基础物理刚体的转动

1、目录目录5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.2 转动定律转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 转动定律的应用转动定律的应用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能5.7 进动进动第第5章章 刚体的转动刚体的转动 Rotation of a Rigid Body本章作业：本章作业：5.2，5.8，5.11，5.16，5.20，5.23一、刚体一、刚体 平动和转动平动和转动1、刚体、刚体 定义定义: 在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为 刚体；刚体；是一种特殊的质点系是一种特殊的质点系。特点：特点：刚体上

2、的任两点间的距离始终保持不变。刚体上的任两点间的距离始终保持不变。 刚体是实际物体刚体是实际物体的理想模型。的理想模型。 刚体上刚体上任意任意两点的连线在运动中保持平行，这种运动两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。称为刚体的平动。 特征：特征：刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等。刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。2、刚体的平动、刚体的平动5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述刚体上的各个质点绕同一直线做刚体上的各个质点绕同一直线做圆周圆周运动。运动。定轴转动定轴转动：转轴在空间的位置固定不

3、动的转动。：转轴在空间的位置固定不动的转动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：特征：平面运动：也称为滚动平面运动：也称为滚动 。刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。2、刚体的转动、刚体的转动 二、刚体定轴转动的角量描述二、刚体定轴转动的角量描述 22ddddttt ddt 平均角速度：平均角速度：角速度

4、：角速度：（矢量）（矢量）角加速度：角加速度：（矢量）（矢量）角位移角位移:12 规定沿规定沿 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。)(t 角位置：角位置：刚体定轴转动的运动学方程。刚体定轴转动的运动学方程。定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。 SPP rO xyAA 刚体作匀变速转动时，相应公式如下：刚体作匀变速转动时，相应公式如下：2000220012 2()ttt 角量与线量的关系：角量与线量的关系：224,tnsrrarararv线速度与角速度之间的矢量关系为线速度与角速度之间的矢量关系为:vr 由于在定轴转动由于在定轴转动中轴的

5、位置中轴的位置不变，故不变，故 只有沿轴的只有沿轴的正负两个方向，可以用正负两个方向，可以用代数值代数值代替。代替。, vro SPP rO xyAA 【例例5.1】一一半径为半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的变化关系的变化关系为为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中式中 t 以以秒秒计。试求：计。试求：1）在）在 t = 2s 时时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。小。2）当）当角角 为为多大时多大时，该质点的加速度与半径成该质点的加速度与半径成 45 o。 解

6、解 1）212ddtt d24dtt42224 .14)12(1 .0ttRan 0.1242.4taRtts55.0 t( 舍去舍去 t = 0 和和 t = - 0.55 )此时砂轮的角此时砂轮的角位置位置：(rad)67. 255. 042)42(33 t o )(8 .42241 .02m/s ta)(4 .230)212(1 . 0222m/s na当当t = 2s 时时2）加速度与半径成加速度与半径成450时有时有 1/45 ntaatgtt4 . 24 .144 即即【例例5.2】一一飞轮从静止开始加速，在飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加内其角速度均匀地增加到到20

7、0rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了轮总共转了100转，求共运转了多少时间？转，求共运转了多少时间？解解：整个过程分为三个阶段：整个过程分为三个阶段加速阶段加速阶段11 1t211 102 211 11122t匀速阶段匀速阶段212t 制动阶段制动阶段13 3t21332 21 313322t 2100321 而而 20022312111 tttsttttt91822200220031113112./ )(/ )(

8、 s.tttt9193321 d3cosd2gtL dcos23dLg 解：解：1） 棒做变加速运动：棒做变加速运动：例题例题补充补充 一细棒绕一细棒绕O 点自由转动，并点自由转动，并知知 , , L 为棒长。为棒长。求求: 1: 1）棒）棒自水平静止开始运动，自水平静止开始运动， = = / 3 时时, , 角速度角速度 ? ? 2 2）此时端点）此时端点A A 和中点和中点B B 的线速度为多大的线速度为多大? ?3cos2gL 030dcos23dLggLLg2333sin32 Lg233 2)rv由得 ：3 32AgLLv3 328BLgLvddddddt A BO 5.2 刚体的定轴

