第19讲巧解圆柱和圆锥问题

1、 才子教育 小学奥数系列第19讲 巧解圆柱和圆锥问题巧点晴方法和技巧本节讨论圆柱体和圆锥体积和表面积的计算。 用r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高，S圆柱侧表示圆柱的侧面积，S圆柱表表示圆柱的表面积，V圆柱体表示圆柱的体积，则S圆柱侧=底面周长×高=2rhS圆柱表=侧面积2×底面积=2rh2rh2V圆柱体=底面积×高=r2h如果圆锥母线的长为a，底面半径为r,高为h，那么S圆锥侧=·2r·a=ra； S圆锥表=rar2 V圆锥=r2h巧指导例题精讲A级 冲刺名校·基础点晴例1、一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短了2厘米，表面积就

2、减少12.56厘米2。求这个圆柱体的表面积（保留两位小数）。解 底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2=6.28(厘米)侧面积：6.28×6.28=39.438 4(厘米2)。两个底面积（3.14）为3.14×()2×2=6.28(厘米2)表面积为39.4 3846.2845.72（厘米2）。答：这个圆柱体的表面积是45.72厘米2。做一做1 一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12厘米2。求原来的圆柱的表面积是多少？【例2】如下图，一个酒精瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），已知它的容积为26.4厘米3。当瓶子正放时，瓶内

3、酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：酒精的体积是多少升？（3.14）分析与解 由题意得知，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分的3倍（6÷2）。26.4×=62.172(厘米3)62.172厘米3=62.172毫升=0.062 172升做一做2 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见下图）。问：瓶内现有多少饮料？【例3】如下图，一个皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。

4、皮球有的体积浸在水中。问：皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（注：半径为r的球的体积是r3）解 皮球的体积：r3=×()3=562.5(厘米3)；皮球浸在水中部分的体积：562.5×=450(厘米3)；水桶的底面积：×()2=900(厘米2)；水面升高的高度：450÷900=0.5（厘米）。答：水面升高0.5厘米。做一做3 一个皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中，如右下图。问：皮球掉进水中后，水桶的水面升高了多少厘米？B级 更上层楼【例4】 把一个高3分米的圆柱体的底面分成许多相

5、等的扇形，然后把圆柱体切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36分米2。求这个圆柱体的体积。分析与解 等底等高的近似长方体表面积比圆柱体的表面积增加的36分米2是如右图所示的两个阴影面的面积。阴影面的高度与圆柱相等，宽度是圆柱的半径。r：36÷2÷3=6（分米）V：3.14×62×3=339.12（分米3）答：这个圆柱体的体积为339.12分米3。做一做4 用直径为20厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多少？（精确到1厘米）【例5】 某工厂原来用长4米、宽1米的铁皮围成无底无顶的正

6、方体形状的产品存放处，恰好够放一个星期的产品。现在产量增加了27%，问：能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一个星期的产品？解 用长4米、宽1米的铁皮围成高1米的圆柱形，其容积为（4÷3.14÷2）2×3.14×11.274（米3）原存放处的容积为1米3，产量增加27%后，新存放处的容积只要有1×（127%）=1.27米3就可装下。由此可见，能够用原来的铁皮装下现在一个星期的产品。做一做5 下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接缝处忽略不计），求这个油桶的容积。【例6】如右图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能

7、够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。 分析与解 扇形弧长围成圆锥的底面周长，通过这个条件，可以求出圆锥的底面半径。r=18.84÷（2×3.14）=3（分米）圆锥的容积是×3.14×32×4=37.68（分米3）。答：圆锥的容积为37.68分米3。做一做6 有一块棱长分别为6厘米、8厘米、10厘米的长方体木块，把它加工成体积尽可能大的圆锥体木块，求这个圆锥木块的体积。C级 勇夺冠军【例7】如图，厚度为0.25毫米的铜板纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。这卷铜版纸的总长

8、是多少米？（=3.14）解 设铜版纸的宽度为L厘米，则铜版纸的体积为（）2（）2 ×L=7475L(厘米3)铜版纸的总长度是7475L÷0.025L=938860（厘米）=9388.60（米）做一做7 如下图所示，有一卷透明胶，每层厚度为0.05厘米，求将这卷透明胶全部展开以后的长度为多少厘米？巧练习温故知新A级 基础点睛1.如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。问：这个容器还能装多少升水？2.皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中（见右图）。问：皮球掉进水中后。水桶中的水面升高了多少

9、厘米？（注：半径为r的球的体积是r3）3.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米。零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少面积？4.将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。5.右图是一顶帽子。帽子部分是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽檐宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？B级 更上层楼6.一个底面直径为20厘米的圆柱木桶里装有水，水中淹没

10、着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？7.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？8.如下图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的。问：水面高度是容器高度的几分之几？9.下图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。10.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。C级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军11.世界上最早的灯塔建于公元270年。如图，塔分3层，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。上部的体积是底座体积的几分之几？12.两个同样材料作出的球A和球B，一个实心，一个空心。A的直径为7，质量为22；B的直径为10.6,质量为33.3。问：哪个球是实心球？13.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如图所示。问：该油罐车的容积是多少？14.如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形的口径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注入多少次