2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十二平面与平面垂直一61

1、-1 -课时素养评价三十二平面与平面垂直（一）基咄练（25 分钟 50 分）一、选择题（每小题 4 分，共 16 分，多项选择题全选对的得4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）1. 已知直线 m n 和平面a,3，则下列结论中正确的是（）1若 mL n, m?a, n?3,贝U a丄3；2若mil n,n 丄3 ,m?a ,贝UaL3；3若mL n, a A 3=m n?a ,贝U aL3 ；4若mL a ,n 丄3 , mLn,贝Ua L3.A.B.C.D.【解析】选 B.错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无

2、数条直线与两平面的交线垂直2. 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PAL 平面 ABC / BAC=90，则二面角 B-PA-C 的大小为A.30 B.45 C.60 D.90【解析】 选 B.因为 AB 丄 BC AB 丄 BG,所以/ CiBC 为二面角 G-AB-C 的平面角，大小为 45A.90B.60C.45【解3.如图,选 A.由题意，/ BAC 即为二面角在正方体 ABCD-ABiCD 中，截面B-AP-C 的平面角.CDAB 与底面 ABCD 所成二面角 C-AB-C 的大小为D.30-2 -4.（多选题）如图所示，AB 为圆 0 的直径，点 C 在圆周上（异于点 A, B）

3、，直线 PA 垂直于圆 0 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点，以下四个命题正确的是（）A. PA /平面 MOBB. M0/平面 PACC. OC 丄平面 PACD. 平面 PAC 丄平面 PBC【解析】选 BD.因为 PA?平面 MOB 故 A 错误；因为 0”是厶 PAB 的中位线，所以 OM/ PA又 Ol?平面 PAC PA?平面 PAC所以 OIW平面 PAC 故 B 正确；因为 AB 是直径，所以 BC 丄 AC,又因为 PA 丄平面 ABC BC?平面 ABC所以 PAL BC,又 PAAAC=A所以 BCL平面 PAC 故 C 错误；又 BC?平面 PBC所以平面 PA

4、CL平面 PBC 故 D 正确.二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）5. 从空间一点 P 向二面角a-l-3的两个面a,3分别作垂线 PE, PF, E , F 为垂足,若/EPF=60 ,则二面角a-l-3的平面角的大小是 _ .【解析】若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为120;若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60.答案：60或 1206. 四面体 PABC 中 , PA=PB=PC 底面 ABC 为等腰直角三角形， AC=BC O 为 AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面 _.（只填序号）平面 PAB平面 ABC平面 PAC平面 PBC；平面 POC.13-

5、3 -【解析】因为四面体 PABC 中, PA=PB=PC底面 ABC 为等腰直角三角形， AC=BC 0 为 AB 中点，所以 CQL AB, PdL ABCO PQ=Q所以 AB 丄平面 PQC 因为 AB?平面 ABC AB?平面 PAB所以平面 PQCL 平面 ABC 平面 PABL 平面 PQC所以两个相互垂直的平面为或答案：或三、解答题（共 26 分）7.（12 分）如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=2，AB=4, E 为 AB 的中点. 求证：平面 DDE丄平面 CDE.【证明】在矩形 ABCD 中 , E 为 AB 的中点,因为 CD=4 所以 CE 丄 DE

6、因为 DD 丄平面 ABCD 所以 DD 丄 CE 因为 D DE=D 所以 CE 丄平面 DiDE 又 CE?平面 CED, 所以平面DDE 丄平面 CDE.8.（14 分）（2019 通州高一检测）如图，在四棱锥 P-ABCD 中 , AB/ CD AP=AD E 是棱 PD 的中点，且 AE 丄 AB.求证：平面 ABE!平面 PCD.【证明】因为 AP=AD E 是棱 PD 的中点，所以 AE! PD,因为 AB/ CD AE AB,所以 AE! CD 因为 PDACD=D-4 -所以 AE!平面 PDC 因为 AE?平面 ABE所以平面 ABEL 平面 PCD.能力练（15 分钟 3

