高中数学北师大版必修第一册一课一练：1.3.2基本不等式

1、第一章预备知识§3不等式3.2基本不等式知识点1利用基本不等式比较大小1. 0%*70¥ 789%0（2020 南昌二中检测）己知 &20力20,且 a-炉2,则（）。A. 5.C. 3+522D, a:+b'W2答案：c解析：2:广后2出八励l,abWl,故A,B选项都是错误的。4=（a+bf=J+2a加3W2（J+bj,所以 白履22。2. 。%68=7¥ ¥8%O（2020 衡水中学月考）下列不等式中，正确的是（）。A.B. （a+bf26ab答案：c解析：选项A忽视了 a,6的条件应为正实数,B,D选项只有在abWO时成立。3.

2、O%70*23663%0（2020 江苏丹阳中学检测）设0豕瓦会炉1,则下列不等式正确的是（）oA. K2a星寸代+心侪gB. 2abK/+g«a? + b。C. 2公扑庐Wa? +4D. 加 + 炉"答案：c解析：0屋6且云5l,，0豕±丛1。2一+52勖,炉可云+反且庐仇 故2ab3+户"公+ 4。知识点2基本不等式中的恒成立问题4. G%60#¥072*%0（2020 黄冈中学月考）若a,R,则下列不等式恒成立的是（）。B.，+梦 2c 学段）D, s）（；+1）>4答案：c解析：对于A,当a,b同号时，不等式成立，当a9b异号时，

3、不等式不成立，故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b 同号时，不等式成立，当的异号时，-住+2）22肉二=2,那么衿W-2,故B中不等式不恒成立。对于C,Q岁2 （竽）故C中不等式恒成立;对于D,（a+b）&+ 3=2+衿，当纳同号时押22,原不等式成立，当a,b异号 时,;+±）22印二=2,那么92W-2,原不等式不成立，故D中不等式不恒成立。故选C。a/ab a5.。%¥41#*3笛0（多选）（2020 张家口二中月考）设a>0,按0,则以下不等式中恒成立的是（）。A. 5b）& +1）4B.才十心2-C, a'+b*222/2bD.J

4、a-b 亍近一小答案：ACD解析：:GO力>0,.对于A,5b）（：+沪2+夕含4恒成立。对于C,，+火2-府2枳M1）斗出1少0,7+炉+22225恒成立。对于D,当&2 b时,（J大石了=瓦而<*_y5）'= a+:丁>2tr2y,又:仑 bG, ：. 5-班WG, ： （丁司即J a-b当豕b 时 J a-b |>0,而疯75<0,，J a-b| >，£-亚故J a-b | 久年75恒成立。6 . 0M ¥7#4*5%。（2020 辽宁实验中学期中）下列条件:2段0；&丛0；a>0,b>0；豕0,

5、m0。其中能使9g22成立的条件的个数是 o答案：3解析：要使只要50且»0,即a,b不为0且同号即可，故有3个。 a da b7 .。眄7#8700棉。（多选）（2020 ,株洲中学期末）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）<>A.产我20）8 .尸cos 廿2（。*90 '）c x2+3"亚D.产金+±2答案：AD解析：当x0时，尸.，2,故A对;因为所以0cos/1,所以产cos廿高中等号不成立，故B错; 因为QTI2vl所以片/彳2+22中等号也取不到，故C错;因为f0,所以产.占）222卜-*-2=2,当且仅当好*,即f=2时等号

6、成立，故D对。题型1利用基本不等式求最值或参数的取值范围8. 0%«17¥9#7*%0（2020 重庆一中月考）若f+y=4,则中的最大值是（）。A. J B. 1 C.2 D.4答案：C解析：,$+户422.丫夕,，灯2,当且仅当 W 时取等号，即灯的最大值是2,故选Co9. 0%5¥ 8055*6%0（2020 莲塘一中检测）已知（K/g则M1-3x）取最大值时工的值是（）。A, B.1 C,1 D.1答案：C解析：（）岑,幻q 造中出目3（注+:"）'*,当且仅当3.尸1-3乂即时，等号成立。10. 0%99¥ 2*4 ¥

7、; 4%0（2020 ,陕西榆林一中月考）己知检0,则函数产上詈的最小值为（）。A. -2 B.1 C, 1 D. 2答案：A解析：尸二计1-*-422jrF=-2,当且仅当 /即 G时，等号成立。11. G%06060?®5%0（2020 江苏南通中学过关测试）若&瓦60,广炉1则8-1）（a-1）的最小值是（）。A. 6 B. 7 C.8 D.9答案：D蚯析 由，1T “ 1 T、一6+-)di (+切(l+b)-l+aJ (l+b)_l+a+b+ab_ 2跻.用Ik Ab7 ) 即ab Zb 石 :金片 1, 2yab < 1,1. abW：, A (最-1)(尚

