJc1nJc2nJc1Jc2 1 2分界面上的自由面电荷分界面上的自由面电荷两种非理想介质（导电媒质）的分界面上，其介电性质 =D2n-D1n导电性质nnJJ21由于 111nnJE 图 3-4 1 1 + + 2 2 J1n E1n J2n E2n 由J1n = J2n = 2E2 n，可得 212nnJE因此 2112121122nnnnJJEE即 nJ11122)(解：解：22079121210)/(1009. 6)1082. 38 . 582. 38 . 5(3610707. 0)(mCJn , 所以所以658. 0518. 11tan202

10、1227.33tan227721tan1tan45tan518.11082.3107 .52)2)由于由于 J1n=J1cos1= 1 cos45 = 0.707 （A/m2）， 所以所以 1)由于由于例例3-1 铜和铝的电导率分别为铜和铝的电导率分别为 1=5.8 107S/m和和 2=3.82 107S/m，介电常数介电常数 102 ，铜中，铜中J1=1A/m穿过分界面时与法线的夹角穿过分界面时与法线的夹角 1 1=45=45 求：求：1 1）铝中的）铝中的J2离开分界面时离开分界面时 2 2= =？ 2 2）分界面上的自由电荷密度）分界面上的自由电荷密度 。1 2 J22 =？ 1=45

11、J1两种特殊情况分界面上的电场分布。两种特殊情况分界面上的电场分布。由折射定理，得由折射定理，得2121tantan则则02表明，只要表明，只要 ，电流线垂直于良导体表面穿出，电流线垂直于良导体表面穿出， 良导体表面近似为等位面。良导体表面近似为等位面。21a )a ) 设媒质设媒质1 1是良导体是良导体 1 = 5107 s/m 媒质媒质2 2是不良导体是不良导体 2 = 10-2 s/m例例3-2 已知铁已知铁 1 1=5=510106 6西门子西门子/ /米，土壤米，土壤 2 2=10=10 2 2西门子西门子/ /米，求：当铁中电流米，求：当铁中电流J1与表面法线的夹角与表面法线的夹角

12、 1=89 59 50 时，时，土壤中电流土壤中电流J2与分界面法线夹角。与分界面法线夹角。 解解: : 根据电流折射定律根据电流折射定律 只要只要 1 90 ，tan 1 ，则，则 tan 20， 2 0 。因此，。因此，可以认为当电流由良导体进入不良导体时与分界面垂直。可以认为当电流由良导体进入不良导体时与分界面垂直。 2121tantan82610510105当当 1=89 59 50 时，时， 2=8 铁铁棒棒土壤土壤土壤土壤表明表明 2 2 导体与理想介质分界面上必有恒定面电荷分布导体与理想介质分界面上必有恒定面电荷分布0111nnJE; 000222nnJEnnnEDD22120b

13、 b）假设媒质）假设媒质1 1是导体是导体 1 1 0 0 媒质媒质2 2是理想介质是理想介质 2 2 = 0 = 0J112 =0 J2=0表明表明 1 1 导体内电流与表面相切，导体内电流与表面相切， 导体表面是一条电流线导体表面是一条电流线0, 022J021nnJJ介质中介质中导体中导体中tJJ11对于理想导体对于理想导体1 导体内部电场为零导体内部电场为零 电流分布在导体表面电流分布在导体表面 导体不损耗能量导体不损耗能量ynxtEEeeE222导体周围介质中的电场导体周围介质中的电场载流导体表面的电场载流导体表面的电场ttEE21表明表明 3 3 电场切向分量不为零，电场切向分量不

14、为零， 导体非等位体，导体非等位体， 导体表面非等位面。导体表面非等位面。 2110dlEUt分界面衔接条件分界面衔接条件nn22212102得得 拉普拉斯方程拉普拉斯方程3.3.3 3.3.3 恒定电场的边值问题恒定电场的边值问题000EEEJEE)(EJ常数常数 很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。恒定电场中是否存在泊松方程？恒定电场中是否存在泊松方程？例例3-3 同轴电缆因绝缘不良有泄漏同轴电缆因绝缘不良有泄漏电流求非理想介质中的电位函数电流求非理想介质中的

