2020届江苏高考数学(文)总复习课堂检测：等比数列

1、课时跟踪检测（三十）等比数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快2.（2018 盐城期中）在等比数列an中，已知 ai+ a?= 1,a3+ a4= 2,则 a9+ aio=_ .解析：设等比数列an的公比为 q,则 a3+玄玄4= q2（ai+ a?）,所以 q2= 2,所以 a?+ ai= q8（ai+a2）= i6.答案：i63. （20i8 苏州期末）设各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a?= 6, a?3ai= i2,贝 U S5=_ .解析：Ta2= 6, a3 3ai= i2,解得 ai= 2, q= 3,二 S5=害=242.i 3答案：2424.在等比数列an

2、中，若 aia5= i6, a4= 8,贝 V a6=_ ,解析：由题意得，a2a4= aia5= i6,所以 a2= 2，所以 q2= 04= 4,所以 a6= a4q2= 32.a2答案：325. （20i9 南京一模）若等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 ai= i, S6= 3S3,则 a?的值为解析：设等比数列an的公比为 q, 因为 ai= i, S6= 3S3,当 q= i 时，不满足 S = 3S3； 当 qzi 时，可得=叫1,1 (2018 徐州期末) )设等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 S?是 S3与 S4的等 差中项，解析：ai+ a3+ a5a

3、i+ a3+ a5ai+ a3+ a5 2a2+a4+a6 qai+a3+a5 2ai+ a3+ a5答案：21. （2019 如东中学检测）已知等比数列an的公比 q= 1,ai+ 83+ a5贝 y35=a2+ a4+ a6aiq= 6, aiq23ai= i2且 q 0,q iq i化简得 q3+ i = 3，即 q3= 2, 所以 a7= aiq6= 4.答案：4则实数 q 的值为_ .解析：/ S2是 S3与 S4的等差中项，2S2= S3+ S4， 2a3+ a4= 0,解得 q= 2.答案：2416. （2018 常州期末）已知等比数列an的各项均为正数，且 ai+a2=9，a3

4、+a4+a5+a6解析：9两式相除可得 q2 1 3+ q4= 90,即 qa3+ a4+ a5+ a&= aiq2+ q5+ q4+ q6= 40,1=10(舍)或q2= 9.又 an 0,所以 q = 3,故at=，所以a7+ a8+ a9=34+ 35+ 37=1 053,9答案：117二保咼考，全练题型做到咼考达标3 (2019 如皋模拟) )已知数列an是正项等比数列， 满足 Iog2an+1= 1+ log2an(n N*),且a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 2,贝 V Iog2( (a51+ a52+ a53+ a54+ a55)=_ .解析：/ log2an+1

5、= 1 + gan,/. log2aJ= 1,可得 q = 2.ana1+ a2+ a3+ a4+ a5= 2,log2(a51+ a52+ a53+ a54+ a55)=log2(a1+ a2+ a3+ a4+ a5)q50 = log2251= 51.答案：5155 设等比数列an的公比为 q(0vqv1)，前 n 项和为 Sn.若存在 m N ,使得 am+ am+2=；am+1,且 Sm= 1 022am+1,则 m 的值为_.解析：am+am+2= ?am+1,Sm=1 022am+1,a1q + a1q= a1q ,1 q022a1qm,41解得 m= 9, q=答案：94. （2

6、018 启东检测）数列an满足 an+1=入n1（n N,入R且 炉 0）,若数列an1是等比数列，则 =_.解析:2因为数列an 1是等比数列，所以 2 = 1,得匸2.人答案：25. （2019 姜堰模拟）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且& =解析：设等比数列an的公比为 q,由 S3= 28,6. （2018 海安中学测试）在各项均为正数的等比数列数列an的前 n 项积为 Tn，若 T2m-1= 512,则 m=_ .解析：由等比数列的性质可知am+1am-1= am= 2am（m 2），所以 am= 2,即数列an为 常数列，an= 2，所以 T2m-1= 22m 1

7、= 512= 29,即卩 2m 1 = 9,所以 m= 5.答案：52an+1.*一 一,7.已知数列an中，a1=2，且=4(an+1an)(n N ),则其前 9 项和 S9=an解析：由已知，得 aJn+1= 4anan+1 4a：,即an+14anan+1+4an=(an+12an)2=0,所以 an+1= 2an,所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列,故 X 1=210一2=1 022 答案：1 0228.（2019 徐州调研）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn且 S& 2S4= 6,贝 Va?+aan中，右 am+1am-1=2am(m2),得 an+1

8、一 1=入n 2 =，化简得击=養，解得+ an + a12的最小值为 _解析：因为 S8 2S4= 6,所以 S8 S4= S4+ 6.由等比数列的性质可得，S4, S8 S4, S12 S8成等比数列,2所以 S4( (Sl2 S8) )= (S8 S4),答案：249.在公差不为零的等差数列 an中，a1= 1, a2, a4,成等比数列.（1）求数列an的通项公式；设 bn=2an,Tn=b1+b2+bn，求Tn. 解：（1）设等差数列an的公差为 d,a1= 1,则依题意有*2（a1+ 3d）=（a1+ d 何+ 7d）,解得 d= 1 或 d= 0（舍去）,所以 an= 1 + (

9、n 1) = n.由(1)得 an= n,所以 bn= 2n,所以bn是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以Tn=容=2n+1-210.（2018 苏州高三期中调研）已知数列an各项均为正数，a1= 1, a?= 2,且 an+1an+2对任意 n N 恒成立，记an的前 n 项和为 Sn.（1）若 a3= 3，求 a5的值；证明：对任意正实数p, a2n+ POjn-1成等比数列；是否存在正实数 t,使得数列Sn+ t为等比数列若存在，求出此时an和式；若不存在，说明理由.解：（1）因为 a1a4= a2a3，所以 a4= 6,又因为 a2a5= a3a4,所以 a5= 詁=9.rana

