2020年新高考数学二轮复习练习：第2讲集合、不等式、常用逻辑用语

1、第 2 讲集合、不等式、常用逻辑用语研考点考向破重点睢点集合考法全练1. (2019 高考天津卷)设集合 A= 1 , 1, 2, 3, 5, B= 2 , 3, 4, C = x R|1 x3, 则(AnC)UB =()A . 2B. 2 , 3C. 1, 2, 3D. 1 , 2, 3, 4解析：选 D.因为 AnC = 1 , 1, 2, 3, 5nx R|1 x0 = ( 1, 1) , B = y|y0,所以？uB = y|y 0,所以 An(?UB)=(1 , 0,故选 D.3.(多选)若集合 A= x|x(x 2)W0,且 AUB= A,则集合 B 可能是()A . 1B . 0

2、C. 1D. 2解析：选 BCD.因为 A = x|x(x 2)W0，所以 A= 0 , 2.因为 AUB = A ,所以 B? A.由选项知有0 ? A, 1 ? A , 2 ? A.故选 BCD.4.(一题多解)已知集合 A= (x , y)|x2+ y2w3 , x Z , y Z,则 A 中元素的个数为()A . 9B. 8C. 5D. 4解析：选 A.法一：由 x2+ y2w3 知，一 3WxW3, .3WyW3,又 x Z, y Z ,所 以x 1, 0, 1 , y 1 , 0 , 1,所以 A 中元素的个数为C3C!= 9 ,故选 A.法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在

3、坐标系中作出图形 ，如图，易知在圆 x2+ y2= 3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.5 .已知集合 M =x|y= lg(2 x) , N = y|y= 1 x+ x 1，则()A. M? NB. N? MC. M = ND. N M解析：选 B.因为集合 M = x|y= lg(2 x) = (, 2), N = y|y=-1 x+- x 1 = 0, 所以 N?M.故选 B.6.(一题多解)(2019 安徽省考试试题)已知集合 A = x|x a 1 ,故选 B.法二：集合 A = x|xwa, B= 1 , 2, 3, a 的值大于 3 时，满足 AnBM?,因

4、此排除 A ,C.当 a = 1 时，满足 AnBM?,排除 D.故选 B.集合问题的求解策略(1) 连续数集借助数轴，不连续数集借助 Venn 图.(2) 图形或图象问题用数形结合法.(3) 新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算.提醒解决集合问题要注意以下几点.(1)集合元素的互异性.(2)不能忽略空集.注意端点的取值，如题 3 中，An（?uB）中含有元素 0.理解代表元素的意义，如题 4 为点集，其他各题均为数集.不等式的性质及解法考法全练1. （2019 陕西华阴期末）若不等式 x2+ x + m2 0 的解集不是空集，则实数 m 的取值范围 为（）A1 nB （-1 nA. I，2

5、 丿B. I2,2 丿一1 11 1C.2, dD. 2，解析：选 B.因为不等式 x2+ x+ m20,即 1 4m20,所以1 1 m故选 B.2.（多选）若 0 a c 1,则（）ba彳A. 1mc a c B. .b a bC. ca1 ba1D. logcac 1,所以 b 1.因为 0 a j= 1,故正确.对c a c于 B，若，则 be ab be ac,即 a（c b） 0,这与 0 a c 1 矛盾，故错误对 b ab于 C,因为 0 a 1,所以 a 1 c 1,所以 ca1 ba1,故错误对于 D,因为 0 ac 1,所以 logca b,则（）a bA . In（a

6、b） 0B. 3 0D. |a| |b|解析：选 C.法一：不妨设 a = 1, b= 2,贝 U a b,可验证 A , B , D 错误，只有 C 正确.法二：由 a b,得 a b0,但 a b 1 不一定成立，贝 U ln（a b） 0 不一定成立，故 A不一定成立.因为 y= 3x在 R 上是增函数，当 a b 时，3a 3b,故 B 不成立.因为 y= x3在 R 上是增函数，当 a b 时，a3 b3,即 a3 b30,故 C 成立.因为当 a= 3, b= 6 时，a b,但|a|v|b|,所以 D 不一定成立.故选 C.4.设x表示不超过 x 的最大整数(例如:5.5 = 5

