2020新教材人教A版必修第二册第六章6.4课时作业11

1、课时作业 11 平面几何中的向量方法知识对点练ZHI SHI DUI DIAN LIAN知识点一平行、垂直的问题1已知点 A(2, 3), B(2,1), C(0,1),则下列结论正确的是()A . A, B, C 三点共线B. AB 丄 BCC. A, B, C 是锐角三角形的顶点D . A, B, C 是钝角三角形的顶点 答案 D解析 VBC= ( 2,0), AC= (2,4),BCAC= 4|AC|X|BC|证明 以点 D 为坐标原点，DC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴建立如 图所示的直角坐标系，设正方形的边长为 1，P(m, m),依题意，得E(1，m)，F(m，0)

2、，A(0,1),于是 AP= (m，m 1)， EF= (m 1， m)，则 AP EF = m(m 1) (m 1)m= 0，所以 APIEF，即 APIEF.知识点二 长度和夹角的问题6.在 ABC中， 已知顶点A(4,1)，是()B 号B(7,5)，C( 4,7)，则 BC 边的中线 AD 的长BE2DF答案 BC. 3 .5解析 BC 的中点为 D3，6，AD =55,5，7.如图，AB 是。O 的直径，点 P 是。O 上任一点（不与 A, B 重合），求证: /APB= 90用向量法证明）.证明 如图，连接 0P,设向量 0A= a a, 0P= b,b,贝 U0B= a a,且 F

3、A= 0A-0P = a a b b，PB = OB 0P= a a b.b.T TPA PB=b b2a a2=|bfbf|af=0,T TPA 丄 PB,即ZAPB = 90 .8.如图，在 ABC 中，/ BAC= 120 AB = AC = 3,点 D 在线段 BC 上，且1BD = 2DC.求：(1)AD 的长；(2)/ DAC 的大小.AD|=5Q2TT解(1)设 AB = a a, AC= b b,1 1贝UAD = AB+ BD = AB + BC= AB+(AC AB)TT2 12 1=3AB+gAC=3a a+3b b.T TADJ AD2=|a a+*b b2=fa a2

4、+2X2a a b b+9b b2421=9X9+2X9X3X3Xcos120+9X9=3.AD= p3.设 ZDAC =9,贝U B为向量 AD 与 AC 的夹角.T T2 AD AC.COS9=.=r cT T萌X3|AD|AC|fb b2+2a a b b fx9+2X3X3X3.3=3,3 = 90 :即 ZDAC = 90 :9.AABC 是等腰直角三角形，ZB = 90 D 是 BC 边的中点，BE 丄 AD,延 长BE 交 AC 于点 F，连接 DF.求证：ZADB =ZFDC.证明 如图所示，建立直角坐标系，设 A(2,0), C(0,2),则点 D(0,1).TT于是 AD

5、= ( 2,1)，AC = ( 2,2).设 F(x，y).3a+3b b12 一=0.由 BF 丄 AD，得 BF AD = 0,即(x,y) (2,1)=0,A-2x+y=0.T T又 F 点在 AC 上，则 FC /AC.T而 FC = ( x,2 y),因此，2x(x) (2)x(2 y)= 0,即 x + y = 2.由式解得 x= |, y= f,TT2 421F3, 3 , DF= 3, 3 , DC =(0,1),T T1故 DF DC = 3.T T TDC=|DF|DC|cos=f cos 9,T厂 /|BD| 1 V5又 cosZADB =T= 5= y,|AD|cosZ

6、ADB = cosZFDC，故ZADB=ZFDC.- 课时综合练 -IKE SHI 20 晶 HE UIANII一、选择题1若 a a= (1,2), b b= (x,1),且 a a+ 2b b 与 2a a b b 平行，则 x 等于()1 1A.2 B. 1C.2 D.3答案 C解析 4+ 2b b= (1 + 2x,4), 2a a b b= (2 x,3), a a+ 2b b 与 2a a b b 平行，二 8 4x13 6x= 0,解得 x= 2*T又 DFcosB=cosZFDC_55 ,2.在 ABC 中，AB= 3, AC 边上的中线 BD= , 5, AC AB= 5,贝

7、 U AC 的长 为（）T212AC AB + AB2，即 4AC2= 1,所以 |AC 匸 2,即卩 AC= 2.3.已知点 0ABC 外接圆的圆心，且 0A+ 0B+ C0= 0,则厶 ABC 的内角 A等于（)A. 30B.60C.90 D. 120答案ATTTTTTTTT解析由 0A+ 0B+ C0 = 0, 得 0A= 0C-0B,两边平方得 0A2= 0C2+ 0B：T TTTTTTTTT20C 0B，由于 |0A 匸 |0B| = |0C|,则 |0B|2= 2|0C| | OB|cos ,所以 cosT T1 10B, 0C= 2,贝 U/B0C = 60 所以ZA= 2，B0

