人教版九上24.1.2垂直于弦的直径课件_人教新课标版

1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代多年前我国隋代建造的石拱桥建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m.7.2m.问题情境问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，

2、重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线直径所在直线都是都是它的对称轴它的对称轴 一、一、 实践探究实践探究如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB于于E点点（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？OABCDE二、二、（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两

3、侧的两个半圆重两侧的两个半圆重合，点合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC与与BC重重合，合，AD与与BD重合重合因此因此 AE=BEAE=BE即即 直径直径CD平分弦，并且平分平分弦，并且平分AB及及ACBAC=BCAC=BCAD=BDAD=BDOBCDAEOABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径，垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条平分弦且平分弦所对的两条弧弧归纳条件条件结论结论换言之：垂径定理：换言之：垂径定理：若一条若一条直线满足：条件（直线满足：条件（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦，）垂直于弦，则它（则它（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优）平分

4、弦所对的优弧，（弧，（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧也可以说：直径垂直于弦也可以说：直径垂直于弦垂径定理三种语言 1.定理定理 垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使AE=BE（1）CDABAB吗吗？为什么？为什么？（2）OABCDEAC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？三、AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD

5、是直径是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得推论：推论：OABCDE若直径平分弦（若直径平分弦（弦弦不是直不是直径径），则这条直径垂直于弦，），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分或者说：若直径平分一条不是直一条不是直径径的弦，则这条直径垂直于弦，的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：几何语言表述：AC=BCAC=BCCDAB,n由由 CD是直径是直径AE=BE可推得可推得AD=BDAD=BD定理及推论，总结：定理及推论，总结：一条一条直线只需满足：条件（直线只需满足：条件（1）

6、过圆）过圆心（心（2）垂直于弦，）垂直于弦，（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧，）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧中的任意两个条件，就能推出中的任意两个条件，就能推出其它三个其它三个.简称简称“知二推三知二推三”.驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） (2)平分弦的直径一定垂直于弦平分弦的直径一定垂直于弦.（ ） . (3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）小试牛刀小试牛刀：如图，

7、已知在：如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。解：连结解：连结OA，作，作OEAB于于点点E，则，则OE3厘米，厘米，AEBE.AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，据勾股定理有中，据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距注意：圆心到弦的距离叫弦心距.AEBOO O中最长的弦是中最长的弦是多少呢？多少呢？解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB所在圆的圆心所在圆的圆心为为O，半径为，半

8、径为R过圆心过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，垂足为垂足为D，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结，根据前面的结论，论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD 就是就是拱高拱高AB=48米，米，CD=16米米BODACR实践应用：实践应用：O半径为半径为10，弦，弦AB=12，CD=16，且且ABCD.求求AB与与CD之间的距离之间的距离. 拓广探索拓广探索 二二.DBAC.DBAC如图，如图，AB是是 O的一条弦，的一条弦， CDCD是是直径，且直径，且AE=BEOE=5，AB=24，求求O O的半径的半径OABCDE练一练：驶向胜利的彼岸挑战自我挑战

9、自我画一画画一画 2.已知：如图已知：如图, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: .FEOMNABCD及时反馈 已知：如图，直径已知：如图，直径ABCDABCD，垂足为，垂足为P P。 若半径若半径R=5R=5，CD=8CD=8，求，求OPOP、BPBP的长。的长。 若半径若半径R=2R=2，OP=1OP=1，求，求CDCD、BPBP的长。的长。POCDBA1.如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D

10、，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.提高练习提高练习 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即

11、 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法它是一种常用辅助线的添法判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此

12、弦所对的弧必平分此弦所对的弧 4:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。10DCEOAB反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO3：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ， DC2，直径，直径CEAB于于D， 求半径求半径OC的长。的长。DCEOAB垂径垂径直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.练习练习5:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交

13、CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。EDOCAB6 已知：已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD.MCDABON证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDM ACBD总结总结: 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距过圆心作弦的弦心距，或，或作垂直于弦的作垂直于弦的直径，连结半径直径，连结半径等辅助线，为应用等辅助线，为应用垂径垂径定理定理创造条件。创造条件。船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,

14、某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？ 相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答.船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交相交于点于点C.C.根根据垂径定

15、理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是就是拱高拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些