9、转动定律刚体的定轴转动定律The Law of Rotation About a Fixed Axis观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。) ( dd点点对对外外OtLM) ( dd轴轴对对外外ztLMzziFimivO O定轴定轴刚体刚体irirz z, 一、一、对转轴的力矩对转轴的力矩MrF zFPord 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在作用在刚体上点刚体上点 P ，且在转动平面内，且在转动平面内, 为为由点由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢。的径矢。 FrrFFdrFMt sin大大小小：由右手螺旋法则确定由右手螺

10、旋法则确定MzFPord tFnFrFo0 MrFo0 M方向：方向：MzFPOr tFnFzFF面面MFzM1）若力不在转动平面内）若力不在转动平面内tFttMrFe 将力将力分解为分解为径向、横向径向、横向和沿转轴方向的和沿转轴方向的三个分量。三个分量。 zF产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。0FnnnMrF e 2） 当有当有n 个力作用于刚体，则个力作用于刚体，则12nMMMM 对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。 3） 刚体的内力对转轴的力矩刚体的内力对转轴的力矩 刚体的内力对转

11、轴的刚体的内力对转轴的力矩的矢量和等于零。力矩的矢量和等于零。2r12f21f12dO1r讨论讨论13二、刚体二、刚体角动量角动量元角动量元角动量()iiiRm v质元质元im 刚体对某点刚体对某点O的角动量的角动量刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量()iiim R voiLL viiiiLm R 2i im r zizLL |cos|iLk (|) cosviiimRk (cos )iiim Rkvi iimr kvkrrmiii2zi iJm r 令刚体刚体对对z轴轴的的转动惯量转动惯量OLiRo iriL izL z zL 上式可写为：上式可写为：zzLJ刚体刚体对对z轴轴的的角动量角动

12、量六、刚体的定轴转动定律六、刚体的定轴转动定律dd()ddzzzLJMJttzzMJ即，定轴转动定律定轴转动定律与牛顿第二定律相比：与牛顿第二定律相比：M F，J m， a注意：注意：1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、M 一定：作用不同刚体上，一定：作用不同刚体上，J 大时大时，小时小时， 转速转速不易不易 改变，转动惯性大。反之，改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。小，转动惯性小。 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。转动惯量是物体转动惯性大小的量度。二、二、转动惯量的计算：转动惯量的计算：2i iJm r 若质量

13、离散分布：若质量离散分布： （质点，质点系）（质点，质点系） mrJd2 若质量连续分布：若质量连续分布：lmdd smdd Vmdd 其中：其中： 一、一、定义定义： 刚体对刚体对转轴的转轴的转动惯量转动惯量刚体中每个质元的质刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。 5.3 转动惯量转动惯量的计算的计算（描述刚体转动惯性大小的物理量）（描述刚体转动惯性大小的物理量）SI单位：单位：kg m 2mrJVd2 niiirmJ12【例例5.3】求求质量为质量为m，半径为半径为R 的均匀圆环的对中心轴的转的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。动惯量

14、。解：解： 设线密度为设线密度为； RlRmRJ 2022dd【例例5.4】求求质量为质量为m、半径为半径为R 的均匀薄的均匀薄圆盘对中心轴的转圆盘对中心轴的转动惯量。动惯量。 取半径为取半径为 r 宽为宽为d r 的的细细圆环圆环,rrsmd2dd lmdd RrrrmrJ0222d2d 222mRRR 解：解： 设面密度为设面密度为。242121mRR oRmdRorrd【例例5.5】求求长为长为L、质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。动惯量。解解 1）取）取A 点为坐标原点。在距点为坐标原点。在距A 点为点为x 处取处取dm= dx 。222221

15、dd12LLCJxmxxmL 2201d3LAJxxmL ALBxAC2Lmd2LxxB2）取）取C 点为坐标原点。点为坐标原点。 在距在距C 点为点为x 处取处取dm 。2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。必须指明它是对哪个轴的。1) 刚体的转动惯量是由刚体的转动惯量是由刚体的刚体的总总质量、质量分布、质量、质量分布、 转轴的位置转轴的位置三个因素共同决定三个因素共同决定;xmdxxmxJddd22 说明说明三、三、平行轴定理平行轴定理 若有任一轴与过若有任一轴与过质心质心的轴平行，且两轴相距为的轴

