数列综合例题

1、2022年年4月月8日星期五日星期五拥有知识改变命运，拥有理想改变态度拥有知识改变命运，拥有理想改变态度2012年大学世界排名第年大学世界排名第10名名美国加州理工学院美国加州理工学院2012年大学中国排名第年大学中国排名第10名名吉林大学吉林大学例1【例例2 2】等差数列】等差数列 a an n 各项均为正整数，各项均为正整数，a a1 1=3=3，前，前n n 项和为项和为S Sn n，等比数列，等比数列 b bn n 中，中，b b1 1=1=1，b b2 2S S2 2=64=64， 是公比为是公比为6464的等比数列的等比数列. . （1 1）求）求a an n与与b bn n； （

2、2 2）证明：）证明： （1 1）解解 设设 a an n 的公差为的公差为d d,b bn n 的公比为的公比为q q, ,则则d d 为正整数，为正整数，a an n=3+(=3+(n n-1)-1)d d, ,b bn n= =q qn n-1-1, , 依题意有依题意有 由由q q(6+(6+d d)=64)=64知知q q为正有理数，为正有理数，nab.4311121nSSS,64)6(,2642261)1(3131dqSbqqqbbddnndaann又由又由 知知, ,d d为为6 6的因子的因子1,2,3,61,2,3,6之一，之一，解解得得d d=2,=2,q q=8,=8,故

3、故a an n=3+2(=3+2(n n-1)=2-1)=2n n+1,+1,b bn n=8=8n n-1-1. .(2)(2)证明证明 S Sn n=3+5+(2=3+5+(2n n+1)=+1)=n n( (n n+2),+2),dq62.43)211 (21)2111211 (21)21151314121311 (21)2(153142131111121nnnnnnSSSn所以例例3 3 、已知已知S Sn n是数列是数列 a an n 的前的前n n项和，且项和，且 a an n= =S Sn n-1-1+2 +2 （n n22），），a a1 1=2.=2. （1 1）求数列）求数

4、列 a an n 的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设 T Tn n= =b bn n+1+1+ +b bn n+2+2+b b2 2n n, ,是否存是否存 在最大的正整数在最大的正整数k k，使得对于任意的正整数，使得对于任意的正整数n n, ,有有 T Tn n 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出k k的值；若不存的值；若不存 在，说明理由在，说明理由. .,log12nnab 12k解解 （1 1）由已知）由已知a an n= =S Sn n-1-1+2 +2 得得a an n+1+1= =S Sn n+2 +2 - -，得，得a an n+1+1- -a an n= =S

5、 Sn n-S-Sn n-1-1 ( (n n2),2),a an n+1+1=2=2a an n ( (n n2).2).又又a a1 1=2,=2,a a2 2= =a a1 1+2=4=2+2=4=2a a1 1, ,a an n+1+1=2=2a an n ( (n n=1,2,3,)=1,2,3,)所以数列所以数列 a an n 是一个以是一个以2 2为首项，为首项，2 2为公比的等比为公比的等比数列，数列，a an n=22=22n n-1-1=2=2n n. .) 1)(12(21) 1)(12(2) 12(2) 12() 1(211221121.221121213121,12l

6、og1log1)2(1)1(22122nnnnnnnnnnTTnnnnnbbbTnabnnnnnnnnnn n是正整数，是正整数，T Tn n+1+1- -T Tn n00，即，即T Tn n+1+1 T Tn n. .数列数列 T Tn n 是一个单调递增数列，是一个单调递增数列，又又T T1 1= =b b2 2= = ，T Tn nT T1 1= ,= ,要使要使T Tn n 恒成立，则有恒成立，则有 , ,即即k k6, 恒恒成立成立. .212112k12k12k21 (山东高考题山东高考题)已知已知 ，点，点 在函在函数数 的图象上，其中的图象上，其中 （1 1）证明数列）证明数列

7、 是等比数列；是等比数列；（2 2）设）设 ，求求 及数列及数列 的通项；的通项；（3 3）记）记 求数列求数列 的前的前 项和项和12a 1(,)nna a2( )2f xxxnNlg(1)na12(1)(1)(1)nnTaaanT na11,2nnnbaa nbnnS例例 5. 作边长为作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去求如此下去求前前n个内切圆的面积和个内切圆的面积和.解解 设第设第n个正三角形的内切圆的半径为个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的正三角形边长的 ，每一个正三角形内切圆的半径也是，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的前一个正三角形内切圆半径的 ，故，故 11111331tan30,2236231ra6231( )62nnnnnraaa rrr 数列是首项为，公比为 的等比数列所以:1212设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：21222211114441134