《二倍角的三角函数（二）》教学案

1、精选优质文档-倾情为你奉上3.2二倍角的三角函数（二）教学案第2课时二倍角的三角函数的应用 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换(3)会用三角函数解决一些简单的实际问题2过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识3情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思

2、维的能力重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用难点：运用所学公式解决简单的实际问题教学方案设计(教师用书独具)教学建议 关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角的三角函数值，表示角的三角函数值”在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程教学流程课前自主导学课标解读1.能用二倍角公式导出半角公式2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变换(重点)3.会用三角函数解决一些简单的实际问题(难点)

3、降幂公式与半角公式【问题导思】已知cos 的值，如何求sin 的值？【提示】由cos 12sin2得sin2，sin ± .(1)降幂公式sin2；cos2；tan2.(2)半角公式sin ± ；cos ± ；tan ± .课堂互动探究三角函数式的化简与证明例1化简cos2(15°)cos2(15°)cos 2.【思路探究】此式中出现了15°，15°与2，要达到角的统一，需将角15°，15°向角2进行转化，因此，可考虑降幂公式【自主解答】cos2(15°)cos2(15°)c

4、os 2cos 21cos(230°)cos(230°)cos 21(cos 2cos 30°sin 2sin 30°cos 2cos 30°sin 2sin 30°)cos 21×2cos 2cos 30°cos 21cos 2cos 21.规律方法1应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”2三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的互动探究如将本例改为“sin2(15°)sin2(15&

5、#176;)cos 2”，如何化简？【解】原式cos 21cos(230°)cos(230°)cos 21cos 21cos 2cos 21.利用和、差、倍角公式研究函数的性质例2求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x，的最小值，并求其单调减区间【思路探究】【自主解答】f(x)5··2sin 2x32cos 2x2sin 2x34(cos 2xsin 2x)34(sin cos 2xcos sin 2x)34sin(2x)34sin(2x)，x，2x.sin(2x)，当2x，即x时，f(x)取最小值为32.ysin(2x)在，上单

6、调递增，f(x)在，上单调递减规律方法1研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质2对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)asin xbcos xsin(x)(其中tan )，化同名函数变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f(x)2cos2x2sin xcos x3，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在(0，上的最小值与最大值【解】(1)f(x)2cos2x2sin xcos x3cos 2xsin 2x42sin(2x)4.所以函数f(x)的最小正周期T.(

7、2)0x，2x，当x时，2x，函数f(x)取得最小值为5.当x时，2x，函数f(x)取得最大值为6.三角函数的实际应用例3点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决【自主解答】如图，AB为直径，APB90°，PAcos ，PBsin .又PT切圆于P点，TPBPAB，S四边形ABTPSPABSTPBPA·PBPT·PBsin sin cos sin2sin 2(sin

8、 2cos 2)sin(2).0，2.当2，即当时，四边形ABTP的面积最大，最大为.规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积为_【解析】如图，连结OC，设COB，则0°45°，OC1，ABOBOAcos ADcos BCcos sin ，S矩形ABCDAB·BC(cos sin

9、 )sin sin2sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos(2)，当20，即时，Smax(m2)，割出的长方形桌面的最大面积为 m2.【答案】 m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例已知2，化简 .【错解】 cos .【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题【正解】 .因为2，所以，所以cos 0，所以原式|sin |.因为2，所以，所以sin 0，所以原式sin .(1)二倍角余

10、弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin2，cos2.(2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入当堂双基达标1若cos ，且(0，)，则sin 的值为_【解析】(0，)，(0，)，sin .【答案】2已知cos ，且，则cos _.【解析】，cos .【答案】3已知tan 3，则cos _.【解析】由tan 3可得：9，则cos .【答案】4化简：(0)【解】原式.0

11、，0.cos 0.原式cos .课后知能检测一、填空题1sin_.【解析】sin .【答案】2.cos2 15°_.【解析】原式×cos 30°.【答案】35<<6，cosa，则sin_.【解析】5<<6，<<，sin<0.sin .【答案】 4函数f(x)2cos x(sin xcos x)的最小正周期为_【解析】f(x)2cos x(sin xcos x)2cos xsin x2cos2xsin 2xcos 2x1sin(2x)1.故最小正周期为T.【答案】5.2的化简结果是_【解析】原式2|cos 4|2|sin 4

12、cos 4|.4，cos 40，sin 4cos 4.原式2cos 42cos 42sin 42sin 4.【答案】2sin 46在ABC中，角A、B、C满足4sin2cos 2B，则角B的度数为_【解析】在ABC中，ABC180°，由4sin2cos 2B，得4·2cos2B1，4cos2B4cos B10.cos B，B60°.【答案】60°7(2013·四川高考)设sin 2sin ，(，)，则tan 2的值是_【解析】sin 2sin ，2sin cos sin .(，)，sin 0，cos .又(，)，tan 2tan tan()ta

13、n .【答案】8设f(x)sin xa2sin(x)的最大值为3，则常数a_.【解析】f(x)sin xa2sin(x)cos xsin xa2sin(x)sin(x)a2sin(x)(a2)sin(x)依题意有a23，a±.【答案】±二、解答题9设2，cos a，求(1)sin 的值；(2)cos 的值；(3)sin2的值【解】(1)2，又cos a，sin ，sin 2sin cos 2a.(2)cos 2cos212a21.(3)sin2.10若，化简.【解】，cos 0，sin 0.原式cos .11(2013·山东高考)设函数f(x)sin2xsin x

14、cos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值【解】(1)f(x)sin2xsin xcos x·sin 2xcos 2xsin 2xsin(2x)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4×.因此1.(2)由(1)知f(x)sin(2x)当x时，2x.所以sin(2x)1.因此1f(x).故f(x)在区间，上的最大值和最小值分别为，1.教师备课资源(教师用书独具)备选例题已知sin cos 2sin ，sin2sin cos ，求证：2cos 2cos 2.【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角，因此从已知条件中消去角，问题即得证【自主解答】由题意，得2×2，得4sin22sin21.变形为12sin2