7、, 5.5 = 6)，则不等式xf-5x + 60 的解集为()A . (2, 3)B . 2 , 4)C.2, 3D. (2, 3解析：选 B.不等式X2 5x + 6W0 可化为(x 2) (x 3) 0,解得 2 x 3,即不等式x2 5x + 6 0 的解集为 2Wx 3根据x表示不超过 x 的最大整数，得不等式的解集为2 a 0, mv0,贝Umbma,b m a m-；(用，V填空).a解析：因为 b a 0, mv0,所以 b a 0,所以mb ma= m(b a)v0, 所以 mbvma.b m b a (b m) b (a m) m ( b a) a maa (a m)v0,

8、所以va.a (a m)a ma答案：v v2x,xw1,6.已知函数f(x)=ln (x 1),若不等式 f(x)w5 mx 恒成立，则实数 m 的取1vxw2,值范围是解析:作出函数 f(x)的大致图象如图所示(1) 一元二次不等式的解法A. 2B. 42 2先化为一般形式 ax + bx+ c 0(a 0),再求相应一元二次方程ax + bx+ c= 0(a 0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.(2)简单分式不等式的解法f( x)10(v0)? f(x)g(x)0(v0).f (x)2 0(W0)? f(x)g(x) 0(w0)且 g(x)工

9、0.g (x)(3)不等式恒成立问题的解题方法1f(x) a 对一切 x I 恒成立？f(x)min a ；f(x)va 对一切 x I 恒成立？f(x)maxg(x)对一切 x I 恒成立？f(x)的图象在 g(x)的图象的上方.3解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等.基本不等式及其应用考法全练1.(多选)下列不等式的证明过程错误的是()B. 若 av0，贝 U a+42a =- 4a aC. 若 a,b(0,+s)，贝Ulg a+lg b2lg a-lg b

10、D. 若 a R，则 2a+ 2-a2 . 2a- 2-a= 2解析：选 ABC.由于 a, b 的符号不确定，故选项 A 错误；因为 av0,所以 a+4=-a故选项 C 错误；因为 2a 0, 2-a 0,所以 2a+ 2-a2-2a2-a= 2,故选项 D 正确.故选 ABC.2.(一题多g (x)右 a,lg a, lg b 的符号不确定，(-a)A. 2B. 4解)(2019 长沙模拟)若 a 0, b 0, a + b = ab,则 a+ b 的最小值为()C. 6D. 8当 a = b= 2 时取等号，故选 B.法二：由题意，得 a +1= 1,所以 a + b= (a+ b)

11、+ * = 2 + b +2+ 2 = 4,当且仅当 a=b= 2 时取等号，故选 B.法三：由题意知 a= L(b 1),所以 a+ b = + b = 2+ b 1 + 匚2 + 2 = 4,当且b 1b1b1仅当 a = b = 2 时取等号，故选 B.1 13.已知向量 a= (x 1, 3), b= (1, y),其中 x, y 都为正实数.若 a 丄 b,则+的最小值为()A . 2B. 2 2C. 4D. 2 .31 解析：选 C.因为 a 丄 b,所以 a b= x 1 + 3y= 0,即 x+ 3y = 1.又 x, y 为正实数,所以- + x3；=(x+ 3y)；+ =

12、2+3y+打2+2投4,当且仅当x= 3y=壬时取等号.所以*士的最小值为 4.故选 C.(x+1)(2y+1)4 .(2019 咼考天津卷)设 x0,y 0,x+ 2y= 5,则- 的最小值为 _.Vxy解析：因为 x0, y0,所以，xy0.2xy+ 6一 6=2 xy +212 =* xy. xy答案：4,35.(2019洛阳模拟)已知 x0,y0,且 1+ y = 1,则 xy+ x+ y 的最小值为.1 22、4 .3.常用逻辑用语解析：选 B.法,(a+ b)由于 a + b= ab0，B0)，g(x)恒正或恒负的形g (x)式，然后运用基本不等式来求最值.(4) T 的代换:先把

13、已知条件中的等式变形为1”的表达式，再把 T 的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值.提醒基本不等式 a+ b2.ab 成立的条件是 a 0，b0，而不等式 a2+ b22ab 对 任意实数 a，b 都成立，因此在使用时要注意其前提条件.(2) 对多次使用基本不等式时，需考虑等号是不是能同时成立.=7+6x+2y,且 x0, y 0,所以 3x+ 2y 7 +4 3,所以 xy+ x+ y 的最小值为 7 + 4 3 y xv*答案：7 + 4 3416.已知 ab0,贝 U a + +-的最小值为 _ ，此时 a =_ .a+ b a b解析：因为 a