8、-1) 29。12. C%*000*55%0（2020华师一附中检测）若直线2皿一刀厂2=0（或0Q0）过点（1,-2）,则田的最小值为（）。A.2 B. 6 C. 12 D. 3+272答案：D 解析：直线ZxrlZmO佃XXQO）过点（1,-2）,，252丁2=0,即/炉1,；/十汪（高+习（"力二3+3十号»3+2立,当且仅当白招，即不缶 时取等号,.十：的最小值为3+2位。 m nm n13. 0%*444 ¥«20%0（2020 江西师大附中月考）已知正实数xy满足所1,则C + y）G+x）的最小值为 O 答案：4解析：6+ ），尼+14咛+

9、出2+等=2"+/22,2份皿,当且仅当卡产1时等号成立。据此可知 停+ ），） G+x）的最小值为4。14. O%1¥*412¥ ¥%O（2020 安庆一中月考）己知20或0,廿2尸2工产8,则k2y的最小值为。答案：4解析：2工产x-（20W（竽）二8二户2k2M中）:Ef）（,叶2力44（,叶20-3220。x>0,y>0,；.W2yN4,当且仅当产2,产1时取等号，即.l2y的最小值是4。15. 。$6* ¥*2*3陕0（2020 合肥一中检测）设a,b£R,且£+祗10,则6的取值范围是。答案：卜2遥,

10、24解析：3+斤10,3+22地，2（广切223/广庐（行歹,当且仅当a=b时取等号，即（a+bW2（J-炉）=20,，-2/KWs+bW2d5,所以a+b的取值范围是-2,2。16. 0%4#*54©1¥%0（2020 衡水中学周练氏凡9均为正实数,“为变量但力为常数，且会炉10,耳刀,廿y 的最小值为18,求的值。答案：解：7+7>0,8>0,3>0,且三+含1,；.¥+产(廿分住+*)=小"加台?2/加2/短2VHF=(yZ+/F)当且仅当竺=竺时取等号。 y x此时（廿力*=（、6+四-8,即5+2r2/aF=18o（a + b

11、 + 2'aE = 18,又云510,联立（a + b = 10o解叱：8,或； : 2：17. 。5*1*8¥44%0（2020 石家庄中学月考）己知a>0,b>0,且三十；2三恒成立,求实数卬的最大值。a 0 2a+o答案：解:因为a>0力>0；+。2三恒成立， a b 2a+o即四6+ ：）（2&+6）恒成立，而 G + '2 /b）=5+g+票 25+2后”=9,当且仅当a=b时等号成立，所以实数a的最大值为9O题型2利用基本不等式的性质证明不等式成立18. 0%1¥3798 ¥#%0（2020 武汉外校月考

12、）己知a,2c为正实数，求证匕今 a b c答案：证明:才上22"加122cL上22a,，/-+27*+E上22/2加2c,，匕加Co abca b ca b c19. O%462S4*38%O（2020 雅礼中学周练）求证：+S+c'2 abac+bc；答案:证明:,a'+b'22ab,a:+322ac,b'+c'22bc,将此三式相加得2（3+5+3）22&加2&c+2bc,；原不等式成立。（2）伤+>20+/5。答案：要证原不等式成立,只需证（遍->（2J2+J5）；即证2阮2闻。上式显然成立,.原不等式成立。

13、题型3基本不等式在实际生活中的应用20. O%511«*2¥%O（2020 武汉中学月考）汽车上坡时的速度为a原路返回时的速度为友且0。友则汽车全程的平均速度比a9b的平均值（）oA.大B,小C.相等 D.不能确定2S 2S 2答案：B解析：令单程为s,则上坡时间为比二下坡时间为片"平均速度为 aD号取不到，故选B。21. 0%06¥ 74 ¥06%0（2020 武汉外校月考）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0. 5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元,由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2

14、万元，为使该设备平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）<>A. 10 B. 11 C. 13 D. 21答案：A解析：总的维护费为二2尹上网"1）,故年平均费用为:产坨史誓1型工即产/e+L5（h为正整数）。由基 jnn本不等式得产+L 522小-1. 5=21. 5,当且仅当若，即炉10时取到等号，即该企业10年后需要更新设备。22. O%*29«¥837%O（2020 ,华师一附中期中）几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问遨的重要依据,通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并将 该方法称之

15、为“无字证明、如图L3-2-1,"是半圆0的直径，点。是患上一点（不同于4其0,点。在半圆0 上，旦CMAACE上,垂足为£设6Gb，则该图形可以完成的”无字证明”为（）0图 1-3-2-1A.(a>0,b>0)B?橙(&>0，b>0，aKb)C.橙近病（a>0,b>0）D.空假智®。力>0闰W b） a+b 2解析：由化。,於在可得半圆。的半径。户也，易得DO 8c=口瓦。监;2DO a+o: DEaDCg 怒<丁而<争/0,按O,aHb)。故选D。23. 0%*5¥122¥%0(2020 武汉二中期中)如图L3-2-2,已知在小矩形花坛"。中，止3叫拉>=2叫现要 将小矩形花坛建成大矩形花坛儿监使点5在川上，点，在4V上，且对角线跖.过点Q图 1-3-2-2要使矩形儿讼”的面积大于32的长应在什么范围内？答案：解:设月的工叫小三r m(x>3,y>2),矩形式阳.的