第五讲正态分布及其数字特征

1、第五讲第五讲 正态分布正态分布 P45 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 当一随机变量是当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同大量微小的独立的随机因素共同作用作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其它因的结果，而每一种因素都不能起到压倒其它因素的作用时，这个随机变量就被认为服从素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布正态分布 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；高、体重；农作物的

2、产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布声等等，都服从或近似服从正态分布 一一 标准正态分布及其性质标准正态分布及其性质1 定义定义 标准正态分布标准正态分布x的概率密度为的概率密度为记为记为XN(0 0, 1)2221)(xex2 性质性质 (1) (1) (x)是是偶函数偶函数即即 (x)是关于是关于y轴对称轴对称的钟形曲线的钟形曲线)(x0EX1DX(2)3 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数)(xxXPdtext22214 (a)的值求法的值求法(1) a0时时 查表查表例例1

3、 (1)= (2)= (3)= (2.5)= (0)= (1.64)= (1.96)= 0.84130.97720.9980.99380.50.950.975（2）a0 时时定理定理 (a)=1- (- -a)a-a)( a)(a1显然显然 (-1)= (-2)= (-3)= 11(1) 11(2) 11(3) =1-0.8413=1-0.9772=1-0.998=0.1578=0.0228=0.0025 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 若若XN(0 0, 1) ，则则)() 1 (aXP)(a)() 2(aXP)(1a)() 3 (bXaP)()(ab)96.1(XP)96.1

4、(XP)96.1( XP)21(XP)9 .5(xP)96.1 (1 )96.1 ()1 (1 )2(例例)1 ,0( NX求求)96.1(XP)96.1(XP)21(XP)9 .5(XP)96.1(XP)96.1 ()96.1()96.1 (1)96. 196. 1(XP)96.1()96.1 ()1()2()9 .5(解解975.0025.095.08413.01 9772.08185.01二二 一般正态分布一般正态分布正态分布的正态分布的X的概率密度为的概率密度为 222)(21)(xexf其中其中 和和 2 2为常数，且为常数，且 0 0则则 称称 x 服从参数为服从参数为 、 2 2

5、的正态分布的正态分布记为记为 XN( , 2 2)( x期望期望和和方差方差分别为：分别为：EX2DX 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称对称的钟形曲线的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .2 正态分布的密度曲线图形特点正态分布的密度曲线图形特点 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置， 决定了图决定了图形中峰的陡峭程度形中峰的陡峭程度.dtext222)(21设设XN( , 2 2)， 则则X的分布函数是的分布函数是3 正态分布的分布函数正态分布的分布函数)(xFxXPF()=?0.54 一般正态分布与标准正态分布的关

6、系一般正态分布与标准正态分布的关系 P47定理一定理一 (1) 若若 XN( , 2 2)N(0 0, 1)XZ则则 (2) 若若 XN(0,10,1)N( , )baXY则则EY)(baXEbaEXbbDY)(baXDDXa22aa2标准化变换标准化变换2)(2121)(xex22121ye),(2NX其反函数为其反函数为yxyx)(yY) 1 , 0( NXY证明证明 (1)xy2)(2121ye22121)(xex2)(21|21abyea) 1 , 0( NX其反函数为其反函数为abyax1axy1)(yY|1a),(2abNbaXY证明证明 (2)baxy严格单调严格单调2)(212

7、1abye例例1)2 , 1 (2NX则则35XN(0 0, 1)例例2)3 , 5(2NX则则21XN(0 0, 1)例例3)1 , 0( NX则则87X46X15X)7 , 8(2N)6 , 4(2N)5 , 1 (2N定理定理2 若若 x N( , 2 2) ,其分布函数为其分布函数为F(x) )(x则则)(xF例例)2 , 1 (2NX则则)211()212()213()0()5 .0()1(F(1)= F(2)= F(3)= F(-3)= )213()2(=0.5 =0.6915=0.8413)2(1=0.02285 一般正态分布的概率也可查表计算一般正态分布的概率也可查表计算若若x

8、N( , 2 2) ， 则则)() 1 (aXP)(aF)()2(aXP)(1aF)() 3(bXaP)()(aFbF)(a)(1a)()(ab例例1)5 . 0 , 8(2NX求求)1|8(|XP)10(XP)1|8(|XP)97(XP)5 .087()5 .089()2()2()2(1 )2(10XP)5 .0810()4(999968.0)181(XP解解=0.9544例例2)2,10(2NX求求)2|10(|XP)13(XP)1310( XP)2102()2|10(|XPXP)128(XP)2108()21012()1()1 ()1 (1 )1 ()13(XP)21013(1)5 .1 (1)1310( XP)21010()21013()0()5 .1 (解解=0.6826=0.0668=0.9332-0.5=0.4332)(zXP设设 0 1, XN(0,1)，称满足称满足 (1) 定义定义：的点的点 为为X关于关于 的上分位数的上分位数. z6