数学必修五培优讲义-学生版.

1、人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义第一章解三角形1C 中，a、 b 、c分别为角、C的对边， R为C 的外接圆的半径，则、正弦定理：在有abc2R sinsinsin C2、正弦定理的变形公式： a2R sin， b2R sin ， c 2R sin C ；sina， sinbc； a : b : csin: sin: sin C ；2R， sin C2R2Ra bcabc（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其sinsinsin Csinsinsin C中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无

2、解三中情况）如：在三角形ABC中，已知 a、 b、A（ A 为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着 C 点旋转，看所得轨迹与AD有无交点：1. 当无交点则 B 无解、 2.当有一个交点则B 有一解、 3.当有两个交点则B 有两个解。C法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情况：1.当 absinA ，则 B 无解ab2. 当 bsinAb 时， B 有一解bsinA注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。A1 bc sin1 ab sin C1 ac sin D3、三角形面积公式：SC2224、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22

3、ac cos，c2a2b22ab cosC 5、余弦定理的推论：cosb2c2a2， cosa2c2b2a2b2c22bc2ac， cosC2ab( 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角 )6、如何判断三角形的形状：设a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边，AB则：若 a2b2c2 ，则 C90；若 a2b2c2 ，则 C90；若 a2b2c2 ，则 C 90 CD7. 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、 B, 但不能到达，在岸边选取相距3 千米的 C、D两点，并测得OOOOA、 BACB=75, BCD=45, ADC=30, ADB=

4、45(A 、 B、 C、 D在同一平面内 ) ，求两目标之间的距离。8. 三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.第二章数列1、数列：按照一定顺序排列的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）6、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足0am 1最大值 . (2) 当 a1 0时，满足的项数 m使得 sm

5、 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。二、数列求和的常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. 裂项相消法 : 适用于c其中 an 是各项不为0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘an an 1的数列等。3. 错位相减法 : 适用于anbn 其中 an 是等差数列，bn 是各项不为 0 的等比数列。4. 倒序相加法 :类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5. 常用结论 1）: 1+2+3+.+n =n(n 1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =n221 n( n 1)21 n( n 1)(2n 1)3 ）13

6、23n34） 122232n2265 ）11111 ( 11 )6 ）11( 1 1 ) ( p q)n(n 1) nn 1n(n 2) 2 n n 2pq q p p q第三章不等式1、 a b 0ab ； a b 0ab ； a b 0a b 2、不等式的性质： abba ； ab,b cac ； a bacb c ； ab,c 0ac bc ， a bc,0ac bc； ab, cdacbd ；d 0 aca bbd a bnn, na b 0nanb n,n 1；0n1； 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及

7、延伸5. 整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：a0 xna1x n 1a2 xn 2an0( 0)(a0 0)解法： 将不等式化为 a0(x-x 1)(x-x2)(x-x m)0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 解的讨论 .000二次函数yax2bxc（ a0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bx c0x1, x2 ( x1 x2 )x1x2b无实根a0 的根2aax2bx c0x xx1或xx2x xb(a的解集2aR0)ax2bx c0x x1x x 2(a0)的解集对于

8、a0( 或 f ( x)0) ； f ( x) 0( 或 f ( x) 0) 的形式，g (x)g ( x)g (x)g( x)（ 2）转化为整式不等式（组）f ( x)f ( x) g (x)f (x)0f ( x) g (x)000;g ( x) 0g (x)g( x)3. 含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x| a(a 0)的不等式的解集为：x | axa 型 如 ： |x| a(a 0)的 不 等式的解集为：x | xa, 或xa变 型 ：| axb |c(c0)型的不等式的解集可以由x |caxbc解得。其中 -cax+bc 等价于不等式组axbc在解 -cax+b0)y设 a

9、x2+bx+c=0 的两根为、 ，f(x)=ax2+bx+c, 那么：0ox若两根都大于0，即0,0 ，则有0b0对称轴 x=2ay0若两根都小于0，即0,0 ，则有b0ox2abf (0)0对称轴 x=2ay若两根有一根小于0 一根大于0，即0，则有 f (0)0ox若两根在两实数m,n 之间，即 mn ，y0则有 mbn2af (m)0ombnxf (n)0X=2amtn ，y若两个根在三个实数之间，即f (m)0则有 f (t )0f (n)0omtnx常由根的分布情况来求解出现在a、 b、c 位置上的参数X=b1的不等式5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是2a6、二元

10、一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和 y 的取值构成有序数对x, y，所有这样的有序数对x, y 构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0 ，坐标平面内的点x0 , y0 若0 ，x0yC0 ，则点x, y在直线xyC0的上方000若0 ，x0y0C0 ，则点x, y在直线xyC0的下方009、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0 （一）由 B 确定：若0，则xyC0表示直线xyC0 上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域若0 ，则xyC0表示直线xyC0 下方的区域；xyC 0表示直线xyC0 上方的区

