数学八年级-轴对称最短路径问题

1、精编学习资料欢迎下载三角形第 3 节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 I 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？1精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”.这个问题提炼出数学问题为： 设 C 为直线I上的一个动点，当点 C 在

2、 I 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）作法:作点 B 关于直线 I 的对称点 B;精编学习资料欢迎下载（2）连接AB，与直线 I 交于点 C.则点 C 即为所求.证明：如图，在直线 I 上任取一点C （与点 C 不重合），连接 AC,BC, BC .由 轴对称的性质知，BC = B C, BC = B C. AC + BC= AC + B C = AB ,AC + BC = AC + B C在厶 ABC中，ABvAC + B C, AC + BCVAC + BC .即 AC + BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即

3、RtABC中，/ 0= 90,则有AC2BC2二AB2【诊断自测】1 如图，直线 I 是一条河，A、B 两地相距 5km , A、B 两地到 I 的距离分别为 3km、6km , 欲在 I 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 A、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）精编学习资料欢迎下载2、如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 3，点 A , C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为（1，0），P 是 OB 上的一动点，贝 U 求 PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（）A .两点之间，线段最短”

4、B .轴对称的性质”C.两点之间，线段最短”以及 轴对称的性质D .以上答案都不正确3.如图，A 和 B 两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥 MN，使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）精编学习资料欢迎下载答案：作点 E 关于 DC 的对称点 E,连接AE交 CD 于点 F.解析：根据题意可知 AE 的长度不变， AEF 的周长最小也就是 AF+EF 有最小值. 作点 E 关于 DC的对称点 E,连接 AE交 CD 于点 F.故答案为：作点 E 关于 DC 的对称点 E,连接 AE交 CD 于点 F.例 2、如图所示，点 P 在/ AO

5、B 的内部，点 M , N 分别是点 P 关于直线 OA, OB 的对称点, 线段 MN交 OA, OB 于点 E, F.(1 )若 MN=20 cm，求 PEF 的周长；(2) 若/ AOB=35,求/ EPF 的度数.【考点突破】例 1、如图，在矩形ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 上，要使 AEF 的周长最小时，确定点 F 的位置的方法为精编学习资料欢迎下载答案：见解析解析：(1 ) M 与 P 关于OA对称 OA 垂直平分 MP. EM=EP又 N 与 P 关于 0B 对称 0B 垂直平分 PN. FP=FN. PEF 的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN

6、=MN=20(cm).(2)连接 0M , ON, OP,/ 0A 垂直平分 MP,OM=OP.又 OB 垂直平分 PN,ON=OPMOEBAPOE(SSS)POFANOF(SSS)./MOE=ZPOE,/OME=ZOPE,/POF=ZNOF,ZOPF=Z ONF./MON=2/AOB=7O / EPF=/ OPE+/ OPF=/ OME+/ ONF=180 -/ MON=110 .例 3、如图，/ AOB=30 ,点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=2 , ON=6，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，贝 U MP+PQ+QN 的最小值是()精编学习资料欢迎下载A . 2 寸丨

7、，： B .寸丨，：C . 20 D . 2 -答案：A解析：作 M 关于 0B 的对称点 M 作 N 关于 0A 的对称点 N 如图所示:连接 MN；即为 MP+PQ+QN 的最小值.根据轴对称的定义可知：/ NOQ= / M OB=30 / ONN =60 ONN 为等边三角形， OMM 为等边三角形，/ N OM =90在 Rt M ON 中,M N = ,十二二=2 込.故选：A.例 4、如图，四边形 ABCD 中，/ C=50,ZB=ZD=90, E、F 分别是 BG DC 上的点，当AEF 的周长最小时，/ EAF 的度数为（）精编学习资料欢迎下载A. 50 B. 60 C. 70

8、 D. 80答案：D解析：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 AA，连接 A A ，交 BC 于 E,交 CD 于 F,则 A A即为 AEF 的周长最小值.作 DA 延长线 AH ,/C=50,/DAB=130 /HAA =50 /AAE+ZA=/HAA =50/EA A=ZEAAZFAD=ZA，ZEAA +ZAAF=50ZEAF=130 -50=80故选：D.例 5、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12,AABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）精编学习资料欢迎下载A. 2 B. 2 二 C. 4 D

9、. 4 二答案：B解析：由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BD，与 AC 的交点即为 F 点此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边 ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 12,可求出 AB 的长， 从而得出结果连接 BD，与 AC 交于点 F.点 B 与 D 关于 AC 对称， PD=PB , PD+PE=PB+PE=BE 最小.正方形 ABCD 的面积为 12, AB=2 ；.又 ABE 是等边三角形, BE=AB=2 二.故所求最小值为2；.故选 B .精编学习资料欢迎下载例 6、如图，荆州古城河在 CC 处直角转弯, 河宽均为 5 米，从 A 处到

10、达 B 处，须经两座桥:DD, EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A、 B 在东西方向上精编学习资料欢迎下载相距 65 米，南北方向上相距 85 米，恰当地架桥可使 ADD EEB 的路程最:是多少米？答案：见解析。解析：作 AF 丄 CD，且 AF=河宽，作 BG 丄 CE,且 BG=河宽，连接 GF,与河岸相交于 E、D.作 DD、EE 即为桥.证明：由作图法可知， AF / DDAF=DD则四边形 AFD D 为平行四边形，于是 AD=FD :同理，BE=GE ,由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD E EB 最短.距离为亦-匚 r

