8.1.3第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型

1、第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件课标要求素养要求1 .能根据向量的坐标判定两个向量垂直.2 .能根据向量的垂直证明平向几何中的直线垂直.通过学习向量的数量积表示两向量的垂 直，重点培养学生数学运算及逻辑推理 素养.课前预习III知识探究II教材知识探究“胃里引入平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也不同.向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极大方便.问题 设a=(xi, yi), b=(x2, y2).如何用向量的坐标来表示 a± b?提示 a±b? xix2+yiy2 = 0,通过向量的坐标表示可以实现向量问题的

2、代数化.)新知梳理设两非零向量 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则 a±b?xlx2 ± y1y2 三.0.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆.教材拓展补遗微判断1 .若 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则 a，b? xix2 + yiy2 = 0.(x)提示 只有a与b为非零向量时才正确.2 .已知 a=(7, 1), b=(2, 14),则 a，b.(M)3 .已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5),则AB，AC.(M)微训练1 .已知 OA= (-1, 2), OB=(3, m),若 OA

3、, OB,则 m=答案2 .已知 a=(1, 2), b=(2, 2),若 a+b 与 a 垂直，则 入=.答案3 .在 ABC 中，茹=(2, 3), AC=(1, k),若 A=90°,则 k=.2答案3 3微思考已知非零向量a=(xi, yi), b=(x2, y2),当a与b平行或垂直时，需满足什么条件？提示 当a/b时，有xiy2x2yi=0；当a，b时，有xix2 + yiy2 = 0,这两种情况对应的公式差不多，在使用的过程中一定要分清. Illldlli :题型一向量的夹角及垂直问题向量的夹角问题隐藏了许多陷阱，常因忽视“两向量夹角的概念及其范围”而出错i5 一【例J

4、 il (i)已知向量 a=(i, 2), b=(2, 4), |c|=45,若(cb) a=万，则 a与c的夹角为()A. 300B. 60°C. i20°D. i50°(2)已知向量 a=(1, 2), b=(2, 3),若向量 c满足(c+a)/b, c±(a+b),求 c 的坐标.(1)解析a b= 28= 10, . (cb) a = c a b ac a+ 10= 2 ,设a与c的夹角为9, a c则 cos e1alicI5_i-_i5X ,52,- 00< 0< 180°,4 120°.答案 C(2)解设c

5、的坐标为(x, y),则 a+c= (1 +x, 2 + y).(a+c) / b, . . (1 + x)X3 2X(2+y) = 0,即 3x- 2y =1.又 a+b=(3, 5),且(a+b)，c,3x+ 5y= 0.3x 2y= 1, 联立得方程组3x+5y= 0,5x=21，解得 1y=-7.,_51故。=21, -7 .规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出向量的数量积a b 以及 |a|b|,再由 cos 8=x1x2+y1y2求出cos 0,也可由坐标表示 cos 4/ 一直接求出cos 8.由三角函数x2+ y24x2+ y2值cos

6、8求角8时，应注意角8的取值范围是00g冗.要注意cos «0有两种情况：一是8为钝角，二是 仁国cos O0也有两种情况：一是8为锐角，二是40.训练 1 已知平面向量 a=(3, 4), b= (9, x), c=(4, y),且 a/ b, a±c.求b与c；(2)若m=2ab, n = a+c,求向量m, n的夹角的大小.解(1)a/b, . .3x= 4X 9, . .x= 12.va±c, .3X 4+ 4y=0, . y= -3. .b=(9, 12), c=(4, -3).(2)m = 2ab=(6, 8)(9, 12) = (3, 4),n =

7、a+c=(3, 4)+(4, 3) = (7, 1).设m, n的夹角为9, m n则 cos E |m|n|3X7+ ( 4) X 17(-3) 2+ (4) 2 "+12二35应一25 L 2.原0,九；上票即m, n的夹角为34t.题型二 向量垂直的坐标表示注意垂直的结论陟J2】 已知在 ABC 中，A(2, 1), B(3, 2), C(-3, 1), AD 为 BC 边上的高，求|AD|及点D的坐标.解设D点坐标为(x, y),则AD=(x 2, y+1), BC=( 6, 3),BD=(x- 3, y- 2),: D在直线BC上，即BD与BC共线， 一6(y2) + 3(

