第三节 代数式、整式与因式分解

1、第一章第一章 数与式数与式第三节第三节 代数式、整式与代数式、整式与 因式分解因式分解 考点精讲列代数式及其求值列代数式及其求值整式及相关概念整式及相关概念整式的运算整式的运算因式分解因式分解代数式、整式代数式、整式与因式分解与因式分解列代数式及其求值列代数式及其求值列代数式：把问题中与数量有关的词列代数式：把问题中与数量有关的词 语，用含有数、字母和运语，用含有数、字母和运 算符号的式子表示出来算符号的式子表示出来代数式求值代数式求值代代数数式式求求值值直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的 运算顺序计算求值运算顺序计算求值与非负数结

2、合型与非负数结合型1.观察已知条件和所求代数式的关系观察已知条件和所求代数式的关系; 2.将所求代数式变形后与已知代数式成倍分将所求代数式变形后与已知代数式成倍分 关系，一般会用到提公因式法、平方差公关系，一般会用到提公因式法、平方差公 式法、完全平方公式法式法、完全平方公式法;3.把已知代数式看成一个整体代入所求代数把已知代数式看成一个整体代入所求代数 式中求值式中求值整体代入法整体代入法与非负数结合型与非负数结合型1.常见的非负数有常见的非负数有a2、a、 (a0)2.若几个非负数的和为若几个非负数的和为0，则每个非负数的，则每个非负数的 值均为值均为_.如如:a2+|b|+ =0,则有则

3、有 a2=0,b0， =0，则，则a=b=c=0acc0整整式式及及相相关关概概念念单项式单项式多项式多项式整式：单项式和多项式统称为整式整式：单项式和多项式统称为整式同类项同类项:所含字母相同所含字母相同,并且相同字母的并且相同字母的_也相也相 同的单项式同的单项式.常数项都是同类项常数项都是同类项. 如如2a2与与3a2，3与与4温馨提示温馨提示：同类项与系数及字母的顺序无关，如同类项与系数及字母的顺序无关，如- x2y2虽然与虽然与y2x2的先后顺序不同，但它们是同类项的先后顺序不同，但它们是同类项次数次数单项式单项式单项式：表示数或字母的单项式：表示数或字母的_的式子的式子.单独的一单

4、独的一 个数或一个字母也是单项式个数或一个字母也是单项式. 如如100t， a2h，mn，-n，5都是单项式都是单项式单项式的系数：单项式中的数字因数单项式的系数：单项式中的数字因数.如单项式如单项式100t 的系数为的系数为_单项式的次数：单项式中所有字母指数的单项式的次数：单项式中所有字母指数的_. 如单项式如单项式a2h的次数为的次数为3和和积积100多项式多项式多项式：几个单项式的和多项式：几个单项式的和.如如 v-2.5，x2+2x+18都是都是 多项式多项式多项式的项：一个多项式中的每个单项式叫做多项多项式的项：一个多项式中的每个单项式叫做多项 式的项，不含字母的项叫做常数项式的项

5、，不含字母的项叫做常数项. 如如x2+2x+18的项是的项是 x2，2x与与18，其中，其中 18是常数项是常数项多项式的次数：多项式里次数多项式的次数：多项式里次数_的次的次 数数.如多项式如多项式 x2+2x+18的次数是的次数是 2最高的项最高的项整式的运算整式的运算整式的加减运算整式的加减运算幂的运算（幂的运算（m，n为正整数）为正整数）乘法运算乘法运算除法运算除法运算整整式式的的加加减减运运算算合并同类项合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项把多项式中的同类项合并成一项.合并同类项合并同类项 后，所得项的系数是合并前各同类项系数的后，所得项的系数是合并前各同类项系数的 和，且字母连

6、同它的指数不变和，且字母连同它的指数不变.如如2a2b+3a2b= _去括号法则去括号法则:a + (b+c)=a+b+c; a (b+c)=a b c. 口诀口诀：“ ”变，变，“ + ”不变不变整式加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先整式加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先 去括号，然后再合并同类项去括号，然后再合并同类项 5a2b 幂的运算幂的运算（m, n为为正整数）正整数）同底数幂相乘：同底数幂相乘：aman_同底数幂相除：同底数幂相除：aman_（a0,并且并且mn）幂的乘方：幂的乘方：(am)n_积的乘方：积的乘方：(ab)n _商的乘方：商的乘方：( )n= _

