专题导数的概念及其运算

1、导数的概念及其运算考纲导视(一)考纲要求：1了解导数概念的实际背景.2理解导数的几何意义.213. 能根据导数定义，求函数y=c,y=x,y=x,y=x的导数.4. 能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如f(ax+b)的复合函数的导数.(二)考纲研读：1.函数y=f(x)在点xo处的导数记为f'x0),它表示y=f(x)在点P(xo,yo)处切线的斜率，即k=f'x0).导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义.2. 对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形

2、式，再进行求导基础过关(一)要点梳理:1.函数y=f(x)从xi到x2的平均变化率：函数y=f(x)从X1到X2的平均变化率为xx1，若Ax=X2X1,Ay=f%)f(x”，则平X2x1均变化率可表示为A.Ax2. 函数y=f(x)在x=xo处的导数：(1) 定义：称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率lim-Xo+&fXo=lim严为函数y=fxo+AxfXoAxfxo+AxfXoAxAx0AXAx0AXf(x)在x=xo处的导数，记作fx6)，即f'x0)=AXm0AX=AXm0(2) 几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f'x6)的几何意义是在曲线y=f(x

3、)上点(xo,f(xo)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(xo)=f，x6)(xxo).(3) 物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s(t)，那么该物体在时刻to的瞬时速度v=S'to)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是v=v(t)，则该物体在时刻to的瞬时加速度为a=v't().fyIAxfx3. 函数f(x)的导函数：称函数f'x)=Am0A为f(x)的导函数，导函数有时也记作4.基本初等函数的导数公式原函数导函数原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'x)=oXf(x)=a(a>o,1)f'x)=axln_af(x)=Xa

4、(a为实数)f'x)=aXf(x)=exf'x)=ef(x)=sinxf'刈=cos_xf(x)=logax(a>o,1)f*l乂xlnaf(x)=cosXf'x)=sin_xf(x)=Inx,1f'x)=-yx5.导数的运算法则：(1) f(x)±(x)=f'x)±'x)；f(x)g(x)丄f'x)g(x)+f(x)g'刈;fx3x一fxgx(g(x)工0)6. 复合函数的导数：复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=y'uux,即y对x的导数

5、等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.7. 曲线y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线”与过点P(xo,yo)的切线”的区别与联系：(1) 曲线y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线是指P为切点，切线斜率为k=f'x0)的切线，是唯一的一条切线.(2) 曲线y=f(x)过点P(xo,yo)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.(二)基础自测：f(x)=4fx2,贝Vf'x)=1.已知函数答案：8n2xx212.已知曲线y=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为4答案：13. 一个物体的运动方程为s=1t+t2,其中s的单位是米，

6、t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是米/秒答案：5考点突破考点一.导数的概念：【例1】设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(Xo)相等的是(1)lim.xof(Xo)-f(xo-2=x)f(XoX)_f(Xo-=x)zx(3)lxmof(Xo2：x)-f(Xo：x)zf(Xo：x)f(Xo2：x)xA.(1)(3)B.(1)(2)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)答案：A【互动探究1】设fx在xo可导，则HmfXo'X-fX。-3x等于()XA.2fXoB.fXoC.3fXoD.4fXo答案：D考点二.导数的运算：【例2】求下列函数的导数：(1)y=&

7、;Inx;(2)y=x#+X+支);(3)y=sin22x+寸;(4)y=In(2x+5)思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导.解(1)y=(exx)=exlnx+ex=ex(lnx+').XX31,22(2)Ty=x+1+X2,y=3xX3.2n(3) 设y=u,u=sinv,v=2x+§,贝Uy1=yuu'vVI=2ucosv2=4sin2x+3cos2x+=4sin2x+3cos2x+n=(2n2sin4x+3.(4)设y=lnu,u=2x+5,贝Uy'x=yUu'x,因此1y=冇依+5)=2x+5【互动探究

8、1y=1-匸1+上'2】1求下列各函数的导数：1cos2x(2)y=;sinx+cosx(3)y=(1+sinx)2;(4)y=lnx2+1.112解(1)Ty=+=一，y'=1Vx1+x1xcos2x.,.(2)/y=cosxsinx,y=sinxcosx.sinx+cosx21x2.(3)设u=1+sinx,贝Uy=(1+sinx)2,由y=u2与u=1+sinx复合而成.因此y'=f'U)u'=2ucosx=2cosx(1+sinx).,1+1)=X/x2+1/(4)y'=(ln-x2+1)1212,x(x+1)""1)

9、=茁2.已知f(x)=xlnx,若f'x0)=2,则xo等于()21A.eB.eC.D.In2e答案B解析f(x)的定义域为(0，+g),f'x)=Inx+1,由f'x0)=2，即Inxo+1=2,解得xo=e.考点三.导数的几何意义【例3】(2011年全国)曲线y=2x+1在点(0,2)处的切线与直线积为.答案：解析/f'x)=2e-2x,k=f'(0)2e0=2,切线方程为y2=2(x0),即y=2x+2.y=0和y=x围成的三角形的面22如图，Iy=2x+2与y=x的交点坐标为(3,3),y=2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),【互动探究3】(2

10、011年江西)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为答案：1考点四.过点求切线方程应注意该点是否为切点【例4】已知曲线y=3x3+3.33(1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程.分析(1)在点P处的切线以点P为切点.(2) 过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.2解析(1)y'=x,在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y4=4(x2)，即4xy4=0.设曲线y=1x3+£与过点P(2,4)的切线相切于点Axo,*3+1,则切线的斜率k=y|x=xo=x0.切线方程为ygx0+

11、4=xo(xxo),即卩y=xox|x3+扌点P(2,4)在切线上，二4=2x0§x0+4，即x03x0+4=0.x0+x04x0+4=0.爲他+1)4(x0+1)(X01)=0.2二(x0+1)(x02)=0，解得X0=1或X0=2.故所求的切线方程为4xy4=0或xy+2=0.【互动探究4】已知函数f(x)=x33x及y=f(x)上一点P(1,2),过点P作直线I.(1) 求使直线I和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2) 求使直线I和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.32解析(1)由f(x)=x3x得f'x)=3x3,过点P且以P(1,2)为切点的直线的斜率f'(=)0,所求的直线方程为y=2.2设过P(1,2)的直线I与y=f(x)切于另一点(X0,y°)，则f'x0)=3x