8、x 3)=0,即 x2y+1 = 0.X-ADIBC,.AD BC=0,即(x 2, y+ 1)(-6, 3)=0, -6(x-2)-3(y+1)=0.即 2x+ y 3=0.x= 1,由可得y=1,AD|=(1-2) 2+ (1+1) 2 =乖,AD|=q5,点 d 的坐标为(1, 1).规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求 解是解向量题常用的方法.【训练2】 已知a= -2,乎，OA= a-b, OB=a+ b,若AAOB是以O为直 角顶点的等腰直角三角形，求向量 b.解设向量b=(x, y).根据题意得 OA OB=0, |OA|= |OB|. .(ab

9、)(a+b) = 0, |ab|=|a+b|,. .|a|=|b|, ab=0.P.13又 a:,亍， x2+y2=1,即1.3-2x+y= 0.3 x=一亍,1 y 2.3x= 5,解得 彳1V= 2, h 31 TJ31. b= 2， 2，2.题型三用平面向量求解平面几何问题 【伤J3已知正方形ABCD中，E, F分别是CD, AD的中点，BE, CF交于点P.求证:(1)BE±CF;(2)AP= AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB=2,则A(0, 0), B(2, 0).(1)Bl=(- 1, 2), CF = (-2, -1).bE CF=(-1)X (-2)

10、 + 2X ( 1) = 0, BEXCF,即 BEXCF.设点P坐标为(x, y),则FP=(x, y-1),FC = (2, 1),v FP/ FC, . .x= 2(y- 1),即 x= 2y 2,同理，由BP”配得丫= -2x+ 4,6x=2y 2,x=5，由得 oy 2)(+4,y-g，；点P的坐标为6, 8 .5' 5-68 一 一.AP = yl 5+5 =2=|AB|,即 AP = AB.规律方法用向量证明平面几何问题的两种基本思路向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四

11、个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化.【训练3】已知在 ABC中，C是直角，CA=CB, D是CB的中点，E是AB上一点，且 AE = 2EB,求证：ADXCE.证明建立如图所示的直角坐标系,设 A(a, 0),则 B(0, a), E(x, y).a.D是BC的中点，；D 0, 2 .又. Al= 2EB,即(x a, y) = 2(x, a-y),xa= - 2x,y=2a 2y,a- 3-Xa2 3-ya2 3a3EaaAD= 0, 2 (a, 0)= -a, 2 , . a 2OE=CE= 3, 3a ,:AD CE= axa

12、+ax3a1 2 1 2 c=3a2 + 3a2 = 0，ADicE,即 ADXCE.核心素养 II 'Illi ! i|一、素养落地1 .通过学习本节内容，重点培养学生的数学运算及逻辑推理素养.2 .应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题， 在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3 .注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则 a / b? xiy2x2yi = 0, a±b? xix2 + yiy2=0. 二、素养训练i.已知 A(i, 2), B(5,

13、 8), C(-2, i),求证：Ab±/AC.证明 AB=( 6, 6), AC=( 3, 3), AB AC=-6X(3) +6X( 3)=0.aB± AC.2 .已知冏=2屈，b= (2, 3),且a，b,求向量a的坐标.解设 a=(x, y),x2+ y2 = 52,则-2x+ 3y= 0,x=6,x= 6,; 或y= 4.y= 4. .a=(6, 4)或 a= (6, -4).3 .求证：对任意实数k(kw0),向量m = k( y, x)与向量n = (x, y)垂直.证明 m=k( y,对二(ky, kx).则(一ky, kx) (x, y)= kxy+kxy

14、=O, .m = k(y, x)与 n = (x, y)垂直.4,已知A(3, 1),向量6A绕原点。逆时针旋转 法等于由，求点B的坐标.解 设 B(x, y),由题意 |0fe|=|5A|,OA±ob,2 .2 o2 , d2x +y =3 +1 ,3x+ y= 0,x= 1,x= 1,(舍去)或y= 3y=3.点B的坐标为(一1, 3).课后作业基础达标一、选择题1 .已知平面向量 a=(3, 1), b=(x, 3),且 a，b,则 x=()A. 3B. 1C. -1D. -3解析a±b,a b = 0, .3x 3 = 0, .x=1.答案 B2.已知a=( 3,