7、 (n为正整数，为正整数，a、b0)amnam+nam-nnnbaba12 12 11 11 anbn乘乘法法运运算算单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数作为积的一个因式，指数作为积的一个因式， 如如2a23ab2=6a3b2单项式乘多项式单项式乘多项式:a (b +c)= _多项式乘多项式多项式乘多项式:(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd乘法公式乘法公式1.平方差公式平方差公式:(a+b)(a b)= _2.完全平方

8、公式完全平方公式:(ab)2= _ ab+aca2 b2a22ab+b2 15 15 13 13 14 14 除除法法运运算算单项式相除单项式相除:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式把系数与同底数幂分别相除作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母对于只在被除式里含有的字母,则连同它的则连同它的 指数作为商的一个因式指数作为商的一个因式. 如如6x42x3=(62)x4 -3=3x多项式除以单项式多项式除以单项式: (am+bm)m= _a+b16 16 因因式式分分解解概念概念:把一个多项式化成几个整式的把一个多项式化成几个整式的 _的形式的形式基本方法基本方法步骤步骤温馨提示温馨提示：分

9、解因式要彻底分解因式要彻底.分解因式后必须按以下标准分解因式后必须按以下标准 检查结果：（检查结果：（1）结果必须为几个整式的积；）结果必须为几个整式的积； （2）数字系数写在前，字母因式次之，多项）数字系数写在前，字母因式次之，多项 式因式写在最后；（式因式写在最后；（3）相同因式要写成幂的）相同因式要写成幂的 形式；（形式；（4）多项式不能继续分解；（）多项式不能继续分解；（5）多）多 项式因式中首项不为负项式因式中首项不为负积积17 17 基基本本方方法法提公因式法：提公因式法：pa+pb+pca2b2 _a22ab+b2 _分解因式分解因式整式乘法整式乘法 公式法公式法(a+b)(a

10、b)(ab)2 p(a+b+c)18 18 19 19 分解因式分解因式整式乘法整式乘法 步骤步骤一提：如果多项式各项有公因式的一定要提公因式，一提：如果多项式各项有公因式的一定要提公因式， 特别是有数字因式的特别是有数字因式的二套：如果各项没有公因式，二套：如果各项没有公因式， 可以尝试使用公式法可以尝试使用公式法三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个 多项式都不能再分解为止，且最后结果是积多项式都不能再分解为止，且最后结果是积 的形式的形式若括号内有两项且符号相若括号内有两项且符号相反，考虑用平方差公式反，考虑用平方差公式若有三项，考虑

11、用完全平若有三项，考虑用完全平方公式方公式 重难点突破一 整式的运算（易错点）整式的运算（易错点）例例1（2016泉州泉州）(x2y)3的结果是的结果是( )A. x5y3 B. x6y C. 3x2y D. x6y3【解析解析】(x2y)3=x23 y3=x6y3.D 走走 出出 误误 区区【拓展拓展1】（2016龙东地区龙东地区）下列各运算中，计算正确是）下列各运算中，计算正确是() 2a3a=6a B. (3a2)3=27a6C. a4a2=2a D. (a+b)2=a2+ab+b2选项选项逐项分析逐项分析正误正误A2a3a6a26aB(3a2)333a2327a6Ca4a2=a4-2=

12、a22aD(a+b)2=a2+2ab+b2a2+ab+b2【解析解析】逐项分析如下：逐项分析如下：【拓展拓展2】先化简，再求值：先化简，再求值：(a+1)2 (a+1)(a 1)，其中，其中a= 3. 解解：原式：原式a2+2a+1a2+1=2a+2.当当a=3时，原式时，原式2（ 3）+24.二因式分解因式分解例例2（2016梧州梧州）分解因式：）分解因式：2x2 2=( )A. 2(x2 1) B. 2(x+1)2 C. 2(x 1)2 D. 2(x+1)(x 1)【解析解析】2x2 2=2（x2 1）=2(x+1)(x 1).D【拓展拓展3】（2016长春长春）把多项式）把多项式x2 6x+9分解因式，结果分解因式，结果正确的是（正确的是（ ）A. (x 3)2 B. (x 9)2 C. (x+3)(x 3)D. (x+9)(x9)【解析解