九年级数学四点共圆例题讲解

1、九年级数学四点共圆例题讲解知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强， 题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D 四个点到定点 0 的距离相等，即 OA=OB=OC=0D，那么 A、B、C、D 四点共圆.由此，我们立即可以得出1如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。将上述

2、判定推广到一般情况，得：2如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。3如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。4如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。其实，在与圆有关的定理中， 一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法.这就是：AB 和 CD 相交于 E,且 AE EB=CE ED，贝 U A、B、C、D 四点共圆。P 的两线段 PB、PD 上各有一点 A、C,且 PA PB =PC PD，贝 U A、B

3、、C、D 四点共圆。3托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD 中，AB CD + BC DA=AC BD，贝 U ABCD 是圆内接四边形。另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上, 或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。例题精讲例 1:如图，P ABC 内一点，D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上。已知 P、D、C、E 四点共圆，P、E、A、F 四点共圆，求证：B、D、P、F 四点共圆。证明连 PD、PE、PF.由于 P、D、C、F 四点共圆，所以/ BDP =/ PEC .又由于 A、E、P、F 四点共圆，所以/ P

4、EC = / AFP .于是/ BDP = / AFP，故 B、D、P、F 四点共圆。例 2:设凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直，垂足为 E,证明：点 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点共 圆。1相交弦定理的逆定理：若两线段2.割线定理的逆定理：若相交于点A1证明以 E 为相似中心作相似变换，相似比为丄，此变换把 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点变为 E 在 AB、BC、2CD、DA 上的射影 P、Q、R、S （如图）只需证明 PQRS 是圆内接四边形。由于四边形 ESAP、EPBQ、EQCR 及 ERDS 都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），

5、由E、P、B、Q 共圆有/ EPQ =/ EBQ由 E、Q、C、R 共圆有/ ERQ= / ECQ，于是/ EPQ +ZERQ = / EBQ +ZECQ=90 同理可得/ EPS+ZERS =90。从而有/ SPQ+ZQRS =180。，故 PQRS 是圆内接四边形。例 3:梯形 ABCD 的两条对角线相交于点 K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K 位于这两个圆之外，证明:由点 K 向这两个圆所作的切线长度相等。证明 如图，设梯形 ABCD 的两腰为 AB 和 CD，并设 AC、BD 与相应二圆的第二个交点分别为M、N.由于/ AMB、/ CND 是半圆上的圆周角，所以/ AM B =Z

6、CND = 90 .从而/ BMC =ZBNC=90。，故 B、M、N、C 四点共圆， 因此/ MNK=/ ACB .又/ ACB = / KAD ,所以/ MNK = / KAD .于是 M、N、D、A四点共圆，因此 KM -KA = KNKD. 由切割线定理得 K向两已知圆所引的切线相等。例 4:如图，A、B 为半圆 0 上的任意两点， AC、BD 垂直于直径 EF , BH 丄 0A,求证：DH=AC.证法一 在 BD 上取一点 A，使 AD = AC,贝 U ACDA是矩形。连结 AH、AB、OB.由于 BD 丄 EF、BH 丄 OA，所以/ BDO = /BHO=90 .于是 D、B

7、,H、O 四点共圆，所以/ HOB =ZHDB .由于/ AHB = /AAB = 90,所以 A、H、A、B 四点共圆。故/ DAH =ZOAB，因此/ DHA= / OBA.而 OA = OB，所以/ OBA= / OAB，于是/ DHA =ZDAH.所以 DH = DA，故 DH = AC.证法二 设圆 O为点 D、B、H、O 四点所共的圆，过 H 作 HG 丄 DH，与圆 O交于 G（如图），则/ AOC =ZHBD = / DGH ,GD = OB = OA.因此 Rt OAC 也 Rt GDH，故 DH = AC.证法三 因为 D、B、H、O 四点共圆，且直径为 OB .而 Rt

8、AOC 的斜边为 OA，利用正弦定义及正弦定理，例 5:如图，已知锐角三角形 ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高线 CC及其延长线交于 M、N，以 AC 为直径的 圆与 AC 边的高线 BB及其延长线交于 P、Q,求证：M、N、P、Q 四点共圆。证明 设 BC 上的高为 AA, ABC 的垂心为 H,贝UA在以 AB 为直径的圆上，从而 AHXHA=MHXHN.同理 AHXHA= PHXHQ.于是 MHXHN= PHXHQ，故 M、N、P、Q 四点共圆。说明 另证：在 RtAABM 和 Rt ACP 中，AM =AC -AB, AP = AB -AC.又厶 ABBACC，有 AC -

9、AB =AB -AC .于是 AM2= AP2，即 AM =AP .但 M、N 关于 AB 对称，P、Q 关于 AC 对称，故 AM=AN , AP=AQ .因此 M、N、P、Q 在以A 为圆心的圆上。得OAACsin AOC,OB.由于 OA =OB,ZAOC =ZDBH，所以 DH = AC.sinDBHECO D也可由 MHXHN = BHXHB=CHXHC = PHXHQ 推出 M、N、P、Q 四点共圆。 例 6:如图，ABCD 是圆内接四边形，AD、BC 的延长线交于 P, PAB 与厶 PCD 的外心、垂心分别是O1、02和H1、H2，求证：O1、O2、H1、H2四点共圆。证明 因

10、为 出是 PAB 的垂心，所以HfB+ZABP =90 .又因为02是 PCD 的外心，所以11O2PCCDP90 .而CDPCO2P，所以O2PCCDP=90.因为 A、B、C、D 四点共圆，22所以ZCDP =ZABP,所以HiPBO2PC，所以H2、Oi、P 三点共线同理可证H?、O?、P 三点共线。显PHPO然厶 PABPCD，因此11，即PH1gPO2PH2gPO1，故01、02、H1、H2四点共圆。PH2PO2例 7:两个等圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一条直线上的四个点，试证：这四个点 必在同一个圆周上。证明 如图，设过两圆的对称中心 O 的二条射线为A1

11、B1、A,B2,A1、A位于第一个圆周上，而B2位于第二个圆周上。设点A3、B3和B4分别是点B2、A和A2关于点 O 的对称点，根据相交弦定理有B3OOB1=B2OOB4.因为B3O=OA1,OB4=OA2，从而0A1OB1=OB2OA2，故A1B、A、B2四点必在同一个圆周上。例&如图，AB 为定OO 中的定弦，作OO 的弦C1D1、C2D2、C2000D2000，对其中每一 i (i = 1, 2,，2000)CiDi都被弦 AB 平分于M：点，过 G、D 分别作OO 的切线，两 切线交于P，求证：R、P2丄、P2000必在同一个圆周上，并指出圆心是什么点。证明 连结OCi、ODi对每一个 i（i = 1 ,2，2000），因为CiDi均被 A