高等数学第六版第二章第二节求导法则

1、目录 上页 下页 返回 结束 不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. 判断可导性目录 上页 下页 返回 结束 思考思考1.函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数目录 上页 下页 返回 结束 解解: 因为2. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f 0(1)(1)1lim2xffxx 所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()

2、(1 (lim210 xfxfx) 1 (21f 目录 上页 下页 返回 结束 第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 解决求导问题的思路解决求导问题的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其他基本初等其他基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容目录 上页 下页

3、 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设 则vuvu )() 1 (故结论成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)

4、(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(目录 上页 下页 返回 结束 (2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 例例

5、1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目录 上页 下页 返回 结束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu

6、)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx目录 上页 下页 返回 结束 2(7)(tan )secxx 2(8)(cot )cscxx (9)(sec )sectanxx

7、x (10)(csc )csccotxxx 1(11) (log)(0,1)lnaxaaxa 用四则运算求导法则可得的基本求导公式用四则运算求导法则可得的基本求导公式目录 上页 下页 返回 结束 引例： 设,(,)xyex 则ln,(0,)xy y()xxdyeedx1(ln )dxydyy1xe1dydx二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则目录 上页 下页 返回 结束 )( xf反函数的求导法则反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf1( )0,fy 且则

8、 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11目录 上页 下页 返回 结束 1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(

9、log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e(12)(arcsin ) x 211x(13)(arccos )x 211x(14)(arctan )x 211x(15)(arccot )x 211x(16)()lnxxaaa xxe)e(特别当ea时,用反函数求导法则可得的基本公式用反函数求导法则可得的基本公式推论3)目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导，则复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:

10、)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.说明说明： 1） 此法则称为链导法则，可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 结束 (2)()ln ,(0,1)xxaaaaa 1(1)()()xxR 2）用复合函数求导法则得到的基本公式证(1) 设 x 0 ,ln(),lnxuxeeux ln()()xxe ()

11、 ( ln )uex uex 1.xxx ln(2)()()xxaae () ( ln )ln（ =）uexau xa lnlnln= =xaxea aa 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:(1) () ; (2) (sh ) .xxx解解: (1)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)2ee)(shxxx2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxx)(thxxxxchshth2eeshxxx21.ch x目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)

12、tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求df(lncos(e )dxxf的导数？xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf这两个记号含义不同)cos(elnx目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arsh x112x(反双曲正弦)其他反双曲函数的导数看参考书自推. 2eeshxxx的反函数双曲正弦目录 上页 下页 返回 结束 fu解：解： 设 xuufy2sin xufy2sin xxufcossin2 xuf2sin32)ln (1)yf

13、x解：解： 设 ) 1(ln3xuufy ) 1(ln3xufy13) 1ln(323xxxf例例7 求下列函数的导数（设xxf2sinsin23）设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可导, 求.y21)sinyfx存在）：目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exx

14、e )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数

15、目录 上页 下页 返回 结束 ,sincos1ln3xxy.y求解：解：sinlncos1ln31xxysincoscos1sin31xxxxy)cos1 (sin3cos1xxxxcsc31xxxxytan1coscot1sin22.y求例例9. 设解：解：xxxxxxycossincoscossinsin33x2sin211xy2cos例例8. 设先化简后求导目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例11.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.

16、yaaxln先化简后求导目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx目录 上页 下页 返回

17、结束 性与各部分区间的可导性分别讨论。例例14：10( ),( )20 xexf xfxxx 求解解：当0 xxxeexf)1 ()(0 x 当( )1fx对于分段函数的求导，应将函数在分段点处的可导xfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(01)0( f010)(xxexfx五、分段函数求导举例五、分段函数求导举例121lim0 xexx122lim0 xxx(0)2f目录 上页 下页 返回 结束 2 ,0( ),( ).ln(1),0 xxf xfxxx设求解解( )2,fx,0时当x,0时当 x)(xf)0(f 例例1515, 0)0(fx11xxx0)1l

18、n(lim0)0(f 020limxxx(0)f 不存在1,0( ).1,01xfxxx于是于是所以所以12目录 上页 下页 返回 结束 例例16.16.设1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a目录 上页 下页 返回 结束 , 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)(目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvv