大学物理机械振动

1、理学院 物理系 陈强“喷水鱼洗喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. . 当用手当用手摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅. .第第12章章 机械振动机械振动理学院 物理系 陈强本章内容本章内容12.1 简谐振动简谐振动12.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析12.3 谐振动的合成谐振动的合成12.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介*12.5 二自由度线性振动简介二自由度线性振动简介理学院 物理系 陈强12.1 简谐振动简谐振动主要内容：主要内容：1. 什么是简谐振动？什么是简谐振动？2. 简谐振动的特点

2、？简谐振动的特点？3. 用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律。用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律。4. 简谐振动的旋转矢量表述简谐振动的旋转矢量表述5. 谐振动的能量谐振动的能量理学院 物理系 陈强12.1.1 简谐振动简谐振动 定义定义: . 特点特点: (1)等幅振动等幅振动, , (2)周期振动周期振动 .x 是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx m)()(Ttxtx 研究简谐振动的意义研究简谐振动的意义:OxtTT2mxO理学院 物理系 陈强u 谐振子谐振子1. 受力特点受力特点机械振动的力学特点机械振动的力学特点线性恢复力线性恢复

3、力kxF2. 动力学方程动力学方程makxF0dd222xtx) cos()(tAtx运动微分方程（特征方程）运动微分方程（特征方程）其中其中 为为 固有角频率固有角频率mk 3. 速度和加速度速度和加速度 ) sin( tAv)2 cos( tA)cos(2tAa)cos(2tA Okxl0 x m运动学方程（振动方程）运动学方程（振动方程）理学院 物理系 陈强12.1.2 描述描述谐振动谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A. .2. 周期周期T 和频率和频率 vv = 1/T (Hz)3. 相位相位 (1) ( t + ) 是是 t 时刻的相位时刻的相位. (2) 是是 t =0 时

4、刻的相位时刻的相位 初相初相.相位的意义相位的意义:) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAvv 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态. .v 相相位每改变相相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次, ,相位相位 2 2 范围内变化范围内变化, ,状态不重复状态不重复. . txOA- A = 2 理学院 物理系 陈强v 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12若若 212k若若两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相. .) 12(12k两振动步调相反两振动步调相反 , , 称称反相反相. . m2 x2

5、Ok2 m1 k1x1 xtoA1A2- A2x1x2T- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t理学院 物理系 陈强4. 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意: 如何确定最后的如何确定最后的 .理学院 物理系 陈强12.1.3 谐振动旋转矢量表示法谐振动旋转矢量表示法 t + oxxtt = 0 Ava)sin(tAv)2cos(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特点特点: :直观方便直观方便. .)cos()(tAtx理学院 物理系 陈强

6、12.1.4 谐振动的能量谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )1. 动能动能2k12Emv)(sin2122tkA 2kk 11d4t TtEEtkAT2. 势能势能221kxEp)(cos2122tkA3. 机械能机械能2kp12EEEkA（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）EkEPExOAAmxO理学院 物理系 陈强例例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点A和和B，历时，历时2s，并且在，并且在A，B两点处具有两点处具有相同的速率；再经过相同的速率；再经过2

7、s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点点.AB解解Ox质点运动的周期和振幅质点运动的周期和振幅. .求求由题意可知，由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为的中点为平衡位置，周期为T = 4 2s = 8scm6Axcm6Bx设平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t = 1 时时, 质点位于质点位于B点点, 所以所以26cmcos( ) 82A)282cos(tAcm 26A理学院 物理系 陈强12.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析主要内容：主要内容

8、：1. 单摆单摆2. 复摆复摆3. 扭摆扭摆4. 双原子分子内原子的振动双原子分子内原子的振动理学院 物理系 陈强12.2.1 单摆单摆PTlm以小球为研究对象，作受力分析以小球为研究对象，作受力分析.设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正.P 重力重力, T 绳的拉力绳的拉力.amTP沿切向方向的分量方程为沿切向方向的分量方程为tmPddsinvlv 361sin（小角度时）（小角度时）0lg 令令lg202 结论结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动小角度摆动时，单摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：2lTglg（牛顿第二定律）（牛顿第二定律）理学院 物理系 陈强12