16、平行，且两轴相距为d，刚体刚体对该轴的对该轴的 转动惯量为转动惯量为J，则有：则有：两轴平行；两轴平行；JC 为刚体绕质心轴的转动惯量为刚体绕质心轴的转动惯量d 为两平行轴间距离。为两平行轴间距离。2212OJmRmd 2mdJJC 例例 均匀圆盘对均匀圆盘对O 轴的转动惯量。轴的转动惯量。221mRJC oCd说明说明四、四、垂直轴定理垂直轴定理xyzOimixiyir 设一薄板，过其上一点作设一薄板，过其上一点作 z 轴垂直轴垂直于板面，于板面，x、y轴在平板面内，若取一质轴在平板面内，若取一质元元mi ，则有，则有2iizrmJ )(22iiiyxm 22iiiiyxm xm yJJyx

17、zJJJ 薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的转动惯量。转动惯量。 - 垂直轴定理垂直轴定理1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系惯性系（质心系亦可）。（质心系亦可）。2、M 一定：作用不同刚体上，一定：作用不同刚体上，J 大时大时，小，小， 转速转速不易不易 改变，转动惯性大。反之，改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。小，转动惯性小。 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。转动惯量

18、是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题：应用时应注意以下问题： 力矩和转动惯量必须对力矩和转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言。而言。 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度、角速度的正负。的正负。Fma 类比类比 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用用隔离法隔离法解题。解题。 对转动物体应用转动定律建立对转动物体应用转动定律建立方方 程，程， 对平动物体则用牛顿对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。第二定律建立

19、方程。zzMJ5.4 转动定律的应用转动定律的应用【例例5.6】质量质量为为m 1、半径为半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为质量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下的下落加速度落加速度a 和和 滑轮转动的滑轮转动的角加速度角加速度。2122(2)m gR mm21222mmgma 联合解得：联合解得： aR1)T RJ)222amTgm 关联方程关联方程 解解: : 对对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。2121RmJ MJgm2T对对m2 2分析受力。取向

20、下为正方向。分析受力。取向下为正方向。R1mT TT 2mR1m由转动定律由转动定律由牛顿运动定律由牛顿运动定律【例例5.7】一一轻绳跨过定滑轮，轻绳跨过定滑轮， 滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为有质量为m1 和和m2 的物体的物体, m1 m2 。 设滑轮的质量为设滑轮的质量为m ， 半径为半径为r , 忽略摩擦。忽略摩擦。 绳与滑轮之间无相对滑动。绳与滑轮之间无相对滑动。 求物体的加速度。求物体的加速度。 解：解：由于由于m1 m2 ，则，则m1 向下加速运动，向下加速运动，m2 向上加速运向上加速运动，滑轮逆时针转动。规定物体运动方向为正方向。动，滑轮逆时

21、针转动。规定物体运动方向为正方向。对对m 1 、m 2 分析受力。由牛顿第二定律：分析受力。由牛顿第二定律：1m1Tgm11a2mgm22T2a11111:amTgmm 22222:amgmTm 对滑轮分析力矩；由转动定律：对滑轮分析力矩；由转动定律：2mm1m21212T rT rJmr m2T 1T 关联方程关联方程12aar 2211TTTT 联立解得联立解得gmmmmmaa)(2)(2212121 【例例5.8】一一刚体由长为刚体由长为 l ，质量为质量为m 的均匀细杆和质量为的均匀细杆和质量为m 的的小球组成小球组成，且可绕且可绕O 轴在竖直平面内转动，轴在竖直平面内转动， 且且 轴

22、处无摩擦。求轴处无摩擦。求: 1） 刚体绕轴刚体绕轴O 的转动惯量。的转动惯量。 2）若杆自水平静止开始运动杆与）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成竖直方向成角时角时, 小球的角速度。小球的角速度。Om m，lgm2223431mlmlmlJ 解解 1）2mlJ 球球231mlJ 杆杆 2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成角时，角时，合外力矩合外力矩: sin23mglMMM 杆杆球球gm sinmglM 球球 sin2lmgM 杆杆ddddddddtt又 dd8sin9 lg分离变量积分得分离变量积分得: : 02dd8sin9lglg cos23