15、电位函数 、泄漏电流密度泄漏电流密度J和单位长度的泄漏电和单位长度的泄漏电流流I。U联立求解联立求解121lnRRUC2122lnlnRRRUC rRRRURRRUrRRU21221212lnlnlnlnlnlnrrRRrUreeE12lnrRRrUeEJ12ln1212ln2)2(lnRRUrRRrUdISsJ解：解：0)(1rrrr不定积分求解得不定积分求解得21lnCrC设外导体设外导体r=R2处处 =0，内导体，内导体r=R1处处 =U211lnCRCU221ln0CRC3.3.4 理想介质中的恒定电场理想介质中的恒定电场 恒定电场基本方程的微分形式以及拉普拉斯方程与静电场的无电荷区相

16、同。D = 0 E = 0 2 = 0 边值问题为求解拉普拉斯方程的问题。 与静电场情况不同，一般载流导体不是等位体，导体表面也不是等位面，电位沿电流方向变化 。分界面衔接条件 E2t = E1t= J1t/1 E2n=D2n/2=/2双线传输线周围的E线 在实际工程中，由于1很大, E1t很小。挨导体表面的E2t，比E2n小得多，往往可以忽略不计。因此，导体表面的边界条件可认为与静电场相同，其解答也与相应的静电场问题相同。 理想介质中有电场，载流导体表面的电场强度不垂直于导线表面。rztJeeE2112 E2 I U1 图 3-8 + + + + + + + U2 3.4 3.4 静电比拟静

17、电比拟比较 电源外导电媒质中的恒定电场 无电荷区域中的静电场 两类场性质的基本方程有相似的形式，两类场的基本物理量也有对应关系。因此，在一定条件下，可以把一种场的计算或实验结果，推广应用与另一种场，这种方法称为静电比拟。表表1 1 两种场所满足的基本方程和重要关系式两种场所满足的基本方程和重要关系式 0 DEDSDdqSD02nnttDDEE2121 EE 0EE 0EJ02SdISJnnttJJEE2121 0 J恒恒 定定 电电 场场（电源外导电媒质中）（电源外导电媒质中）静静 电电 场场 ( (=0 区域区域) 3.4.1 3.4.1 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟导电媒质中恒定电场与

18、静电场的比拟 两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。应量关系便可得到另一个场的解。表表2 2 两种场对应物理量两种场对应物理量 静静 电电 场场( ( = 0区域） 恒恒 定定 电电 场场（电源外导电媒质中）（电源外导电媒质中）E EE ED DJ JI Iq3.4.2 3.4.2 静电比拟的条件静电比拟的条件 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟） 相应电极的电压相同相

19、应电极的电压相同这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。 对于具有两种分片均匀媒质的场，若分界面具有相似对于具有两种分片均匀媒质的场，若分界面具有相似的几何形状，且满足的几何形状，且满足2121rr1.1. 静电场便于计算静电场便于计算 用静电比拟方法计算恒定电场用静电比拟方法计算恒定电场3.4.3 3.4.3 静电比拟的应用静电比拟的应用),(21221212 静电场静电场恒定电场恒定电场 例如，例如， 内外半径分别为内外半径分别为R1和和R2的同轴电缆，外加电压的同轴电缆，外加电压U。 若内外导体间填充介电常数为若内外导体间填

20、充介电常数为 的均匀介质，则是静电场问题；的均匀介质，则是静电场问题；若内外导体间填充电导率为若内外导体间填充电导率为 的导电媒质，则是恒定电场问题。的导电媒质，则是恒定电场问题。 若两者形状一样，边界条件相同，则两种场具有许多相同之处：若两者形状一样，边界条件相同，则两种场具有许多相同之处：两种场的两种场的E线有相同的场图线有相同的场图 rRRrUeE12ln两种场的等位面分布一致两种场的等位面分布一致 rRRRU212lnln静电场的静电场的D线与恒定电场的线与恒定电场的J线分布一致线分布一致 rRRrUeED12lnrRRrUeEJ12ln单位长度电容与单位长度电导有对应关系单位长度电容

