函数、极限、连续重要概念公式定理

1、、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义： 给定数列 久？,如果存在常数A,对任给；.0,存在正整数N,使当n .N时,恒有焉A：:,则称A是数列的当n趋于无穷时的极限，或称数列以收敛于A,记为limxn=A.若汶油勺极限不存在，则称数列?发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列；收敛，即lim / =A,则极限是唯一的.(2)有界性: 若limxA,则数列 IxJ 有界,即存在M 0,使得对-n均有 xlM.(3) 局部保号性：设lim_xn=A，且A 0或A：0,则存在正整数N,当n N时，有人-0或人”：0.n史(4) 若数列收敛于A，则它的

2、任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当XTX时，f (x)以A为极限xirn f $严严S0d00 x闷闷0X AONX|f (x尸|v8当xsx)北时，f(x )以A为右极限呼呼$严严def f (x0弋弋) )s0d0% 0d0X0 CX X0|f (XH0X 0 x X|f (XH0X 0X|f (XH(三)函数极限存在判别法( (了解记忆) )1 海涅定理：lim f x =A=对任意一串 人 X0乂=沟,n=1,2川,都有2.充要条件：(1)lim f(x)二A lim f x lim f x=Ax0 x0lim f (x)二A：= lim f (x

3、)二lim f (x) =A.nimf x二3.柯西准则：lim fX#0 x：=A= 对任意给定的；.0,存在.0,当| ；：/, 0 .；：|x x| 6时，有f(为)f (X2)f X)，且存在常数M,使f x：M(或f x M),则lim f x存在.(四)无穷小量的比较1.无穷小量阶的定义，设lim：(x) =0,lim F(x) =0.-(X)=0,则称: (x)是比(x)高阶的无穷小量.：(x)(重点记忆) )若lim若 lim竺=：:,则：.(x)是比(X)低阶的无穷小量.：(x)=c(c=0),则称.二(x)与-(x)是同阶无穷小量.：(x)若lim=1,则称: (x)与(x

4、)是等价的无穷小量，记为.J(x)、l：,(x).P(x)(3)若 lim(5)若 lim亠凶c(c=0),k . 0,则称二(x )是( x)的 k 阶无穷小量P(x)2.常用的等价无穷小量当X r 0时，( (命题重点，历年必考) )sin xarcsinxtanxarcta nxln(1 x)1 - c o)sX,12x21芝是实常数ex-1(五)重要定理(必记内容，理解掌握)定理lim f (x) =A：= fxj = f .(x0) = A.X十_定理lim f(x) =A：= f(x) =A a(x),其中 Jim a(x) = 0.定理(保号定理):设 lim f(xA,又 A

5、0(或 A . 0),则一个:0,当(沧,沧=),且 X =沧时，f (x) - 0(或 f(x)：:0).定理 4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限定理 5 (夹逼定理) )：设在x0的领域内，恒有(x) _ f(x)一x),且Jim (x)=!叭(x)二A,则m f(x) =A.定理 6 无穷小量的性质：(1) 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；(2) 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；(3) 无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理 7 在同一变化趋势下，无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量.定理 8 极限的运算法则：设lim f x二A

6、,lim g x=B，则(1)lim( f (x)士g(x) =ABlim f (x)g(x) =A Blimf (x)=A(B =0) g(x) B定理 9 数列的极限存在，则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限.定理 10 初等函数在其定义域的区间内连续.定理 11 设f (x嶠续，则f(X)也连续.(六)重要公式( (重点记忆内容 应考必备) )1nlim(1 - x)x=,1口(1 )n=：e.(通过变量替换，这两个公式可写成更加一般的形式：函数f X在x =X处连续：二f_ x0= f亠i.x= f X。.(5)当 XJ 时,以下各函数趋于：的速度ln x，xaa 0，ax(a

7、 1)，xX- -+乂速度由慢到快ln n, naa 0 , an(a 1), n!, nnJ速度由慢到快(七)连续函数的概念(1)xi叫sin xxlim f x =0，且f x：“0则有limsin f xrlim0，n： ：m0，n =mxlim：arcta nx =2JIlim arctanx =x ?：:2Jim.arccotx二0,lim arccot x现X .何：*=0,lim x =1.x 0 (6)几个常用极限1.f X在x =Xo处连续，需满足三个条件:f X在点Xo的某个领域内有定义f X当X：Xo时的极限存在3.f X在Xo右连续：f x在X）,X）M、内有定义，且l

8、im f x =f Xo.4.fX在a,b内连续：如果fX在a,b内点点连续.5.fX在la,b内连续：如果f x在a,b内连续，且左端点x =a处右连续，右端点x = b处左连 续.（八）连续函数在闭区间上的性质（重点记忆内容）1有界性定理：设函数f x在la,b1 上连续，则f x在a,b上有界，即 常数M .0,对任意的B,b ，恒有f （x ） 0,使得对/n 均有|xn|兰M.(3)局部保号性：设im_Xn=A,且A 0或A：0,则存在正整数N,当n N时，有人0或人：0.(4) 若数列收敛于A，则它的任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当XTX。时

9、，f (x)以A为极限lim f $S0d00 jx x| 0X AO|x|AX|f(X)-A|VE名称表达式任给存在当时恒有当XF曲时，ff J以A为右极限limj $ J=A deff(x040)S0d0% 0d0X。X0X 0 x X|f(xH当X-胃c时，f (X)以A为极限lim f (XA def f (a)S0X 0X _X|f (xj-AIVE(三)函数极限存在判别法( (了解记忆) )1.海涅定理：lim f x =A：=对任意一串 &x0 x-x),n=1,2|,都有l i mf x = A2. 充要条件：(1)lim f(x) =A 二 lim f x = lim