7、0 分）1.（4 分）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中 , PAL 底面 ABCD 且底面 ABCD 为菱形，M 是 PC 上的 一个动点，若要使得平面 MB!平面 PCD 则应补充的一个条件可以是（）A.MD 丄 MBB.MD 丄 PCC.AB 丄 ADD.M 是棱 PC 的中点【解析】选 B.连接 AC.因为在四棱锥 P-ABCD 中，PA!底面 ABCD 且底面各边都相等，M 是 PC上的一动点， 所以 BD 丄 PA BD 丄 AC 因为 PAAAC=A 所以 BD!平面 PAC 所以 BDLPC.所以 当 DML PC（或 BML PC）时，即有 PC 丄平面 MBD 而 PC

8、属于平面 PCD 所以平面 MBDL 平面 PCD.2.（4 分） （多选题）已知三棱锥 A-BCD 中， BCD 是边长为 2 的等边三角形，AB=AD AB 丄 AD, E、F、G 分别是所在棱的中点，如图，二面角A-BD-C 为直二面角.则下列结论正确的是（ ）A. BD 丄 ACB. EG=C. 二面角 E-FG-C 的度数为 150西2D. B 到平面 ACD 的距离为【解析】选 ABC 取 BD 的中点 0,连接 AO CO 取 AD 的中点 H,连接 EH, GH 设 OAQEH=M-5 -CO FG=N 依题意，得 AB=AD= 一 , BD 丄 AQ BD 丄 CQA所以 B

9、DL 平面 AOC 从而 BD 丄 AC,故 A 正确.易知/ AOC=90 是直二面角 A-BD-C 的平面角，且 AO=1 CO=,得 AC=2.易知 EFGH 为正方形，EF=1 ,故 EG=-,故 B 正确.显然/ ONM 是二面角 E-FG-B 的平面角，12在厶 ONM 中,/ MON=90 , OM= , MN=1 故/ ONM=30 ,所以二面角 E-FG-C 的度数为 150 ,故 C 正确.2设 B 到平面 ACD 的距离为 h,可求得 ACD 底边 AD 上的高 hi=.1 1严1 “2V2T3 223兀7由 VB-AC=VVBCD得 X 1XIX h=X X4X1 ,解

10、得 h=,故 D 不正确.3.（4 分）在正方体 ABCD-ABCD1中，E 是 CC 的中点，则平面 EBD 与平面 AACiC 的位置关系是_ .【解析】如图，在正方体 ABCD-ABQD 中，-6 -因为 CG 丄平面 ABCD 所以 CC 丄 BD.又 ACL BD, CGQAC=C 所以 BD 丄平面 AACC.又 BD?平 面 EBD所以平面 EBDL平面 AACC.答案：垂直4._ （4 分）正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是 _匚|【解析】如图所示，设正四面体 ABCD 的棱长为 1,顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 Q-7 -(1) 求证：EF/平面 ABCD.若

11、 CF 丄 AE, AB! AE,求证：平面 ABFEL 平面 CDEF.【证明】因为在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB/ CD,因为 AB?平面 CDEF CD?平面 CDEF所以 AB/平面 CDEF 所以 AB 和 EF 平行或异面，因为 EF, AB 共面于平面 ABFE 所以 AB/ EF,因为 EF?平面 ABCD AB?平面 ABCD所以 EF/平面 ABCD.(2) 因为 CF 丄 AE, AB 丄 AE, AB/ CD所以 AE! CD 因为 CFACD=C连接 DO 并延长交 BC 于点 E，连接 AE则 E 为 BC 的中点，故 AEL

12、BC, DEI BC,所以/ AEO 为侧面 ABC 与底面 BCD 所成二面角的平面角护11护 222哥_5 Z-在 Rt AEO 中 AE=,EO= ED= =,所以1E0 1cos / AEO0J答案:5.（14 分）（2019 海安高一检测）如图所示，在五面体ABCDE 中 ,四边形 ABCD 是平行四边形B-8 -所以 AE!平面 CDEF 因为 AE?平面 ABFE所以平面 ABFEL 平面 CDEF.【加练固】(2019 汉中高一检测)如图，多面体 ABCDEF 中 ,平面 ABCE 为正方形，152AD 丄 DE AB=2, AE=3, ED=EC= , EF/ DB 且 EF