11、域（二）由 A 的符号来确定：先把 x 的系数A 化为正后， 看不等号方向： 若是“ ”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0 的右边部分。若是“”号，则xyC0所表示的区域为直线 l:xyC0 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。10、线性约束条件：由x ， y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ， y 的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ， y 的解析式线性目标函数：目标函数为x ， y 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函

12、数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解x, y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设 a 、 b 是两个正数，则ab 称为正数 a 、 b 的算术平均数，ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数2ab ，即 ab12、均值不等式定理：若 a0 ， b0 ，则 ab2ab 213 、 常 用 的 基 本 不 等 式 ： a2b22ab a, bR； aba2b2a,bR ； 2a b2 a2b2ab2aba0,b0 ；2a,bR 2214、极值定理：设x 、 y 都为正数，则有：若xys （和为定值），则当 xy 时，积 xy

13、 取得最大值s2若 xy p （积为定值），则当 xy 时，和 xy 取得最小值2p 4第 1 讲正弦定理和余弦定理知识梳理1. 内角和定理：在ABC中 ， ABC； sin( AB)sin C ； cos( A B)cosccos ABsin C221 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B2. 面积公式 : S ABC222abc3正弦定理：在一个三角形中, 各边和它的所对角的正弦的比相等.公式为：sin Asin Bsin C4. 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式为： a2b2c22bc cos Ab2c2

14、a22ca cosBc2a2b22ab cosC变形为： cos Ab 2c 2a 2cos Bc2a 2b 2cosCa 2b2c 22bc；2ca；2ab重难点突破1. 重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2. 难点：根据已知条件 , 确定边角转换 .3. 重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后, 再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角 ,. 求另一边的对角时要注意分类讨论问题 1:在ABC中，A、B 的对边分别是、 ，且o，那么满足条件

15、（）abA 304ABC, a 2 3 bA 、 有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定问题 2:已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB2， BC6 ，CDDA4 ，求四边形 ABCD 的ABODC热点考点题型探析考点 1:运用正、余弦定理求角或边题型 1.求三角形中的某些元素例 1.已知：A、B、C是ABC 的 内 角 ， a ， b ， c 分 别 是 其 对 边 长 ， 向 量m (3, cosA 1) ,n (cos(A),1)，m n .（ ）求角 A 的大小；（ ）若 a2 ，2cos B3，求 b 的长 .3题型 2 判断三角形形状 例 2在ABC 中， b cos Aa

16、cos B ，试判断三角形的形状.考点2:三角形中的三角变换题型 : 利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换, 进行边角互换, 结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1.设ABC的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且A60o， c3b 。求：（）a 的值；（）ccot Bcot C的值 .考点 3与三角形的面积相关的题题型 1: 已知条件求面积例 1:在 ABC 中， cos A53BC5，求 ABC 的， cosB （）求 sin C 的值；（）设135面积题型 2: 已知面积求线段长或角例2.在54ABC 的面积 S ABC33ABC 中， cos B, cosC 求 si

17、n A 的值； 设，求 BC1352的长第 2 讲解三角形应用举例 知识梳理1. 已知两角和一边（如A, B,c ），由 ABC求 C ，由正弦定理求a,b 2. 已知两边和夹角（如 a, b, C ），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如a,b, A ），应用正弦定理求B ，由 ABC求 C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况4.已知三边 a, b, c ，应用余弦定理求 A, B, C ，再由 AB C，求角C5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的

18、方向线所成的角（一般指锐角） ，通常表达成 . 正北或正南，北偏东度，北偏西度，南偏东度，偏西度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角. 如图中 OD , OE 是视线，DOC 是仰角，EOC 是俯角 .7. 关于三角形面积问题SABC=1aha 1bhb 1chc（ ha、 hb、 hc 分别表示 a、 b、 c 上的高）；222SABC 1absinC1bcsinA1acsinB； S ABC 2R2 sinAsinBsinC.（ R 为外接圆半径）222SABC abc ； SABCs(sa)(s b)( s c)

19、, s1(a b c) ；4R2 S ABC r s,( r 为 ABC内切圆的半径 ) 重难点突破1. 重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2. 难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3. 重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（ 1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路, 然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题。问题 1. 如图，为了计算北江岸边两景点B 与 C 的距离， 由于地形的限

20、制， 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得 ADCD，AD10 km ， AB 14 km ，BDA 60 ，BCD135 ，求两景点 B 与C 的距离（假设A, B, C , D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414,31.732,52.236 ）问题 2. 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是 和 , 已知 B, D 间的距离为 a，测角仪的高度是 b，求气球的高度 .热点考点题型探析考点 1: 测量问题题型 : 运用正、余弦定理解决测量问题例 1. 如图 4-4-12 ，甲船以每小时 302 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西105o 方向的 B1 处，此时两船相距20 海里，当甲船航行20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 o 方向的 B2 处，此时两船相距 102 海里，问乙船每小时航行多少海里？北120A2B2105A1B1乙甲例 2. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC 小区的两个出入口设置在点A 及点 C 处，小区里有两条