21、与单位长度电导有对应关系 00GC120ln2RRC120ln2RRG2.2. 恒定电场便于实验恒定电场便于实验 一些静电场问题可用恒定电流场实验模拟一些静电场问题可用恒定电流场实验模拟固体模拟固体模拟 ( (媒质为固体，如平行板静电场造型）媒质为固体，如平行板静电场造型）实验模拟实验模拟方方 法法液体模拟液体模拟 ( (媒质为液体，如电解槽模拟）媒质为液体，如电解槽模拟）静电场静电场电极表面近似为等位面电极表面近似为等位面工程上的实验模拟装置工程上的实验模拟装置恒定电流场恒定电流场电极表面近似为等位面电极表面近似为等位面 （ 条件：条件： 电极电极 媒质媒质 ）在两种场的模拟实验中，工程上往

22、往采用在两种场的模拟实验中，工程上往往采用近拟的边界条件处理方法近拟的边界条件处理方法工程近似工程近似3.5.1 3.5.1 电导的计算电导的计算1. 1. 直接用电流场计算直接用电流场计算当恒定电场与静电场边界条件相同时，当恒定电场与静电场边界条件相同时，可用静电比拟方法，由电容计算电导。可用静电比拟方法，由电容计算电导。ssLsLsddddJddUIUQGCsEsElEslEsD3.5 3.5 电导与接地电阻电导与接地电阻 2. 2. 静电比拟法静电比拟法设设UIGdUI lEJEJ设设UIGdI)(U SJEJE或CG即即例例3-4 扇形导电片电导率为扇形导电片电导率为 ，弧面，弧面半径

23、分别为半径分别为R1和和R2 ，两端平面夹角，两端平面夹角为为 ，厚度为，厚度为h ,，求：沿圆弧方向的电导。求：沿圆弧方向的电导。 U解：解：导电片内满足导电片内满足 2 = 0，电位只与，电位只与 有有关，简化为关，简化为 022设设 =0处处 =0，则，则C2=0 0；因；因 = = 处处 =U，则，则C1=U/ 通过不定积分求解，得通解通过不定积分求解，得通解 21CCUeeErUeEJrU12ln)(21RRhUdrhrUdsJIRRS12lnRRhUIGR2R1 J3.5.2 多电极系统的部分电导多电极系统的部分电导 有三个及以上的良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的电流不仅要

24、受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来表示，需要引入部分电导的概念。 线性、各向同性导电媒质中有（n+1）个电极，它们的电流分别为I0、I1、Ik、In，且有关系I0+I1+Ik+In=0 电流与电压的关系，用线性方程组表示为 nnkkUGUGUGUGI1111121210101nnkkUGUGUGUGI222220222121202211nnnnknknnnnnUGUGUGUGI Gkj称为多电极系统中电极间的部分电导，G10、G20、Gk0、Gn0称为自有部分电导，G12、G23、Gkn、等称为互有部分电导 。部分电导只与电极的几何形

25、状、尺寸、相互位置及导电媒质的电阻率有关，其数值都是正值，且Gkj=Gjk。 在(n+1)个电极组成的多极系统中，共应有n(n+1)/2个部分电导。 右图表示三个电极与地之间的6个部分电导。 部分电导与静电场中的部分电容形成相互比拟的关系。 1# 2# 3# G12 G23 G31 G10 G20 G30 图 3-11 3.5.3 3.5.3 接地电阻接地电阻 安全接地与工作接地的概念安全接地与工作接地的概念接地电阻接地电阻接地器电阻接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻土壤电阻（接地电阻以此为主）（接地电阻以此为主）保护接地保护接地为了保护工作人员及电气设备的