10、 f x二A;XT。sfx：o *lim f (x) = lim f (x) = A.3.柯西准则：lim f x =A:二 对任意给定的0,存在八0，当0:石一 xj 6,0冷一 x 6时，有f (备)一 f (x2) 0,当0：x冷：、；时,有(x) _ f (x) _ (x),且lim (x) limT(x) =A,则00岐f(x)=A.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的Xi,X2,Xi：x2,有f xi : f禺(或f XiX2)，且存在常数M,使f x：: M(或f x M),则lim f X存在.(四)无穷小量的比较( (重点记忆) )1.无穷小量阶的定义，设lim：(x)

11、=0,lim：(x) =0 .若怖弋 =0,则称:(x)是比(x)高阶的无穷小量.(2)若 lim2 =:,则二(x)是比(x)低阶的无穷小量.戸(x)(3)若 怙 艺 =c(c=O),则称：(x)与(x)是同阶无穷小量.若lim(X)=1,则称: (x)与(x)是等价的无穷小量，记为一：i(x)、l：,(x).P(x)(5)若 lim 竿 c(c=O),k - 0,则称：(x )是：(x)的 k 阶无穷小量P (x)(2)lim f (x) = A二x寸：2.常用的等价无穷小量(命题重点，历年必考)sin x arcsinxtanx I丄x,arcta nx121 - c o)s qx2(1

12、 X ) - 1：x:是实常数ln(1 x)(五)重要定理(必记内容，理解掌握)疋理1lim f (x) = A：二f _(xo) = f ?(Xo) = A.x x0定理2lim f (x) = A：= f (x) = A a(x),其中 lim a(x) = 0.x_xox xo定理 3 (保号定理) )：设 lim f(x)二A,又 A 0(或 A：0),则 一个 0,当X和x 三(瓦瓦、J,且 x时，f (x) . 0(或 f(x)：0).定理 4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限定理 5 (夹逼定理) )：设在x0的领域内，恒有(x) _ f(x)

13、 _ (X),且lim (x) =lim (x) =A,则lim f(x) =A.X X0 x_X0X_0定理 6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量；(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量；(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理 7 在同一变化趋势下，无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量.定理 8 极限的运算法则：设lim f x =A,lim g x=B，则(1)lim( f(x)二 g(x) = A =B(2)lim f (x)g(x) = A Blimf (X)=A(B =0) g(x) B定理 9 数列的极限存在，则其子序列的极限一定存在且就

14、等于该数列的极限.定理 10 初等函数在其定义域的区间内连续.定理 11 设f (x障续，则f(X)也连续.(六)重要公式( (重点记忆内容 应考必备) )sin x (1)lim1X0 x-1nlinj(rHx)e,lim(-)=e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：2.常用的等价无穷小量(命题重点，历年必考)lim f x =0,且f x：川0则有limsin fIxf X 1，lim|J f Xf xe)1o aoXnaxn-1anXx- ana。(3)llmmmiJ：bxEx -I|Ib丄x bbo(5)当 x_： 时,以下各函数趋于：的速度In x, xaa . 0 ,

15、ax(a .1), xX速度由慢到快In n, naa .0 ,an(a .1), n!, nn.速度由慢到快(6)几个常用极限llm ex=0,X .(七)连续函数的概念1.f X在X =X处连续，需满足三个条件:f X在点X。的某个领域内有定义f X当X:冷时的极限存在四匕円仁戶慎=鹫丁 (沧心)-f(X0)=O.2.f x在x0左连续：f X在x),x)1内有定义，且lim_fX =fXD.f x在X),x)Y内有定义，且llm f x =f x。.4.f x在a,b内连续：如果f x在a,b内点点连续.5.f x在la,b 1内连续：如果f x在a,b内连续，且左端点x =a处右连续，

16、右端点x =b处左连 续.(八)连续函数在闭区间上的性质( (重点记忆内容) )1 有界性定理：设函数f x在l.a,b1 上连续，则f x在b,b I上有界，即 常数M 0,对任意的 x 壬 a,b】,恒有 f (x )兰 M2 最大最小值定理：设函数f x在la,b 1上连续，则在l.a,b 1上f x至少取得最大值与最小值各一次函数f X在x =X0处连续:二f _ Xo二f . Xo二f Xo.n： ： ：mn =mllmn :na a 0严1,llm咏=1,n :xllm如anXTllm arctanx =x 2Xllm：arccotx=0,llm arccot x二二X .3.f

17、x在x0右连续:即二 If,使得:红bb; f（H）=陛M尊卞a,b3 介值定理：若函数f x在la,b 1上连续，是介于fa与f b（或最大值M与最小值m）之间的任一实数，则在a,b上至少 一个，使得f- . a _b 4 .零点定理：设函数f x在la，b 1上连续，且f a f b : 0，则在a，b内至少-1一个，使得（九）连续函数有关定理1 连续函数的四则运算： 连续函数的和、差、积、商（分母在连续点处的数值不为零）仍为连续函数.2反函数的连续性： 单值、单调增加（减少）的连续函数，其反函数在对应区间上也单值、单调增加（减 少）且连续.3复合函数的连续性：u Vx在点Xo连续Xo i=Uo,而函数y =f U在点Uo连续，则复合函数y = f|X在点x连续.4初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数.（十）间断点的定义及分类1 .定义：若在X=xo处，m f x不存在，或