23、 小球的小球的法向加速度：法向加速度： cos492glan 9sin8MgJl 得：由转动定律由转动定律: :MJ25补充：补充：如图所示如图所示m1 m2 试由牛顿定律和转动定律写出系统的试由牛顿定律和转动定律写出系统的运动方程，求出运动方程，求出m2的加速度和张力的加速度和张力T1 ,T2, T31m2m1T2T3T1M2M1R2R解：设解：设m2的加速度为的加速度为a，方向向上，则方向向上，则m1的加速的加速度也为度也为a，方向向下，方向向下，滑轮与绳不打滑，则滑滑轮与绳不打滑，则滑轮与绳的加速度为：轮与绳的加速度为：1212aaRR:1111mm gTm a对:2222mTm gm

24、a对M :()211311111TT RM R2对:()223222221MTT RM R2对11311a1TTM aR2对：23222a1TTM aR2对：26两端相加：两端相加：()1212122 mm ga2 mmMM（）()()1211211112124m mm MMTm gm ag2 mmMM()3221TmgaM a2 本题中本题中123TTT当当M1 1, ,M2 2质量可以忽略时质量可以忽略时T1 1= =T2 2= =T3 3222Tm gm a5.5 刚体刚体的的角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律ddzzLMt 作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴

25、的作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。角动量随时间的变化率。2121dtzztMtLJJ 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。将质点系的角动量定理应用于定轴转动的刚体：将质点系的角动量定理应用于定轴转动的刚体：ddzzMtL 微分形式微分形式21dtzztMtL 积分形式积分形式一、一、刚体的刚体的角动量角动量定理定理二、二、刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律zZzM0LJC时，1) 定轴转动的刚体，若定轴转动的刚体，若 J = C，角动量守恒即刚体保角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。持静止或匀角速转动

26、。2）若若J 不为恒量时，角动量守恒即不为恒量时，角动量守恒即 J = 恒量。这时，刚体恒量。这时，刚体 的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变 当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。刚体对此转轴的总角动量保持不变。3）角动量守恒定律中的）角动量守恒定律中的 都是相对于同一转轴的都是相对于同一转轴的、J4）守恒条件：守恒条件：iiF0M0不等价iF0iM0例例:1F2FiF0iM01F2FiM0说明说明30 角动量守恒现象举例22487MlMdJJCO 2

27、 2）取）取细棒为研究对象，碰前细棒作平动，可按质点处理。细棒为研究对象，碰前细棒作平动，可按质点处理。144OClLrMMM lvvv解：解： 1 1）14JMlv127lv方向：方向：3 3）碰撞过程中，细棒所受的外力矩为零，角动量守恒。）碰撞过程中，细棒所受的外力矩为零，角动量守恒。vlo4lldMlJC411212 已已知知：方向：方向：cr由平行轴定理：由平行轴定理：【例例5.9】光滑光滑的水平桌面上有一个长为的水平桌面上有一个长为l，质量为质量为M 的均匀细棒，的均匀细棒，以以 速度速度v 运动，与一固定于桌面上的钉子运动，与一固定于桌面上的钉子O 相碰，碰后细棒绕相碰，碰后细棒绕

28、O转动，试求转动，试求 1）细棒绕）细棒绕O 点的转动惯量；点的转动惯量； 2）碰前棒对）碰前棒对O 点的点的角动量；角动量；3 ）碰后棒转动的角速度）碰后棒转动的角速度 。【例例5.10】一一质量为质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出，求子弹穿出后棒的角速度后棒的角速度。已知棒的长度为。已知棒的长度为l，质量为，质量为M。 0vvmmlM、 解：解：取取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它系统

29、受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒。守恒。 1320mlmlMlvv311-4400vvv094mMlv设设m射穿前为初态，射穿前为初态， m射穿后为末态。射穿后为末态。初态初态10Lmlv末态末态2213LmlMlv由角动量守恒定律，得由角动量守恒定律，得Fo0vmLM NgMgmm0vmgffgMNOMl 2【例例5.11】如如图所示，一长为图所示，一长为2l ，质量为，质量为M的均匀细棒，可绕的均匀细棒，可绕中点的水平中点的水平轴轴O在在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一

30、质量为一质量为m的小球以速度的小球以速度v0垂直下落在棒的端点，设小球与棒垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度及棒转动的角速度各为多少？各为多少？解解: 以小球和棒组成的系统为研究对象。以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力力，则系统对，则系统对轴轴O的的角动量守恒。角动量守恒。 取垂直纸面向里为角动量正向。取垂直纸面向里为角动量正向。 0mlJm lvv2231)2(121MllMJ 对弹性碰撞对弹性碰撞，机械能机械能守恒守恒2220111222mm

