CLLX弯曲应力

1、12回顾与比较内力内力AF应力应力PITFAyFSM?7 7 引言引言3在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成才能合成弯矩弯矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dA才能合成剪力才能合成剪力dAdAMdAdAQAd MQQ4 平面弯曲平面弯曲 所有外力（包括力力偶）都作用梁的所有外力（包括力力偶）都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平平面弯曲面弯曲。 5梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪

2、力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲纯弯曲纯弯曲67 横向弯曲横向弯曲梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称简称横弯曲横弯曲。横向横向弯曲弯曲87 72 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各

3、点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。由于横截面上正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可见的，应力又和变形有关，的应力是看不见的，而梁的变形是可见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。因此，可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。 9（一）（一）变形几何关系变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:一、一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力10CL8TU311梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假

4、设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。面绕某一轴旋转了一个角度。1213两 个 概 念两 个 概 念中性层：中性层：梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩 短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发 生伸长变形，也不发生缩短变形，生伸长变形，也不发生缩短变形，此层称中性层。此层称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O几何

5、方程：(1) . yx abcdABdq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)( （二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。力状态。(2) . EyExxCyyE16应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数 为了确定中性轴的位置以及中性面的曲率半径，现在需要应用静力方程。 根据横截面存在正应力这一事实，正应力这一种分布力系，在横截面上可以组成一个轴力和一个弯矩。但是，根据截面法和平衡条件，纯弯曲时，横截面上只能有弯矩一个内力分量，二轴力必须

6、等于零。于是，应用积分的方法， （三）静力学关系：（三）静力学关系：17于是，应用积分的方法，0dNFAAzAMyAd负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值；Mz为作用在加载平面内的弯矩，可由截面法求得。 18zAMyAdCyyEzAAMAyCyACydd2zzIMCzIzzM yI=-19zzM yI=-式中弯矩Mz由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩Iz既与截面的形状有关，又与截面的尺寸有关。 20 为了利用上述应力公式计算梁弯曲时，横截面上的正应力，还需要确定中性轴的位置。 zzM yI=-将正应力表达式代入静力方程将正应力表达式代入静力方程 0dNFAAdd0AAC

7、y A C y ACy21zzM yI 根据截面的静矩定义，式中的积分即为横截面面积对于z轴的静矩Sz。又因为C0，静矩必须等于零： dd0AACy A C y A0AzydAS前面讨论静矩与截面形心之间的关系时，已经知道：截面对于某一轴的静矩如果等于零，这一轴一定通过截面的形心。在分析正应力、设置坐标系时，指定z轴与中性轴重合。 Sz22zzM yI=-0ddAAAyCACy0dAzAyS 上述结果表明，中性轴z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。 对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。例如，矩形截面，圆截面，圆环截面等，这些截面

8、的形心很容易确定。 对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心，也可以从有关的设计手册中查到。 23 工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到 zzM yI maxmaxzzzzM yMIW称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3 。 maxzzIWy24yzbh3212622zzbhIbhWhh3212622yyhbIhbWbb43643222yzdIdWWWddzyd最大正应力公式与弯曲截面模量 25443411643222yzDDIWWWDDdDzydDbBhH)1 (6

9、 332maxBHbhBHyIWzz26梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 这是梁弯曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式。其中EIz称为梁的弯曲刚度。 CyyEzzM yI=-zzEIM1 这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。 27 计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，注意以下几点是很重要的：计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 首先是，关于正应力正负号：决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确

10、定这一点的正应力是拉应力还是压应力。 28 首先是，关于正应力正负号： 决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。 xyz29 其次是，关于最大正应力计算maxmaxzzM yImaxmaxzzM yI 如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。 如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，

11、则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计算： 实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明“拉”或“压”。 30maxmaxzzM yImaxmaxzzM yI3132纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形，如果是细长杆，也是近似适用的。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在必须之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，对于细长梁，这种翘曲对正应力的是很下的。通常都可以忽略不计。 33例题1 矩形截面悬臂梁，这时，梁有两个对称

12、面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为Me，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上正应力分布图。 34确定固定端处横截面上的弯矩： 根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩: MMe 。中性轴确定中性轴的位置确定中性轴的位置中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)对称轴垂直。因此，z轴就是中性轴。35中性轴判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中

13、性轴以下各点均受拉应力。 画梁在固定端截面上正应力分布图画梁在固定端截面上正应力分布图 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y）按直线分布。上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定端截面上的正应力分布图。36 矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度b=20mm，高度h30mm；均布载荷集度q10 kN/m ；梁的长度l450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。 l/2l/237l/2l/2确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据对称结构对称载荷,可以求得支座A和B处的约束力分别为 N1025. 2210450mm10

14、kN/m1023-33RRqlFFBAFRAFRB383RR2 25 10 N2.ABqlFF梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为 mN10253. 08)10450mm(10kN/m10832-332maxqlMl/2l/2FRAFRB39计算惯性矩计算惯性矩l/2l/2FRAFRB求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1、2两点的正应力两点的正应力1 1、2两点到中性轴的距离分别为两点到中性轴的距离分别为 m105 . 741030442331hhhym1015210302332hy48333105 . 412)1030(1020m123bhIZ40FRAFRB317 5 10 m.y3215 1

15、0 my于是弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为 48105 . 4mIZPa883310422. 0105 . 4105 . 710253. 0) 1 (MPa2 .42Pa883310842. 0105 . 4101510253. 0)2(MPa2 .84mNM.10253. 03max417-2 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上； M一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件422 2、正应力强度条件：、正应力强度条件： zWMmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度