26、安全而接地；工作接地工作接地以大地为导线或为消除电气设备导电部分对地电压的升高而接地。 常把接地体等效为一个半径为R的导体球电极，并以无限远处作为零电位点，接地体电位R与接地体电流I的比值，即为接地电阻。 1. 1. 深埋球形接地器深埋球形接地器深埋接地器可不考虑地面影响深埋接地器可不考虑地面影响, ,其电流场可与其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。无限大区域的孤立圆球的电流场相似。解法一解法一 直接用电流计算直接用电流计算24 rIJI24rIJEaIdrrIUa442aR41解法二解法二 静电比拟法静电比拟法GCaC4aG4aR41 深埋球形深埋球形 接接 地地 器器实际电导实际

27、电导GUIG212即即dl4l21Rln2. 2. 直立管形接地器直立管形接地器直立管形接地器直立管形接地器解：解： 考虑地面的影响，可用镜像法考虑地面的影响，可用镜像法dllC4ln4dllG4ln4静电比拟静电比拟GC考虑地面的影响考虑地面的影响应用镜像法处理应用镜像法处理3.3.非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器实际电导实际电导,2GG接地器接地电阻接地器接地电阻aR214.4.浅埋半球形接地器浅埋半球形接地器考虑地面的影响考虑地面的影响可用镜像法处理可用镜像法处理浅埋半球形接地器浅埋半球形接地器aGaCGC44,静电比拟静电比拟3.4.4 跨步电压

28、跨步电压 电力系统中的接地体中有大电流通过时，由于存在接地电阻，可能使地面行走的人两足间的电压（跨步电压）很高，超过安全值就会达到致命的危险。 假设半球形接地体的半径为R，由接地体流入大地的电流为I，则在距球心r远处的电流密度22rIJ电场强度22rIJEB A (r) lr b UBA 图 3-15 R 人的两脚A、B之间的跨步电压 )11(222lblIdrrIUlblBA跨步电压超过安全值，达到对人体危险。 实际上直接危及安全的是通过人体的电流。当通过人体的工频电流超过8mA时，有可能发生危险，超过30mA时将危及生命。电位 rrrIdrrIdlEr22)(2 许多山区或周边环境比较恶劣

29、的变电站所处位置的土壤电阻率比较大;某些建在城市中的变电站接地系统设计则受到面积限制。如何在这些土壤电阻率高、接地网水平扩张裕度有限的地区,使变电站地网设计能够确保设备及人身安全则是许多人都关心的问题。0UU 为保护人畜安全为保护人畜安全, ,可取危险电压可取危险电压 U0 = 40V40V电力系统接地体附近要注意危险区！电力系统接地体附近要注意危险区！00U2IbX则，危险区半径则，危险区半径以浅埋半球接地器为例以浅埋半球接地器为例222,2rIJErIJbxxbxxrIdrrIU)1(222)(2bxxbI基本物理量基本物理量 J J 欧姆定律欧姆定律 基本方程基本方程电电 位位 边界条件

30、边界条件一般解法一般解法静电比拟静电比拟电导与接地电阻电导与接地电阻J J 的散度的散度E E 的旋度的旋度边值问题边值问题恒定电场的知识结构框图恒定电场的知识结构框图 接地电阻接地电阻 就是电流由接地装置流入大地再经就是电流由接地装置流入大地再经大地流向另一接地体或向远处扩散所遇到的电阻，大地流向另一接地体或向远处扩散所遇到的电阻，它包括接地线和接地体本身的电阻、接地体与大地它包括接地线和接地体本身的电阻、接地体与大地的电阻之间的接触电阻以及两接地体之间大地的电的电阻之间的接触电阻以及两接地体之间大地的电阻或接地体到无限大远处的大地电阻。阻或接地体到无限大远处的大地电阻。 通信局、站接地系统多采用联合接地方式，该通信局、站接地系统多采用联合接地方式，该接地系统主要有接地体、接地汇集线、接地连接线接地系统主要有接地体、接地汇集线、接地连接线等几部分组成。接地系统的接地电阻每年应定期测等几部分组成。接地系统的接地电阻每年应定期测量，始终保持接地电阻符合指标要求。量，始终保持接地电阻符合指标要求。接地电阻的规定接地电阻的规定在10