9、.2.2 复摆复摆（物理摆）（物理摆）PCmh)(zO以物体为研究对象以物体为研究对象.设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正 ZJmghsin（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）小角度时小角度时0ZJmgh 令令ZJmgh202 结论结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动小角度摆动时，复摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：mghJTZ2ZJmgh理学院 物理系 陈强12.2.3 扭扭摆摆以圆盘为研究对象以圆盘为研究对象在在（扭转角）（扭转角）不太大时，不太大时，DMz（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）0ZJD 令令ZJD202 结论结论: 在在扭转角扭

10、转角不太大时，扭摆的运动是谐振动不太大时，扭摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：DJTZ2ZJD金属丝金属丝xyzDJZ （D为金属丝的扭转系数）为金属丝的扭转系数）圆盘受到的力矩为圆盘受到的力矩为理学院 物理系 陈强u 双原子分子双原子分子某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为32rbraF（其中，（其中，r 为原子间的距离，为原子间的距离，a 和和 b 均为正的常数）均为正的常数）证明证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期并确定其周期.证明证明: :平衡位置平衡位置03020

11、rbraFab0r设原子偏离平衡位置的位移为设原子偏离平衡位置的位移为0r-rx 222000)dd(21)dd()(xrFxrFFFrrrrrr（在平衡位处置幂级数展开）（在平衡位处置幂级数展开）xrFFrr0)dd(（对于微小振动，高阶小量可略去）（对于微小振动，高阶小量可略去）理学院 物理系 陈强3443)32()dd(0barbrarFabrrrxbaxrFFrr340)dd(kx34bak 其中其中，为等效劲度系数，为等效劲度系数. 结论结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动原子在平衡位置附近的微振动是谐振动. .周期为：周期为：mabkmT4322角频率为：角频率为：mba34

12、理学院 物理系 陈强12.3 谐振动的合成谐振动的合成主要内容：主要内容：1. 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成2. 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍3. 相互垂直谐振动的合成相互垂直谐振动的合成理学院 物理系 陈强12.3.1 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1. 解析法解析法分振动分振动 :)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)co

13、s(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA21xxx 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动理学院 物理系 陈强2. 旋转矢量法旋转矢量法11 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA分振动分振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动 结论：结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷. .理学院 物理系 陈强 讨论讨论: : (1)若两分振动同相若两分振动同相,即

14、即 2 1= 2k (k=0,1,2,), ,(2)若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,),当当 A1=A2 时时, A=0. .则则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强，两分振动相互加强，则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，两分振动相互减弱，当当 A1=A2 时时 , A=2A1,)cos(212212221AAAAA理学院 物理系 陈强例例 设有设有 n 个同方向、同频率、振幅个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一相同、初相差依次为一常量常量的谐振动，它们的振动分别为的谐振动，它们的振动分别为taxcos1)cos(2tax)2

15、cos(3tax ) 1(cos(ntaxn3. n 个同方向同频率谐振动的合成个同方向同频率谐振动的合成求求 合振动的振动方程合振动的振动方程. .解解)cos(tAxxnn aCAR22nxOP2sin2Ra 2sin2nRA 2/sin2/sinnaA 21)(21)(21nn理学院 物理系 陈强2) 1(cos2sin2sin)cos(ntnatAx极大值极大值: 2k 讨论讨论: :naA 极小值极小值: 2nkknk，n aCAR22nxOP0A理学院 物理系 陈强12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍分振动分振动 :tAx cos111tAx22

16、2cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21合振动合振动 :21xxx当当 时时, 21AAA2 )(12ktA 有最大值有最大值:t )(12合振动的振幅合振动的振幅tAAAAA)cos(212212221当当 时，时，21AAA ) 12( )(12ktA有最小值有最小值: 结论：结论： 合振动合振动 x 不再是简谐振动不再是简谐振动, 合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为2 )(12T12122vvv理学院 物理系 陈强tAtAxxx2121coscos当当 2 1 时时 , 2 - 1 2 + 1 ，令，令其中其中 )2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随

