空间向量基本定理(上课用)

1、一一 、 共共 线线 向向 量量 ： 1.共共 线线 向向 量量 : 2、共线向量定理、共线向量定理 对对任任意意两两个个向向量量a a, ,b b ( (a a0 0) ), ,b b与与a a共共线线的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数, ,. 使b = a用于证明两条直线平行）三点共线作用：（)2(1中点公式：中点公式： 若若P P为为ABAB中点中点, , 则则12 OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面内同一平面内两个

2、不共线两个不共线的的向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCA思考思考1：空间任意向空间任意向量量 与两个不共线与两个不共线的向量的向量 共面时，共面时，它们之间存在怎样它们之间存在怎样的关系呢？的关系呢？p a b ，ab二、共面向量二、共面向量OA(2)共面向量共面向量:平行于同一平面的向量叫做平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量 思考思考:空间任意两个向量是否一定共面? 空间任意三个向量呢?ABCD(1).已知平面与向量 ,如果向量 所在的直线OA平行于平面或向

3、量 在平面内,那么我们就说向量 平行于平面,记作 /.aaaaa一定不一定AabBCPp 三个向量共面，又称三个向量三个向量共面，又称三个向量线性相关线性相关，反之，反之，如果三个向量不共面，则称这三个向量如果三个向量不共面，则称这三个向量线性无关线性无关ABNCMA1B1C1abc111.,a,b,c,k,k,:ac.ABACAAAMAC BNBCMN 例 如图三棱柱 设求证与向量 和 共面11:.MNAA B B追问:求证平面说明：若证明一条直线说明：若证明一条直线a与一个平面与一个平面平行：平行：1、说明这条直线在平面外、说明这条直线在平面外2、直线上的一个向量可以分解为这个、直线上的一

4、个向量可以分解为这个 平面内不平行的两个向量的分解式平面内不平行的两个向量的分解式ckakMN)1 (?共面向量定理的作用练习、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且 .AEANBDBM31,31.求证：MN/平面CDE证明： ANBAMBMNDECD3132=CDDE 又与不共线根据共面向量定理，由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.DECDMN,可知共面。ABCDEFNM13DBBAAN11()()33DCCBCDADDEabBCp PAO思考思考2：有平面有平面ABC，若若P点在此面内，须点在此面内，须满足什么条件？满足什么条

5、件？APxAByAC OPOAxAByAC结论结论: :空间四点空间四点P、A、B、C共面共面 1.1.存在唯一有序实数对存在唯一有序实数对x, ,y使使 可证明或判断四点共面2.2.对空间任一点对空间任一点O O, ,有有(1) OPxOAyOBzOCxyz其其中中，3.3.能转化为都以能转化为都以O O为起点的向量吗？为起点的向量吗？1)OPxy OAxOByOC （2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O， ,则则x的值为：的值为：OMxOAOBOC 111133331.1. 0.3.3ABCDD3.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点

6、不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；121212ee ,2e8e ,3e3e ,ABACAD 若若ABACAB5151平面向量基本定理平面向量基本定理有有向向量量的的一一组组基基底底) )叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所e e、e e（。e ee ea a，使使，一一对对实实数数，有有且且只只有有a a任任一一向向量量那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的共共线线向向量量，是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不e e，e e如如果果2 21 12 22 21

7、 11 12 21 12 21 1问题问题情境情境。c cz zb by ya ax xp p使使实数组x，y，z，实数组x，y，z，存在一个唯一的有序，存在一个唯一的有序p p向量向量不共面，那么空间任一不共面，那么空间任一c c、b b、a a如果三个向量如果三个向量c a b pAODCBE注：注：空间任意三个不共面向量都可以构成空空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底间的一个基底.如：如： ,abc xaybz c合的线性表示式或线性组叫做向量cba, ,a b c 其中 叫做基向量如果三个向量如果三个向量 不共面不共面, ,那么对空间任一向量那么对空间任一向量 , ,存在唯一

8、存在唯一有序实数组有序实数组(x,y,z(x,y,z), ),使得使得OAPACBBP证明证明:（1）先证）先证存在性存在性，作过空间一点是三个不共面的向量，设pOPcOCbOBaOAOcba过点过点P作直线作直线PPOC，交平面，交平面OAB于点于点P；在平面在平面OAB内，过点内，过点P作直线作直线PAOB，PBOA，分别，分别 交直线交直线OA，OB于点于点A，B.空间向量基本定理空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理）（又称空间向量分解定理）czbyaxp, ,a b c p存在实数则存在实数则(x,y,z),使使,OAxOAxa ,OByOByb ,OCzOCzc pxaybzc(

9、2)再证再证惟一性惟一性用反证法用反证法2.假设存在实数组假设存在实数组 ,使使222,px ay bz c =+xaybzc+所以所以2xx222()()()0 xx ayy bzz c-+-+-=即即因因222x ay bz c=+2222yyzzabcxxxx-= -, ,a b c 从而从而共面共面, 这与这与, ,a b c 不共面矛盾不共面矛盾,所以有序实数组所以有序实数组(x,y,z)惟一惟一.222(,)xyz2xx说明：说明：空间任意三个空间任意三个不共面不共面的向量都可以构成的向量都可以构成 空间的一个基底空间的一个基底 三个向量不共面就隐含着它们三个向量不共面就隐含着它们

10、都不是零都不是零 向量向量（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非 零向量共面）零向量共面） 一个基底是不共面的三个向量构成的一一个基底是不共面的三个向量构成的一 个向量组，一个基向量是指基底中的某个向量组，一个基向量是指基底中的某 一个向量一个向量数学运用数学运用？构成空间的另一个基底构成空间的另一个基底以与向量以与向量中选哪个向量，一定可中选哪个向量，一定可是空间的一个基底，从是空间的一个基底，从、已知向量、已知向量例例baqbapcbacba,1有有什什么么关关系系？那那么么点点构构成成空空间间的的一一个个基基底底不不为为空空间间四四点点，且且向向

11、量量、判判断断：CBAOOCOBOACBAO,21, a bab、如果与任何向量都不能构成空间的一个基底，则 与 有什么关系？练习练习共线共线共面共面例例2 2：已知空间四边形：已知空间四边形OABCOABC，对角线，对角线OBOB、ACAC，M M和和N N分别是分别是OAOA、BCBC的中点，点的中点，点G G在在MNMN上，且使上，且使MG=2GNMG=2GN，试用基底，试用基底 表示向量表示向量OCOBOA,OGCBOAMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 12()23OAONOM 111633OAOBOC 1223OAMN 例例3.已知平行六面体已知平行六面体OABCOABC,且且，用，用 表示如下表示如下向量向量:(1)； (2)（点（点G是侧面是侧面BBCC的中心）的中心） OAaOCb OOc, a b c, OBBACAOGC/BACOA/B/O/GabcO Babc B AcbC Aabc1122O Gabc ) ) 基基底底的的向向量量组组有有( (其其中中可可以以作作为为空空间间的的: :给给出出下下列列向向量量组组一一个个基基底底, ,是是空空间间的