8、C = 30 故选 A.4.如图，在四边形 ABCD 中，/ B= 120, / C= 150,且 AB= 3, BC= 1, CD =2,则 AD 的长所在区间为()A. (2,3)B.(3,4)C. (4,5)D. (5,6)答案 CA. 1B. 2 C.3 D. 4答案BTTT解析因为 BD = ADABTTTT TT=1AC AB，所以 BD2=fffff ff f解析 AD = AB+ BC+ CD,其中 AB 与 BC 的夹角为 60 ,BC 与 CD 的夹角为 30,ffffffff ff fAB 与 CD 的夹角为 90；则 AD|2= (AB+ BC+ CD)2= AB|2+

9、 |BC|2+ |CD|2+ 2AB BC+ 2BC CD + 2ABCD=9+1+4+2X3X1X1+2X1X2X#+0=17+2 3f(16,25)，所以 |AD| (4,5) 故选 C.5.在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点,2 2P! + |PB| /=()则2则PCI2A. 2答案解析将ABC 各边及 PA, PB, PC 均用向量表示,f f2 2 2 2|PA| + |PB| FA + PB则2|PC|f2PC2f f2PC+CAf f2+PC+CBf2PC2f22|PC|2+2PCCA+CB+ABf2|PC|f=哼-6 = 42

10、-6= 10.|PC|2二、填空题6.已知向量 a a= (6,2), b b= 4, ?，直线 I 过点 A(3， 1)且与向量 a a+ 2b b 垂直，则直线 I 的方程为_ .答案 2x 3y 9= 0解析 a a+ 2b b= (6,2) + 2 4,舟=(2,3).设 P(x, y)为所求直线 I 上任意一点，贝 UAP= (x-3, y+ 1).vAP (a a+2b b)=0,A-2(x-3)+3(y+1)=0,整理得 2x- 3y- 9= 0.2x- 3y- 9= 0 即为所求直线方程. 1 27.已知 PABC 所在平面内一点，且满足 AP=gAC+gAB,则厶 APB 的

11、面积与 APC 的面积之比为_ .答案 1 : 2 解析 由题意，得 5AP= AC+ 2AB,得 2AP- 2AB= AC- AP-2AP,得2(PA + PB)= PC,如图所示，以 FA, PB 为邻边作？FAEB, 则 C, P, E 三点共线，连接 PE 交 AB 于点 0,则 PC = 2EP= 4OP.SPB2SZAPO2|0P| 1 所以 =|PC|=2.SZAPCSZAPC1 C|8.如图所示，已知 0 为坐标原点，点 A(3,0), B(4,4), C(2,1),贝 U AC 和 OB 的交点 P 的坐标为_ .解析 设 0P = tOB = t(4,4)= (4t,4t)

12、，则 AP= OP 0A= (4t 3,4t), AC= (2,1) (3,0) = ( 1,1).由 AP, AC 共线，得(4t 3)X1 4tX( 1) = 0,3 解得 t=8.QP= (4t,4t)=舟,2，二点 P 的坐标为 i|, 2 .三、解答题9如图，已知三个点解 证明：2(2,1), B(3,2), D( 1,4),AB= (1,1), AD = ( 3,3).答案3 3一 一2，2A(2,1), B(3,2), D( 1,4).(1)求证：AB 丄 AD;(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 两条对角线 所夹的锐角的余弦值.AB AD=

13、1X(3)+1X3=0,AB 丄 AD，二 AB 丄 AD.T TT T(2)TAB 丄 AD,四边形 ABCD 为矩形，AB= DC.T设点 C 的坐标为(x, y),则 DC = (x+ 1, y4).Tx+1 = 1,x= 0,又 VAB= (1,1),解得y 4= 1,y= 5.T点 C 的坐标为(0,5).AC= ( 2,4).T又 BD = ( 4,2),TTT TAC| = /5, |BD| = 2 苗，AC BD = 8+ 8= 16.T T设 AC 与 BD 的夹角为 9,贝 UT TAC BD 164COS0= =25X2：5=5.|AC|BD|故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为10.如图所示，正三角形 ABC 中，D , E 分别是 AB, BC 上的一个三等分点, 且分别靠近点 A、点 B, AE, CD 交于点 P.求证：BP 丄 DC.TT证明 设 PD = 2CD,并设ABC 的边长为 a,T T T则 PA= PD+ DAX于是有 彳1IA3k.T TT TBP