13、 DB.(1)求证：平面 ABCD_平面 EDC.求四棱锥 C-BDEF 的体积.【解析】因为平面 ABCD 为正方形, 所以 ADL DC 又 AD 丄 DE 且 DEADC=D所以 ADL 平面 EDC 又 AD?平面 ABCD 所以平面 ABCD_平面 EDC.连接 BE,取 CD 的中点 0,连接 EQ 由 ED=EC=,得 EOL DC 由(1)可知，ECL平面 ABCD 因为 CD=2 所以 E0=211 143 433 232 3所以 VE-BC= SA BCD-E0=X2X2X2=，所以 VC-BDEF=I* =2.培优练-9 -1.如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的

14、正方形，MDL平面 ABCD NB 丄平面 ABCD 且 MD=NB=1E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是()A. 平面 BCEL 平面 ABNB. MCLANC. 平面 CMNL 平面 AMND. 平面 BDE/平面 AMN【解析】选 C.分别过 A, C 作平面 ABCD 勺垂线 AP, CQ 使得 AP=CQ=1连接 PM PN QM QN 将几何体补成棱长为 1 的正方体因为 BC!平面 ABN BC?平面 BCE所以平面 BCEL 平面 ABN 故 A 正确；连接 PB 贝 U PB/ MC 显然 PB 丄 AN所以 MCL AN 故 B 正确；取 MN 的中点 F,连接 A

15、F, CF, AC.因为 AMNACMN 都是边长为 I的等边三角形，所以 AFLMN CFLMN,所以/ AFC 为二面角 A-MN-C 的平面角，2辽因为 AF=CF= , AC=,-10 -Ity所以 AF+CfF 工 AC ,即/ AFgi,所以平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误；因为 DE/ AN, MIN/ BD,所以平面 BDE/平面 AMN 故 D 正确2.(2019 海淀高一检测)如图，四棱锥 P-ABCD 中 , PA!平面 ABCD / ABC=/ BAD=90 ,AD=2PA=2AB=2BC=2.求证：平面 PCDL 平面 PCA.PE(2)在线段 PC

16、 上是否存在点 E,使得平面 AEDL 平面 PCD 若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.-11 -【解析】 因为 PU 平面 ABCD 所以 PA AB 因为 AD=2PA=2AB=2BC=2所以 PA=AB=BC=1 / ABC 玄 BAD=907由勾股定理易得：PB=CD=AC= .又因为在厶 ACD 中，由勾股定理逆定理得 CD 丄 AC,又 PA 丄平面 ABCD CD?平面 ABCD所以 CDL PA 因为 PAAAC=A 所以 CDL 平面 PAC 又因为 CD?平面 PCD 所以平面 面 PBC.即平面 PCDL 平面 PCA.在线段 PC 上存在点 E.假设存在点 E,

17、由(1)可知：平面 PCDL 平面 PCA 过点 A 作 AE 丄 PC 交 PC 于 E,连接/33则 AE 丄平面 PCD 在 Rt PAC 中由勾股定理得：PC= ,所以 AE=在 Rt PAC 中，PALAC, AELPC,22洱PE133cEC 2可得 PE= ; EC=.所以=PE1故线段 PD 上存在点E,EC几=时，PCDL 平ED-12 -使得平面 AEDL 平面 PCD.【加练固】如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-ABC 中，AB=BB, AC 丄平面 ABD, D 为 AC的中点(1)求证：BC/平面 AiBD.求证：BC 丄平面 ABBA.设 E 是 CC 上一点，试确定 E 的位置使平面 AiBDL 平面 BDE 并说明理由.【解析】连接 AB,与 AiB 相交于 M 则 M 为 AiB 的中点，连接 MD.因为 D 为 AC 的中点，所以 BiC/ MD.又 BiC?平面 ABD, MD 平面 ABD所以 BiC/平面 ABD.因为 AB=BB,