数分定积分应用习题

1、定积分应用习题课资料1 .求由曲线y2 .求心形线r3 .设为曲线x cost, y 2sin2t,2x2,2,y和直线y2x在y.内所围平面图形的面积x4x1cos所围图形与圆盘rcos的公共部分的面积。0t2上的一点，此曲线与直线OM及轴所围图形的面积为，求dS取得最大值时，点dt的坐标。4 .求由曲线y3xy 一, x及yV；2x2所围图形的面积、绕轴旋转所得旋转体的体积。5 .设曲线ysinx(0x万),y1,x0围成平面图形记为，求绕直线x万旋转而成的旋转体的体积。6 .设抛物线yax2bxc过原点，当0x1时，y0,又已知该抛物线与轴及直线x1所围图形白面积为1,试确定a,b,c使

2、此图形绕轴旋转而成的旋转体的3体积最小。7 .一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧段yx21(1x2)和直线段y0(0x1)绕轴旋转而成，坐标轴长度单位为，现以2m3/min的速度向容器内注水，试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度。8 .半径为的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部抽空所作的功的一半时，水面下降的深度为多少？习题解答1 .解：解方程组2xy7y2x,2y一，xy2x,得交点A(2,1),B(8,16),C(1,2).所求面积为2 28x2S(2x-)dx(2x)dx212ln21 x242 .解：由rcos,r1cos得12,于是所求面积为3

3、二12H2S23(1cos)d2-cosd02万23 2sin21-11-sin203-sin24243.解:设点的坐标为(cost,2sin2t),此曲线与直线OM及轴所围图形的面积为-1 ,一 2 、 2S -cost(2sin t) sin tcost1ydx cost /,21sin tcost 2(1 costx2)dxdS 八.2.32sintcos t sin tdt2(1 co/t)( sint)_32sint sin td2S dt22 cost 3sin2tcost 0得dS在(0,)内的驻点tarcsinJ,又tarcsinJ为虫的极大值点，故dt23；3dttarcsi

4、n时空.取得最大值，此时的坐标为(,-),3dt334.解：解方程组y.2x2,32yx得交点A(1,1),B(1,1),又由图形关于轴对称，故所求面积为2 5S 2 o( 2 x23 x2.x33,1x3)dx2、2xarcsin-x302.251 32(-)2 45旋转体的体积为41252V20(2x)x3dx215.解:方法一(切片法)取为积分变量，积分区间为0,1,对应于任一小区间y,ydy,、22.x) dy arcsiny (arcsin y) dy2 , (arcsin y) dy平面区域上有宽度为的窄条，此窄条绕直线x旋转得到厚度为的圆环，具体积为22dV(-)2(-所求旋转体

5、的体积为2 2 142-a2 -a(1 a) (1 a)25327Varcsinydyo2yarcsiny.1y20y(arcsiny)221y2arcsiny2y0方法二(录U壳法)取为积分量，区间为0,万,对应于任一小区间x,xdx,平面区域上有宽为、高为1y的窄条，此窄条绕直线x旋转得到高为1y、厚、半径为一x22的圆筒薄壳，具体积为dV(1y)2(-2x)dx2(1sinx)(x)dx所求旋转体的体积为02(1sinx)(2x)dx3一2246 .解:因抛物线过原点，故c0由题设有1(ax2bx)dxab1,即得0323b2(1a)3一1oo1o11o.而V(axbx)dx(-a-ab-b)dV da5a27(1 a)0523得a4,代入的表达式得b|此时有当0 x 1时，y 0,且dV da0,因此13553a,b,c042H0(1y)dy7 .解:当水深为时，水的体积为H2V。(,1y)dydV(1H)也dtdt当dV 2且H 3时,dHdt2 dt (1 H )(m/min).8 .以球心坐标原点，以过且垂直水平面的直线为轴，正方向向下，以过且平行水平面的直线为轴，正方向向右.取为积分变量，对应x.xdx的一薄层水，其体积近似为2_22dVydx(Rx)dx把这层水抽出所作的功近似为dWgxdVg(R2x2)xdx