14、b 0 ,所以 a +丄+丄=1a + b a b2 0)的不等式，不能简单地利用 x +a2 帝，而是要根据 x 的取值范围xx判断能否取到最小值 2,a，若不能，需要利用函数的单调性求其最小值.考点4考法全练1.（2019 沈阳市质量监测（一）设命题 p： ? x R , x2 x+ 10，则綈 p 为（）2 2A . ? x R , x x+ 10B . ? x R, x x+ 1 0C.? xR,x2x+1W0D.? xR,x2x+10 ,全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定綈 p 为？x R , x2 x+ 1W0.2 . （2019 广州市调研测

15、试）下列命题中，为真命题的是（）A . ? x R, ex0 x2aC. a + b= 0 的充要条件是 b=1D .若 x, y R，且 x + y2，则 x, y 中至少有一个大于 1解析：选 D.因为 ex0 恒成立，所以选项 A 错误.取 x= 2，则 2x= x2,所以选项 B 错误.当aaaa+ b = 0 时，若 b = 0,贝Ua = 0,此时无意义，所以也不可能推出 = 1；当？=一 1 时，变 a形得 a = b，所以 a + b= 0，故 a + b= 0 的充分不必要条件是 = 1,故选项 C 错误假设 x2 矛盾，所以假设错误，所以 x, y 中至少有一个大 于 1,

16、故选项 D 正确.综上，选 D.3.（2019 高考浙江卷）若 a0, b0，则“ a+ bw4”是“ abw4”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A.因为 a0, b0,若 a + bw4,所以 2 abw2 + bw4.所以 abw4,此时充分性成立.当 a0, b0, abw4 时，令 a= 4, b = 1,贝Ua+ b = 54. 这与 a+ bw4 矛盾，因此必要性不成立.综上所述,当 a0, b0 时，a + bw4”是“ abw4”的充分不必要条件.故选 A.4.（2019 高考天津卷）设 x R，则“ x2 5x

17、0”是“ |x 1|1 ”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 B.由 “x2 5x0” 可得 0 x5”；由 “|x 1|1” 可得 0 x2”.由 0 x5”不能推出 0 x2”，但由 0 x2可以推出 0 x5”，所以“x2 5x0”是“|x 1| 0,递减”的充分不必要条件，故 A 正确；“3vmv0”是“函数 f(x)在(汽 1上单调递减” 的充要条件，故 B不正确； “4vmv0”是“函数 f(x)在(1 上单调递减”的必要不充 分条件， 故 C不正确； “3vmv1”是“函数 f(x)在(, 1上单调递减”的充分不必要

18、 条件，故 AD 正确.6 .设条件 p :|x|wm(m 0) ,q: 1 x 0)得：一 mWx m,m一 1由 p 是 q 的充分条件？? 0vmW1,.mW4所以 m 的最大值为 1,mW 1由 p 是 q 的必要条件？4,4所以 m 的最小值为 4.答案：14(1)充分条件与必要条件的三种判定方法定义法正、反方向推理，若 p? q,则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 p? q,且 q?/ p,则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)集合法利用集合间的包含关系，例如 p: A, q： B,若 A? B,则 p 是 q 的充分条件(q

19、是 p 的必要条件)；若 A = B,则 p 是 q 的充要条件等价法将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题(2)全称命题与特称命题真假的判定方法全称命题：要判定一个全称命题是真命题 ,必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.特称命题：要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合 M 中至少能找到一个元素xo,使得 p(xo)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.提醒求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：(1) “ A 是 B 的充分条件”与“A 的充分条件是 B”是不同的概念.命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非 p”

20、，只是否定命题 p 的结论.(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词.练典型习题:提数学素养一、选择题1 . (2019 高考全国卷II)设集合 A =x|x2 5x+ 60 , B=x|x 10nx|x 10 = x|x3nx|x1 = xx0, In x 1 一”的否定是()x1A.? xw0,In x01_xo1B.? x0 0, ln x0, In X。1X0丄D.? xoO, In xo0, ln x1?xo0，ln x00 b,所以-0-,所以1二一定成立，故选 C.aba b6. (2019 高考北京卷)设函数 f(x) = cos x+ bsin x(b 为常数)，则b

21、 = 0”是f(x)为偶函数” 的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 C.因为 f(x)= cos x+ bsin x 为偶函数，所以对任意的 x R 都有 f( x) = f(x),即 cos( x) + bsin( x)= cos x+ bsin x,1 1-丄丄”的否定是x3.(2019沈阳市质量监测(一)已知全集 U = 1 , 3, 5, 7,A= 1 , 3,B = 3 , 5，则如图所示阴影区域表示的集合为(A.3B. 7C. 3 ,7D. 1 , 3, 5合解析：选 B.由图可知，阴影区域为？u(AUB),由并集的