31、Jvv联立可解得联立可解得033MmMmvv06(3 )mMm lv【例例5.12】一一质量为质量为M半径为半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在的人站在转台转台边缘边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周时走一周时，人和，人和转台相对地面各转过的角度是多少？转台相对地面各转过的角度是多少？OMmRx解解:对盘和人组成的系统，当人走动时系统所受到的对转轴的合对盘和人组成的系统，当人走动时系统所受到的对转轴的合外

32、力矩为零，因此外力矩为零，因此系统的角动量守恒系统的角动量守恒。设人沿转台边缘相对地面。设人沿转台边缘相对地面以以角速度角速度逆时针逆时针方向绕轴走动，人的转动惯量为方向绕轴走动，人的转动惯量为J1。转台以角。转台以角速度速度相对地面顺时针方向绕轴转动，转台的转动惯量为相对地面顺时针方向绕轴转动，转台的转动惯量为J2。起。起始状态系统的角动量为零。则有始状态系统的角动量为零。则有021 JJ 2221MRmR即即令令tdd tdd tMRtmRdd21dd22 00d21dMm Mm21 当人在盘上走完一周时，应有当人在盘上走完一周时，应有 2 22mMM 2222222mMmmMM 37【例

33、例5.13】一一棒长棒长l,质量质量m,其质量分布与其质量分布与O点成正比，将细棒点成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速点转动，如图，棒的初始角速度为度为0,棒与桌面的摩擦系数为棒与桌面的摩擦系数为。求求:(1)细棒对细棒对O点的转动惯量。点的转动惯量。(2)细棒绕细棒绕O点的摩擦力矩。点的摩擦力矩。(3)细棒从以细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。开始转动到停止所经历的时间。O0 Z解：解：(1)dd?mrkr设则：20021dd22llrkr rklmmrl3842320022021dd22llmmmrJrmrrmlll细棒上距

34、细棒上距O点点r处长处长dr的线元所受的摩擦力和对的线元所受的摩擦力和对O点的摩擦力矩：点的摩擦力矩：2222dddd2ddd (mfm ggrgr rlmgMr frrzl 选 方向为正）202022dd3lMmgMMrrmgll （3）由角动量原理由角动量原理0020d2132tM tJJmgltml glt 430 39R186 9610 .)(102 . 23600243 .2561sT 自转角速度自转角速度 112 T 转动惯量转动惯量 JmR11225 设缩后的角速度为设缩后的角速度为 ，转动惯量为，转动惯量为 2JmR22225 解解: :已知已知由角动量守恒得由角动量守恒得 J

35、J1122 12212212115 110 JJRR.)(1022.1151212sTT 【例例5.14】太阳半径为太阳半径为6.96108m，自转周期为，自转周期为25.3天，若在天，若在演化过程演化过程中最后缩为半径中最后缩为半径5km中子星，而无质量损失，试估中子星，而无质量损失，试估算新的自转周期。算新的自转周期。5.6 转动中的功和能转动中的功和能一、一、 刚体的动能刚体的动能222111222iiikiiEmmmvvv平22221)(21 Jrmiii 2222111()222iiii ii ikiiiEmmrmrv转平动动能平动动能 ：转动动能转动动能 ：即：即：221 JEk

36、转转JLJJJEk2)(2121222 转转用角动量表示为：用角动量表示为：注意：注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。221122vkcckkEEEmJ平转一般刚体动能一般刚体动能 ：二、二、 力矩的功和功率力矩的功和功率MFr sin？外力矩外力矩刚体刚体角位移角位移 d 21d MA力矩功的表达式力矩功的表达式由功的定义式由功的定义式: dcosFr ddMA ddsAFr位移质点外力ddcosdAFrFs dsinFr F rz doPsddr1） M 恒定时恒定时2） 内力矩做功为零。内力矩做功为零。)(d1221 MMA说明说明 如果

37、有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为 21212121 1 2 11d ddd niinniiMMMMAAiMM令令- 合外力矩合外力矩各外力矩做功所做的总功为合外力矩对刚体所做的功。各外力矩做功所做的总功为合外力矩对刚体所做的功。 21d MA根据功率的定义，力矩的功率可表示为根据功率的定义，力矩的功率可表示为 tAPddtMdd M MP PFv对比对比三、三、定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 dddtJ ddAMJ 21 dJ21222121 JJ 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 设定轴转动刚体受到的合外力矩为设定