17、随 t 缓变缓变随随 t 快变快变ttAxcos)(u 振幅相同不同频率的简谐振动的合成振幅相同不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212合振动合振动 :分振动分振动 : 结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。可看作是振幅缓变的简谐振动。理学院 物理系 陈强xx2x1tttv 拍的现象拍的现象 OOO拍频拍频 : 单位时间内单位时间内合振动振幅强弱变化的次数合振动振幅强弱变化的次数即即: 1212)2()(vv/v理学院 物理系 陈强12.3.3 两个相互两个相互垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 李萨如图李萨如图1. 两

18、个同频率相互垂直的谐振动的合成两个同频率相互垂直的谐振动的合成分振动分振动合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx& 讨论讨论 当当 = 2 1= k (k为整数为整数)时时, 0221222212AyAxAyAx当当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时时, 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxy理学院 物理系 陈强 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = = 3 = 3 /2/2(第二象限第二象限)( (第三象限第三象限) )( (第四象限第四象限) )(sin)cos(2122122

19、1222212AyAxAyAx12理学院 物理系 陈强2. 两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成分振动分振动tAx11cos)cos(22tAy 结论：结论：(1)1、2 之比为整数时之比为整数时:合成运动仍是周期运动合成运动仍是周期运动, 轨迹是稳定的闭合曲线轨迹是稳定的闭合曲线(李李萨如图萨如图). .(2)1、2 之比不为整数时之比不为整数时:合成运动为非周期运动合成运动为非周期运动,运动的轨迹为永不闭合的运动的轨迹为永不闭合的.1A2A理学院 物理系 陈强04241 11 21 32 33 43 54: 55 621图 12.25:李李萨如曲线萨如曲

20、线理学院 物理系 陈强12.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介主要内容：主要内容：1. 阻尼振动阻尼振动2. 受迫振动受迫振动理学院 物理系 陈强12.4.1 阻尼振动阻尼振动阻尼力阻尼力xf 振动的微分方程振动的微分方程 xkxxm 022xxnx 式中，式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数阻尼系数) 几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式 v小阻尼小阻尼v大阻尼大阻尼v临界阻尼临界阻尼 Okxl0 xfv m理学院 物理系 陈强2. 临界阻尼临界阻尼( n2 = 2 )1. 小阻尼小阻尼 ( n2 2 )TnT222阻尼的应用阻尼的应用理学院 物理系 陈强12.4

21、.2 受迫振动受迫振动受力分析受力分析 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 x 周期性驱动力周期性驱动力tFxkxxm cos 0 kx受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程tfxxnxcos220 tFFcos0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF PNFtFcos0 xl0 x其解为其解为)(2)(1特解通解xxx理学院 物理系 陈强受迫振动微分方程的受迫振动微分方程的稳态稳态解为解为:) cos(tAx其中，振幅其中，振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差 分别为：分别为：2/12222024)(nfA2202tann 结论结论:振幅振幅 A 及受迫振动与干扰力

22、之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差 都都与起始条件无关与起始条件无关. .& 讨论讨论:v 位移共振位移共振(振幅取极值振幅取极值)v 速度共振速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)理学院 物理系 陈强 1. 位移共振位移共振(振幅取极值振幅取极值)（振幅共振曲线）（振幅共振曲线）共振频率共振频率 : :22r02n共振振幅共振振幅 : :r2202fAnn2. 速度共振速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)共振频率共振频率 : :0共振速度振幅共振速度振幅 : :m2fnvm22 2220()4fAnv（速度共振曲线）（速度共振曲线）u 共振的应用和危害共振的应用和危害理

23、学院 物理系 陈强塔科马海峡桥的倒塌塔科马海峡桥的倒塌理学院 物理系 陈强*12.5 二自由度线性振动简介二自由度线性振动简介主要内容：主要内容：1. 简正频率简正频率2. 耦合振子耦合振子3. 耦合摆耦合摆理学院 物理系 陈强二自由度振动系统二自由度振动系统耦合振子耦合振子两振子的运动微分方程为两振子的运动微分方程为)(211111xxkxkxm (O1 、 O1 )为平衡位置为平衡位置)(122222xxkxkxm m1 k1 m2 k2 k O1 O2 x1 x2 xtAxcos11设其特解为设其特解为（1） （2）tAxcos22由由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率两式