10、n+3=an+1an+2,（2）证明：由 I_n+1an+4=an+2an+3,两式相乘得anan+1an+3an+4=an+1an+2an+3,因为 an0，所以 anan+4= an+2（n N ）,从而an的奇数项和偶数项均构成等比数列，所以ag+a10+an+a12=S12S$= =S4S4+箜+1224,当且仅当S4=6时S4号成立.故 a?+ aio+ an + ai2的最小值为24.bn+1所以苛=2,anan+3=Sn的表达设公比分别为 q1, q2,贝 V a2n= a?qj1= 2 比1, a?n-1= ag；q；1,又因为也=叱，所以a4=a2= 2=2生，即 q1=q,

11、an+2ana3aiqi设 qi= q,= q,贝 V a,n+ pa,n-1= q(a,n- 2+ pa,n- 3),且 a,n+ pa,n-1 0 恒成立，所以数列a2n+ pa2n-1是首项为 2 + p,公比为 q 的等比数列.法一：在中令 p= 1,则数列a2n+ a2n-1是首项为 3,公比为 q 的等比数列,3k, q= 1,k+(a2+a1)= 3 1-qI1 - q ,rk-1“3k2q,q=1,S2k-1=S2k-a2k=3 1-qkkT,2q,qz1,1-q且 S1= 1, S2= 3, S3= 3 + q, S4= 3+ 3q, 因为数列Sn+ t为等比数列，(S2+t

12、(= (S1+(S3+t(S3+ t(S2+ t (S4+ tp+t)= (1 +1j(3+ q+ t )2(3 + q+ t) = (3+ t3+3q+tyt= 1,或q= 4所以 S2k= 4k- 1= 22k- 1, S2k-1= 22k-1- 1,从而对任意 n N*有 Sn= 2n- 1,S + t此时 Sn+ t = 2n，严 =2 为常数，满足Sn+ t成等比数列，Sn-1十 t当 n 2 时，an= Sn- Sn-1= 2n 2n 1= 2n 1,又 a1= 1,所以 an= 2n 1(n N ), 综上，存在 t= 1使数列Sn+ t为等比数列，此时 an= 2n-1, Sn

13、= 2n- 1(n N*). 法二：由(2)知 a2n= 2qn 1, a2n-1= qn1,且 St= 1, S?= 3, S3= 3+ q, S4= 3 + 3q, 因为数列Sn+ t为等比数列，(S2+ tf= (S1+ t (S3+ t V所以吕2(S3+ t) = (S2+ t (S4+ t即 R3+12= (1+5+ q+t)即 t+6= q1+1,1(3+ q+ tf= (3+ t3+3q+ t lt= q- 3,t= 1,t= 3,解得或i(舍去).q=4q=0所以S2k= (a2k+a2k-1) )+ (a2k-2+a2k-3) )+ 所以即 N+6=q1+tt=q-3,：t

14、_03(舍去).q= 0解得所以 a2n= 2qn 1= 22n 1, a2n-1= 22n 2,从而对任意 n N 有 an= 2n 1,所以 Sn= 2+ 21+ 22+ 2nT=仁2= 2n 1,1 2S + t此时 Sn+ t = 2n,综上，存在 t= 1 使数列Sn+ t为等比数列，此时 an= 2n1, Sn= 2n 1(n N).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1._ 各项均为正数的等比数列 an中，若 a1 1,a2 3，则 a4的取值范围是 _a203解析：设an的公比为 q,则根据题意得 q=订=,答案：弓，82.(2018 泰州中学高三学情调研) )设正项等比数列an满足

15、 2a5= a? 0,若存在两项 a“,am,使得a1=4、；anam，贝 Vm+n=_.解析：设等比数列an的公比为 q.正项等比数列an满足 2a5= a3 a4,则 2a3q2=比(1 2一1一F_一q)，可得 2q2+ q 1 = 0, q0,解得 q = Q，若存在两项 an, am,使得 a1= 4 anam,可得答案：63. (2019 苏锡常镇调研) )已知数列an的前 n 项和为 Sn,站=3,且对任意的正整数 n, 都有 Sn+1=入n+ 3n+s 其中常数Z0.设 bn=爭(n N*).(1)若 A 3，求数列bn的通项公式；若入工 1 且入工 3，设 Cn=an+-3n

16、(n N ),证明数列cn是等比数列；入一 3(3)若对任意的正整数 n，都有 bnw3,求实数 入的取值范围.+ *解：因为 Sn+1=01+3,nN,所以当 n2 时，Sn=入n-1+ 3n,从而 an+1=入n+ 2 3n, n 2, n N -在 Sn+1=入n+ 3n 1中，令 n= 1,可得 a2=入a+ 2x31,满足上式，所以 an+1=入n+ 2 3n, n N .n*Sn-1+ tn= 6.(1)当0=3 时，an+1=3an+2 3,nN,an+1an22从而 3+1 =孑 + ，即 bn+1 bn= 3,又 b1=詈=1，所以数列bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列， 0,若 1VH 3,Jv0,人32入一32 2n+1 所以 g=1+ （n -1）x2=.证明：当心 0 且将 3 且将 1 时，Cn=an+ 3 3n=入务-l+2 31+ 3 3n又C1=3+ir3工0， 所以Cn是首项为，公比为 入的等比数列,A3在(2)中，若 入=1,贝 UCn= 0 也可使 an有意义，所以当入工 3 时，Cn=3入/ 厂当= 3 时，bn=2+1，显然不满足条件，故3.3当 3 时，b.七x亠亡.入一 1*若心 3, 0, bnVbn+1,