复变函数与积分变换试题

1、一、填空（每题3分，共24分）1的实部是_，虚部是_，辐角主值是_. 2满足的点集所形成的平面图形为_，该图形是否为区域_. 3在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？_. 4的值为_；主值为_.5积分的值为_，_. 6函数在处Taylor展开式的收敛半径是_. 7设, 则_，其中定义为_ . 8函数的有限孤立奇点_，是何种类型的奇点？_.得分评卷人二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 得分评卷人三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数.得分评卷人四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数. 得分评卷人五、计算下列各题（每小题6分，共2

2、4分）1，求2求出在所有孤立奇点处的留数34得分评卷人六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象. 得分评卷人七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域. 得分评卷人八、（6分）设在内解析，在闭圆上连续，且，证明：.得分评卷人九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 答案一、填空（每题3分，共24分）1的实部是，虚部是，辐角主值是. 2满足的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为的椭圆，该图形是否为区域 否 . 3在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？ 是 . 4的值为；主值为. 5积分的值为， 0 . 6函数在处Taylor展开式的收敛半径是 1 . 7

3、设, 则其中定义为. 8函数的有限弧立奇点0 ，是何种类型的奇点？ 可去 .得分评卷人二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 解： （2分）均连续，要满足条件，必须要成立 即仅当和时才成立，所以函数处处不解析； （2分） （2分）得分评卷人三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数.解：因，要使为调和函数，则有即 （4分）所以 时，为调和函数，要使解析，则有 ， （2分）所以 即 ，故（2分）得分评卷人四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数. 解：的有限孤立奇点为及 （2分）1）当时 （2分）2）当 （2分）3）当 （2分）4）当 （2分）得

4、分评卷人五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1，求解：因在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在内， （3分）所以 （2分）而点 在内，故 （1分）2求出在所有孤立奇点处的留数解：函数 有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式： （3分）故 （2分） （1分）3解：，它共有两个二阶极点，且在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点，所以（2分） （1分）（3分）4解：由三角函数公式 （1分）（2分）令，则，于是 （1分）被积函数在内只有一阶极点，由公式 故由留数定理（2分）得分评卷人六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象. 解：令，则 ， （3分）故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径

5、有割痕. （3分）得分评卷人七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域. 解：（2分）（1分）（2分）（2分） （1分）得分评卷人八、（6分）设在内解析，在闭圆上连续，且，证明：证：由于（2分）（4分）得分评卷人九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程：解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得（4分） 即（2分）故 试题2一、填空（每题3分，共24分）1复数的模为_，辐角为_. 2曲线在映射下的象曲线为_. 3_. 4为函数的_级极点；在该点处的留数为_. 5函数仅在_处可导. 6设，其中，则_. 7. 在映射下，处的旋转角为_，伸缩率为_. 8已知则它们的卷积_. 得分评卷人二、（

6、10分）验证是一调和函数，并构造解析函数满足条件.得分评卷人三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1.2.3. .4. .5. 用留数计算，由此求出的傅里叶(Fourier)逆变换. 得分评卷人四、（12分）把函数在复平面上展开为的洛朗级数. 得分评卷人五、（6分）试求Z平面上如图所示区域在映射下的象区域. 11ii0得分评卷人六、（8分）求一保形映射，把区域映射为区域. 得分评卷人七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程满足初始条件的解. 得分评卷人八、证明题：（7分）1 设函数在区域内除二阶极点外处处解析，证明：.（4分）2 求积分，从而证明：.（3分）答案复变函数与积分变换评分细则一、填空1, 2 34 6, 05（0，-1）607. ,18二、，故为调和函数。（2分）， （8分）由于，得（9分），（10分）三、1，在内，有（2分）原式（5分）2原式3原式 （1分）（3分） 在 内有一阶极点（4分）故原式（5分）4为 在上半平面的二级极点，（1分）原式=（3分） （5分）5函数 在上半平面有一级极点（1分）（2分）原式（3分）四、在复平面内有两个孤立奇点（2分） 在 与 内解析（3分）当时，（8分） 当 , =（9分）=（11分）（12分）5分