38、轴转动刚体受到的合外力矩为M，根据转动定律，根据转动定律 ddMJJt21222121 JJA 合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。iiipgzmE 刚体刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能 。四、四、刚体的重力势能刚体的重力势能五、五、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律CpmgzE 刚体的重力势能刚体的重力势能iiizmg iiimzmmg 刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。刚体中各质元的重力势能的总和

39、称为定轴转动刚体的重力势能。 若若刚体定轴转动中受重力矩刚体定轴转动中受重力矩M重重 及其它外力矩及其它外力矩M外外的的作用，则作用，则 2211222111dd22MMJJ 重重外外根据势能定理根据势能定理PEM 21d 重重)(12CCmgzmgzEJmgzJmgzMCC )(21122221)21d21 外外即即为为刚刚体体的的机机械械能能定定义义)212 JmgzEC (刚体定轴转动功能原理的积分形式刚体定轴转动功能原理的积分形式 EM 21d 外外EMd d外外刚体定轴转动功能原理的微分形式刚体定轴转动功能原理的微分形式 如果如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外在刚体定轴

40、转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，力矩对刚体做的功始终为零，0d21 外外MCEEpk0E 如果如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，则定轴刚体转动系统的机外力矩对刚体做的功始终为零，则定轴刚体转动系统的机械能守恒。械能守恒。46【例例5.15】已知已知滑轮的质量为滑轮的质量为M，半径为，半径为R ，物体的质量为，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为，斜面的倾角为，物体与斜面间光滑，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮物体从静

41、止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）解：解： 选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，重力、弹性力均为系统和地球为系统，重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。不做功，故系统的机械能守恒。设设m未释放时为初态，取此时重力势能未释放时为初态，取此时重力势能为零。当为零。当m下滑下滑x 后为末态。后为末态。初

42、态：初态：00p0k EE末态：末态：222111(-sin )()222vEkx mgxmJ由机械能守恒定律，角量与线量的关系由机械能守恒定律，角量与线量的关系OMRmkmx联立得联立得222111(-sin )()0222vkx mgxmJRv221MRJ 24sin2mgxkxmMv48一一. 刚体角动量和角速度的关系刚体角动量和角速度的关系 5.7 进动进动刚体的角动量刚体的角动量 和角速度和角速度 方向一定相同吗？方向一定相同吗？ LO例：例：如图由于绳的约束，如图由于绳的约束， 固连球的轻杆只能固连球的轻杆只能 绕绕 Oz 轴转动，轴转动，O 是是 杆的中点，但是：杆的中点，但是：

43、 OLz O prrpOLLL49绕绕 OO 轴转，轴转，因为此时因为此时 守恒。守恒。OL答：答：一般一般情况下，刚体的角动量情况下，刚体的角动量 和和角速度角速度 的方向不一定相同。的方向不一定相同。 L质量均匀、几何对称的刚体，绕几何对称轴质量均匀、几何对称的刚体，绕几何对称轴自转时，自转角动量自转时，自转角动量 / 自转角速度自转角速度 。L 【思考思考】剪断绳瞬间如何运动？剪断绳瞬间如何运动？OLOz O 50二二. 进动进动 高速自转物体，其自转轴绕另一个轴转动高速自转物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象，如玩具陀螺：的现象，如玩具陀螺：PrecessionSpin52OCtLMdd

44、 d MLLM LL d 每一瞬时，角动量每一瞬时，角动量 只只改变方向而不改变改变方向而不改变大小大小，而同时，使，而同时，使角动量角动量 产生变化的力矩产生变化的力矩 也也随之改变方向，使上面关系在随之改变方向，使上面关系在每一瞬间每一瞬间总保持总保持成立，这就意味着刚体在作进动。成立，这就意味着刚体在作进动。MLL对对O点，分析对称陀螺点，分析对称陀螺自转角动量自转角动量 的变化：的变化：LrMgmLdL/ LLL 53O L sinsin JMLM进动角速度：进动角速度：tddLLdsind sinLtM ddLd进动稳定后，总角速度：进动稳定后，总角速度： 总总当刚体高速自转时有：当