24、决定的特解表示两摆以相同的频率 作作简谐振动的情况，振幅分别为简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2. .理学院 物理系 陈强 将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率0)(21211kAAmkk0)(22221AmkkkA振幅有非零解的条件为振幅有非零解的条件为0)(2222211kmkkmkk简正频率：简正频率：由上式可求得由上式可求得2 的两个根的两个根21 、22 ，分，分别称为第一和第二简正频率别称为第一和第二简正频率.为了简化问题，设为了简化问题，设 则有则有021kkkmmm21 ,0)(2220kmkk理学院 物理系 陈强对应的简正频率和振幅比

25、为对应的简正频率和振幅比为mkk202mk01121021mkkkAA122021mkkkAA 结论结论(1) 二自由度的耦合双振子系统有两个简正频率，存在二自由度的耦合双振子系统有两个简正频率，存在有两种简正振动模式有两种简正振动模式. .(2) 第一种简正振动模式，两振子以相同的频率第一种简正振动模式，两振子以相同的频率 1振动振动时，振幅相等、相位相同，如图所示时，振幅相等、相位相同，如图所示. . m1 k0 m2 k0 k O1 O2 x x 理学院 物理系 陈强(3)第二种简正振动模式，两振子以相同的频率第二种简正振动模式，两振子以相同的频率 2 振动时，振动时，振幅相等、相位相反

26、，如图所示。振幅相等、相位相反，如图所示。 m1 k0 m2 k0 k O1 O2 x -x(4) 只有在一定条件下，耦合振子才作简正振动只有在一定条件下，耦合振子才作简正振动. .)cos()cos(2221111tAtAx)cos()cos(2221112tAtAx(5) 一般情况下耦合振子的运动是两简谐振动的叠加，即一般情况下耦合振子的运动是两简谐振动的叠加，即理学院 物理系 陈强 u 耦合摆耦合摆两摆的运动微分方程为两摆的运动微分方程为)(212112kamglml )cos(11tA)(212222kamglml )cos(22tA其特解为其特解为（1）（2）由由(1)、(2)两式决

27、定的特解表示两摆以相同的频率两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作作简谐振动的情况，振幅分别为简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2. .理学院 物理系 陈强将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：221222)(AkaAkamglml122222)(AkaAkamglml2222222221kakamglmlkamglmlkaAA)(2222kamglmlka2222mlkalg 1 、 2 分别为第一和第二分别为第一和第二简正简正频率频率lg1理学院 物理系 陈强12221221kamglmlkaAA12222221kamglmlkaAA)cos()c

28、os(2221111tAtA结论：结论：(1) 当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 1振动时，振振动时，振幅相等、相位相同，如图所示幅相等、相位相同，如图所示. .(2) 当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 2 振动时，振振动时，振幅相等、相位相反，如图所示幅相等、相位相反，如图所示. .)cos()cos(2221112tAtA(3) 一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即理学院 物理系 陈强本章小结本章小结1. 简谐振动方程简谐振动方程) cos()(tAtx2. 简谐振动的相位简谐振动的相位( t + ) 是是 相位，决定相位，决定 t 时刻简谐振动的运动状态时刻简谐振动的运动状态.3. 简谐振动的运动微分方程简谐振动的运动微分方程0dd222xtx4. 由初始条件振幅和初相位由初始条件振幅和初相位22020vxA00arctan()xv理学院 物理系 陈强5. 弹簧振子的能量弹簧振子的能量动能：动能：2k12Emv)(sin21222tAm势能：势能：2p12Ekx)(cos2122tkA总机械能：总机械能：2kp12EEEkA平均能量：平均能量：2pk4121kAEEE6. 谐振动的旋转矢量表示谐振动的旋转矢量表示Ox At ) cos()(tAtx理学院 物理系 陈强7. 简谐谐振动的