16、准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxMWz)( ;maxmaxMfPWMzmax435、进行弯曲强度计算的一般步骤为：、进行弯曲强度计算的一般步骤为： 根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力；根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力； 画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险截面；画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险截面； 根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确 定可能的危险点：对于拉、压强度相同的材料（如低碳钢定可能的危险点：对于拉、压强度相同的

17、材料（如低碳钢 等塑性材料），最大拉应力作用点与最大压应力作用点具等塑性材料），最大拉应力作用点与最大压应力作用点具 有相同的危险性，通常不加以区分；有相同的危险性，通常不加以区分； 应用强度条件进行强度计算：应用强度条件进行强度计算： 对于拉、压强度性能不同的材料（如铸铁等脆性材料）最大对于拉、压强度性能不同的材料（如铸铁等脆性材料）最大压应力作用点和最大压压应力作用点和最大压 应力作用点都有可能是危险点。应力作用点都有可能是危险点。44 对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件和可以改写为对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件和可以改写为 ttmax caxcm 拉伸许用应力拉伸许用应力

18、 压缩许用应力压缩许用应力 45解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例例3 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试校核梁的正应力强度。Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3m求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度22maxmaxmax18. 012. 0405066bhMWMz6.25MPa7MPa46y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例4 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763

19、cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm4kNmM47校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMMPa2 .2710763524813zBLAIyMMPa2 .4610763884824zByAIyMLL2 .28maxyy2 .46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm4kNmMy1y2GA3A448maxmaxzzM yImaxmaxzzM

20、yI 要特别关注弯矩最大横截面上的最大正应力 某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力，首先应该判断可能产生最大正应力的是那些截面，这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。 49 计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，还应注意以下几点是很重要的：计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，还应注意以下几点是很重要的： 关于正应力正负号关于正应力正负号： 决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先 确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位

21、置；然后根据所要求应力的 那一点的位置，来确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。 maxmaxzzM yImaxmaxzzMyI a a、如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一、如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。绝对值相等。 b、如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性、如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应

22、力与最大压应力绝对值轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计不相等，可由下列二式分别计算：算： 实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明“拉”或“压”。 501.FP加在辅助梁的什么位置，才能保证两 台吊车都不超载？ 2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 例例5 为了起吊重量为FP300 kN的大型设备，采用一台150 kN和一台200 kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统。如果已知辅助梁的长度l4 m，型钢材料的许用应力 160MPa。确定确定FP加在辅助梁的什么位置加在辅助梁的什

23、么位置 力FP加在辅助梁的不同位置上，两台吊车所承受的力是不相同的。将 FP 看作主动力，两台吊车所受的力为约束力，由平衡方程MA0和MB0，可以解出 ：51lxlFRlxFRBA)(,PP,kN200PlxFRA令：由此解出 ：m667. 2kN300m4kN2001x于是，得到FP加在辅助梁上作用点的范围为 ：m667. 2m2 xkN150)(PlxlFRBm2kN300m4kN150m42x52m667. 2m2 x确定辅助梁所需要的工字钢确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码型钢号码 这两种情形下，辅助梁都在FP作用点处弯矩最大，最大弯矩数值分别为： 当x=2 m时，辅助梁在B点受力为15

24、0 kN；当x=2.667 m时，辅助梁在A点受力为200 kN。 m266.6kN667. 2200maxlAMmkN3002150)(maxBM)()(maxmaxAMBM因此，应该以因此，应该以Mmax(B)作为强度计算的依据。作为强度计算的依据。 53由此，可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量：由此，可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量： MPa160maxmaxzWBM 3363maxcm10875. 110160MPa10mkN300BMWz 由热轧普通工字钢型钢表中查得50a和50b工字钢的Wz分别为1.860103 cm3和1.940103 cm3 。如果选择50a工字钢，它的弯曲

25、截面模量比所需要的大约小 工程设计中最大正应力可以允许超过许用应力工程设计中最大正应力可以允许超过许用应力5，所以选择，所以选择50a工字钢工字钢是可以的。但是，对于安全性要求很高的构件，最大正应力不允许超过许用是可以的。但是，对于安全性要求很高的构件，最大正应力不允许超过许用应力。这时就需要选择应力。这时就需要选择No.50b工字钢。工字钢。 （第二章所讲）（第二章所讲）%8 . 0100cm10875. 1cm10860. 1cm10875. 1333333547 73 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪

26、应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡0)(112dxbNNXdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图c55dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图czzAzAIMSAyIMANdd1zzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1由剪应力互等由剪应力互等zbIQSy1)()4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz565 . 123maxAQ)4(

27、222yhIQz矩Q 方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：zzbIQS1其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；572、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：maxmin; maxA Q f结论：结论： 翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且max min 故工字钢最大剪应

28、力Af 腹板的面积。; maxA Q f58 圆截面：3434maxAQ 薄壁圆环：22maxAQ槽钢：exyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上; 。合力为翼缘上HzIQA; 210)d(AxdAM力臂RHhe QeQeh597-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q M 一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件602 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件

29、：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲） zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： MQ 61校核强度：设计截面尺寸：设计载荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz 但是，对于细长梁，在一般受力情形下，剪应力远小于正应力，因而，剪应力对强度的影可以忽略不计。4 4、如需要校核剪应力的几种特殊情况：、如需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小

30、于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。62解：画内力图求危面内力例例3 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x63求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 1