11、 圧：-+5X2=110米.这个最短路程精编学习资料欢迎下载【易错精选】是 AD 和 BC 上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形.2、作图：(1)在直线 I 上求作一点 P,使 PA+PB 最小;8.(2)在直线 I 上求作一点 P,使 PA - PB 最大.【精华提炼】F 列给出常考解题作图方法:1(PA PB)最大值E_ d_V/ _|1 1 丨Cf111:;:1 如图，已知锐角 ABC 的面积为6, AC=4，/ BAC 的平分线交 BC 于点 D、M、N 分别B精编学习资料欢迎下载对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况2（PA PB）最

12、大值3PA -PB 最大值取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为04PA -PB 最大值线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为AB精编学习资料欢迎下载最大值厶PAB的周长最小值若一个动点，则对称一次若两个动点，则对称两次 BE,精编学习资料欢迎下载面积为 6, AC=4 ,.6=AC?BE ,2 BE=3 , BM+MN 的最小值为 3.3、【本节训练】训练【1】解：作点 A 关于直线 BC 的对称点 Ai,连接 A1C 交直线 BC 与点 D，如图所示.(1)（2）此时：PA- PB 最大.2、解：如图所示:精编学习资料欢迎下载由图象可知当点 D 在 CB

13、的延长线上时，AD+CD 最小，而点 D 为线段 BC 上一动点，当点 D 与点 B 重合时 AD+CD 值最小，此时 AD +CD=AB +CB=2+2=4 .故选 A .训练【2】解：分别作点 C 关于 BM、BN 的对称点 C、C，连接 CC，分别交 BM、BN 于点 D、E,连接 BC、BC .点 C 关于 BM 的对称点 C, DC=DC , BC=BC ,/ C BM= / CBM ;点 C 关于 BN 的对称点为 C， EC=EC ，BC=BC ，/ NBC = / NBC , BCBC =OC=10,/CBC=120 CBC 是等腰三角形， CC=10 用.CDE 的周长的最小

14、值 =CD+MDE+CE=DC+DE+DEC CC=10 二.故答案为 10 二.精编学习资料欢迎下载训练【3】 解：作 P 关于 OA , OB 的对称点 C, D .连接 OC, OD .则当 M , N 是 CD 与OA , OB 的交点时， PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长. PC 关于 OA 对称，/ COP=2 / AOP , OC=OP,同理，/ DOP=2 / BOP, OP=OD ,/COD=/COP+ZDOP=2(/AOP+ZBOP)=2/AOB,OC=OD=OP=2./ CD=2 , COD 是等边三角形.ZCOD=2ZAOB=6OZAOB=30a=30故答案为

15、 30C精编学习资料欢迎下载1)训练【4】解：如图，作 BH 丄 AC ,垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 M N 丄 AB，垂足 为 N贝 U BM +MN为所求的最小值. AB=AC , D 是 BC 边上的中点， AD 是/ BAC 的平分线， M H=M N : BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离（垂线段最短），/ AB=AC=13 , BC=10 , D 是 BC 边上的中点， AD 丄 BC, AD=12 ,TSAABCACXBHBCXAD,2 2 13XBH=10X12,解得：BH=,13故答案为：13CA N Z B精编学习资料欢迎下载基础巩固1、解：（1）

16、如图 1 所示；（2）如图 2 所示；（3）如图 3 所示；（4）如图 4 所示./ .d :nB/Q L-哨 图1“图2图3A图42、解：（1）汽车行驶到点 A 与 y 轴的垂线段的垂足处时，离 A 村最近，此点的坐标为（0,2）；（2）汽车行驶到点 B 与 x 轴的垂线段的垂足处时离 B 村最近，此点的坐标为（7，0）.故答案为：（0, 2）、（ 7, 0）./BAD=130，/B=ZD=90,4、解：如图，作点A 关于 BC 的对称点 A,关于 CD 的对称点A,连接AA 与BCCD 的交点即为所求的点 M N精编学习资料欢迎下载/A+/A =180-/ 130 =50 ,由轴对称的性质

17、得：/A=/A AM / A =/AAN/AMN/ANM=2(/A+/A)=2X50=100.故答案为：100 .巅峰突破1、解：如图，过点作 COLAB 于 O,延长 BO 到 C，使 OC=OC 连接 MC,交 AB 于 P,此时 MC=PM+PC=PM+P 的值最小，连接 AC,CCLAB, AC=BC/ACB=90,/ACO=X90=45 ,2CO=OC；CCLAB, AC=CA=AM+MC=8/ OCA=/ OCA=45 , / CAC=90,精编学习资料欢迎下载 CA 丄 AC二 MC珂用+皿珂22 + 82=2 折, PC+PM 的最小值为2=.故选 C.2、解：作 A 关于 x

18、 轴的对称点 C,连接 AC 交 x 轴于 D,连接 BC 交交 x 轴于 P,连接 AP,则此时 AP+PB 最小，即此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，A (- 2, 4),-C (- 2,- 4),设直线 CB 的解析式是把 C B 的坐标代入得：解得：k=1, b=- 2, y=x - 2,把 y=0 代入得：0=x - 2,x=2,即 P 的坐标是(2, 0),y=kx+b,f2=4k+b-4= - 2k+bVA MC精编学习资料欢迎下载故选 C.精编学习资料欢迎下载3、解：如图，作出 A 点关于小河 MN 的对称点 A,连接A B交 MN 于点 P, 则 A B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程.在 Rt A DB 中，由勾股定理求得A B= J|卜，一=y 厂+.二=17km.则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.故选 C.4、解：（1）如图 2,TAA丄 I , AC=1, PC=1, PA=匚， PA =PA= :,/ AA/ BD / A =Z B, PD=BD=2 PB=2 匚， AP+PB=匚+2 匚=3 匚；故答案为 3 二；精编学习资料欢迎下载(2)作 AE/ I，交 BD 的延长线于 E,如图 3,则四边形AEDC 是矩形， AE=DC=PC+PD=3DE=A C=AC/ BD=4- AC B