45、刚体高速自转时有： 总总对非对称刚体，自转轴在进动中会出现对非对称刚体，自转轴在进动中会出现微小的微小的上下周期性的上下周期性的摆动摆动 章动。章动。 54三三. 自由度自由度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的自由度是确定力学体系空间几何位形所需的独立坐标数，与几何约束条件直接相关。独立坐标数，与几何约束条件直接相关。1. 质点的自由度质点的自由度 不受约束（自由）的质点，不受约束（自由）的质点， 约束在曲面上运动的质点，约束在曲面上运动的质点， 约束在曲线上运动的质点，约束在曲线上运动的质点， x, y, z 相互独立；相互独立；自由度为自由度为 3，x, y, z 中有中有1个不独立，

46、如个不独立，如 z = z(x, y)；自由度为自由度为 2，x, y, z 有有2个不独立，如个不独立，如 z = z(x)，y = y(x)自由度为自由度为 1，55转动用转动用 3 个欧勒角描述：个欧勒角描述：6 = 3（基点平动）（基点平动）+ 3（绕基点转动）（绕基点转动）刚体最大自由度：刚体最大自由度： 进动角进动角 章动角章动角 自转角自转角56 例题例题11、在一个较大无摩擦的平均半径为、在一个较大无摩擦的平均半径为R的水平圆槽内，的水平圆槽内，放有两个小球。质量分别为放有两个小球。质量分别为m和和M。两球可在圆槽内自由滑两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于

47、两球之间，如图：动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图：(1)(1)将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？(2)(2)设压缩弹簧具有弹性势能设压缩弹簧具有弹性势能E0 0，问小球问小球射出后，经多少时间发生碰撞？射出后，经多少时间发生碰撞？R解：解：(1)(1)设两小球被射出后的速度分别为设两小球被射出后的速度分别为 m和和 M，根据角动量守恒有：根据角动量守恒有：MmMmMmttmMMmMRmR22572 MmMmmM(2)由机械能

48、守恒定律得：由机械能守恒定律得：02)(2mEMmMMmmRtMM2 2MmmMmMMm解得：022)(21)(21ERMRmMm)(210MmMmERM58解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t0 20rad/s9 .20s5 0 rad/s7 .104min/r1000 t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN 0Nfr 例题例题22一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg69kg，半径为半径为0.250.25m,m,正在以每分正在以每分10001000转的转速转动。转的转速转动。现在要制动飞

49、轮，要求在现在要制动飞轮，要求在5.05.0秒内使它均秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力压力N N为多大？为多大？(已知）已知）F059 例题例题44如图所示如图所示, ,一质量为一质量为m m的子弹以水平速度射入一静止悬的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端于顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角求子弹穿出后棒的角速度速度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量为质量为M. .v0vmM解解: :以以f f代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :003()4fdtmm vv

50、v子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为：Jdtflldtf因因, , 由两式得由两式得ff60v0vmM200391443mlmJM lJM lvv这 里请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ?为为什么什么? ?总角动量守恒吗总角动量守恒吗? ?若守恒若守恒, ,其方程其方程应如何写应如何写? ? 例题例题55质量分别为质量分别为M1、M2, ,半半径分别为径分别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均匀圆柱, ,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动, ,二轴平行。二轴平行。R2M2R1M161R1M1R2M2原来它们沿同一转向分别以原

51、来它们沿同一转向分别以 10， 20的角速度匀速转动的角速度匀速转动,然后平移二然后平移二轴使它们的边缘相接触轴使它们的边缘相接触,如图所示如图所示.求最后在接触处无相对滑动时求最后在接触处无相对滑动时,每每个圆柱的角速度个圆柱的角速度 1， 2。2211RR二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有对上述问题有以下的解法对上述问题有以下的解法: :在接触处无相对滑动时在接触处无相对滑动时, ,二圆柱边缘的二圆柱边缘的线速度一样线速度一样, ,故有故有2211220110JJJJ622222211121,21RMJRMJ其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2。这种解法

52、对吗。这种解法对吗? ?答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动时时 1 1， 2 2方向相反，所以应为方向相反，所以应为2211RR正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, ,力矩和冲量矩的力矩和冲量矩的大小正比于半径大小正比于半径, ,方向相同方向相同: :)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR63得消去,fdt)()(2022101121JJRR1221RR从前已知由此可解得由此可解得:)( )(21222211121222112221111MMRRMRMRJR