22、概念知=1 , 3 , 5 , 7,于是?u(AUB) = 7,故选 B.4.(2019 西钦州期末)已知 a , b R, a2+ b2= 15- ab ,则 ab 的最大值是()A. 15B. 12C. 5D. 3解析：选 C.因为 a2+ b2= 15-ab2ab,所以 3ab 0 b,则下列不等式一定成立的是()2A . a 0 b ,此时 a2= ab, |a|=|b|,殳0b，所以ba0,ab1”是“ a 2 且 y2”是“ x2+ y2 4”的必要不充分条件D .设 a, b R，则“ aM0”是“ abM0”的必要不充分条件11解析：选 C.若-1 或 a1 是“- 2 且 y

23、2 时，x2+ y2 4,当 x2+ y24 时却不一定有 x 2 且 y2,如 x= 5, y= 0,因此“X2 且 y2”是“x2+ y24”的充分不必要条件，故 C 错误； 因为“ab= 0”,AUB = 1 , 3, 5,又 UB. |a 0 时，x2+ 2ax+ 10? 2ax一(x2+ 1)? 2a一x +,又一x+? 2,当且仅 当 x = 1 时，取等号，所以 2a一 2? a一 1，所以实数 a 的取值范围为1,+g).法二：设 f(x) = x2+ 2ax+ 1,函数图象的对称轴为直线x= a,当一 a0,所以当 x 0 ,+g)时，f(x)0 恒成立；2 2 2当一 a

24、0,即 av0 时，要使 f(x)0 在0,+g)上恒成立，需 f( a)= a 2a + 1 = a+ 10,得一 1wav0.综上，实数 a 的取值范围为1,+g),故选 B.0,xw0,2一9.(一题多解)设函数 f(x) = f(x)的 x 的取值范围 |2 2 ， x 0，是()A.( 3 1)U(2,+s)B.( 3,2)U( 2,+s)C.( 3,2)U(2,+s)D.( 3, 1)U( 2,+s)解析：选 C.法一：因为当 x0 时，函数 f(x)单调递增；当 x f(x)得,x 0 ,x2 2x 或 V- 20 ,x 2 或 XV Q2 ,所以 x 的取值范围是(一3,2)U

25、(2, +3),故选 C.法二：取 x = 2,贝 V f(22 2) = f(2),所以 x= 2 不满足题意，排除 B, D;取 x= 1.1 ,则2f( 1.1) 2) = f( 0.79) = 0,f( 1.1)= 0,所以 x= 1.1 不满足题意，排除 A ,故选 C.b1Z1b2,记 A?B= maxa1b1, a?b2, asbs.设 A = (x 1 , x+ 1 , 1) , B =x 2七3丿Mx1|710.若 maxsi, S2,，若 A?B= xsn表示实数 S1,s2,，sn中的最大者.设 A=(a1,a2,a3), B1,则 x 的取值范围为()A . 1 3,

26、1C. 1 2, 1B . 1 , 1 + .2D. 1 , 1 + . 3解析：选 B.由 A= (x 1 , x+ 1 , 1) , B=| x 2得 A?B= max x 1, (x+ 1)(x 2), |x|x 1|x1 (x+1)(x2) ,x22x1w0，1| = x 1,则化简，得由，得 1 2wxw1x1|x1|.x1|x1|.+ .2.由，得 x 1所以不等式组的解集为1wx a0, c R,则下列不等式正确的是(1 1a3 4vb22.2D.acVbcbc2,所以 D 不成立.故选 ABC.13.(多选)下列命题正确的是()a + 1 aA .已知 a, b 都是正数，且 b b，贝 V av bB .已知 fx)是 f(x)的导函数，若？x R, fx) 0，贝 U f(1) vf(2)一定成立C. 命题？x R，使得 x2 2x+ 1V0”的否定是真命题D. “ xw1 且 yw1 ”是“ x + yw2”的充要条件a + 1a解析：选 AC.A.已知 a, b 都是正数,由7,得 ab+ bab+ a,则 avb,正确；B.b + 1b若 f(x)是常数函数，则 f(1)vf(2)不成立；C.命题“? x R,使得 x2 2x+ 1v0”是假命题,则它的否定是真命题；D. “xw1 且 yw1” ? “x+ yw2”，