15、2), b=(1, 0),向量B+b与a 2b垂直，则实数 人的值为A.b.7C.D.6解析 由 a=(3, 2), b=(1, 0),知 2a+b=( 3 卜 1, 2K a- 2b=(1, 2).又(冶 + b) (a2b)=0, 3 狂 1+4 上 0,:七-7.答案 A3 .已知向量a=(1, n), b=(1, n),若2ab与b垂直，则冏=()A. 1B.V2C, 2D, 4解析 . (2ab) b = 2a b|b|2= 2(1 + n2) (1 + n2) = n23= 0, . . n= ±/3.|a| = /12+n2 = 2.答案 C4 .已知向量 m =(计

16、1, 1), n =(在2, 2),若(m+n)，(m n),则 上()A. -4B. -3C. -2D. - 1解析 因为m=(狂1, 1), n =(计2, 2).所以 m+n=(2 正 3, 3), mn = (1, 1).因为(m+n)，(m n),所以(m +n) (m n)= 0,所以一(2狂3)3= 0,解得入=3.故选B.答案 B5 .已知向量 a=(1, 2), b=(2, -3).若向量 c满足(c+ a) / b, c±(a+b),则 c=()A 二 二B 二 一二A. 9，33'9-77D. -9，-3解析 设 c= (x, y),则 c+ a=(x+

17、1, y+ 2),又(c+a)/b,2(y+ 2) + 3(x+1) = 0.又 c，(a+b),.(x, y) (3, 1) = 3x y=0.由解得x= 7, y=-7. 93答案 D二、填空题6 .已知 A(7, 5), B(2, 3), C(6, 7),判断 ABC 的形状为.解析 AB=( 5, 2), AC=(1, 12),T>_B C=(4, 10),AB BC= - 5X4+(- 2)X(- 10)= 0,AB± BC.答案直角三角形7 .已知 a=(2, 1), b=(1, x),且 a，b,则 x=.解析由题意知a b = 2X1+(1)Xx=0,得x= 2

18、.答案 28 .设向量 a=(1, 0), b=(1, m).若 a，(ma b),则 m=.解析由题意得mab=(m+1, - m),根据向量垂直的充要条件可得1 x (m+1)+0X (m) = 0,所以 m=1.答案 1三、解答题9 .已知平面向量 a=(1, x), b=(2x+3, -x), x R.若a±b,求x的值；(2)若 a / b,求 |ab|.解 (1)若 a，b,贝U a b=(1, x) (2x+ 3, x) = 1X(2x+ 3) + x( x) = 0,即 x2-2x- 3=0,解得x= 1或x=3.(2)若 a/b,则 1 x(-x)-x(2x+ 3)

19、 = 0,即 x(2x+ 4) = 0,解得 乂=0或乂= 2.当 x=0 时，a=(1, 0), b=(3, 0), ab=(2, 0), |ab| = 2.当 x= 2 时，a= (1, 2), b=( 1, 2), a b=(2, 4),|a- bK/4+16: 2也.10 .已知 a=(4, 3), b=(1, 2).求a与b夹角的余弦值；(2)若(a2b)，(2a+ b),求实数 人的值.解 (1)a b=4X (1)+ 3X2 = 2,|aK/42+32 : 5, |b|=1 (-1) 2 + 22;季，/ a b 22V5 .cos a, b> =-r = T-|a|b|

20、5,525a 2b=(4+% 3 2，2a+b=(7, 8),又(a 2b)±(2a+b), . .(a 2b) (2a+b)=7(4+ 8(3 2= 0,注52.仁T能力提升11 .已知a, b, c是同一平面内的三个向量，其中 a=(1, 2).(1)若|c|=2/5,且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|切=坐，且a +2b与2ab垂直，求a与b的夹角9.解(1)设 c=(x, y),由 c/a 及心| = 2m,1 y2 x= 0,x= 2,x= 2,可得22 所以 或x +y =20,y= 4y= 4,因为c与a方向相反，所以c=( 2, -4).因为(a+2b)，(2ab), 所以(a +2b) (2ab) = 0,即 2a2+3a b 2b2=0,所以 21a|2+3a b2|b|2 = 0,5 一所以 2X5+3a b 2X4=0,所以a b= 2a b .所 以 cos 0 |a|b| = 一 1.又因为院0,几12 .如图，在同一平面内，/ AOB=150&#