一轮复习-数列求和专题

1、数列的求和数列的求和考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题.一.公式法：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq1123(1)2nn n 22221123(1)(21)6nn nn23333(1)1232n nn 2+4+6+2n= ； 1+3+5

2、+（2n-1）= ；n2+n n2 例2 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：当a=1时，S 当a1时，111111naSa1n ；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS2.分组求和法分组求和法：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前n项和项和 nnnabc nc nb na例3.求下列数列的前n项和（1） 111112,4,6,248162nn解（1）：该数列的通项公式为 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn11

3、1(1 )22nnn错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比例4、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析这是一个等差数列n与一个等比数列xn-1的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn

4、 n项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。错位相减法相减例4、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-(1+n)xn+nxn+11-x= Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=- nxn练习：求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n111113523

5、214822nnnn n1解：设S =12111132321822nnnn n11S =124相减得，111122221822nnn n111S =1224111122221422nnn n1S =12111212422nnn 1=121111212221212nnn =1232nn=3 2. 设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.变式探究变式探究 2设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数

6、列 的前的前n项和项和Sn.解析解析：(1)a13a232a33n1an ，(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，列项求和法：列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n n项的和变成首尾若干少数项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项之和，这一求和方法称为分裂通项法项法. .（见到分式型的要往这种方见到分式型的要往这种方

7、法联想法联想） 常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa常见的裂项公式有：常见的裂项公式有：16.11nnnn1121121121122 nnnnn7nn！=（n+1）！）！-n！；！；89例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)分析：观察数列的前几项：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？

8、拆项相消法113= （ -213111）1111()35235例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （ - + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 所给数列为倒数构成的数列所给数列为倒数构成的数列,故应研究通故应研究通项项,看能否拆为两项之差的形式看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法以便使用裂项相消法

9、.求数列求数列 ,的前的前n项和项和.8 84 41 1, ,6 63 31 1, ,4 42 21 1, ,2 21 11 12 22 22 22 2+) )2 2+ +n n1 1- -n n1 1( (2 21 1= =2n2n+ +n n1 1= =a a2 2n n2 21 1) )2 2+ +n n1 1- -n n1 1( (+ +) )1 1+ +n n1 1- -1 1- -n n1 1( + +) )4 41 1- -2 21 1( (+ +) )3 31 1- -(1(12)2)1)(n1)(n2(n2(n3 32n2n- -4 43 3) )2 2n n1 1- -1

10、1n n1 1- -2 21 11 1( (2 21 1+=+=变式探究：变式探究：设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，点，点(n， )(nN*)均在函均在函数数y=3x-2的图象上的图象上.（1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2） ，Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn 对所有对所有nN*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m.n nS Sn n1 1n nn nn na aa a3 3b b+=2 20 0m m例例4. （1）依题意得）依题意得 =3n-2， 即即Sn=3n2-2n. 当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(

11、n-1)2-2(n-1)=6n-5； 当当n=1时，时，a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).n nS Sn n （2）由）由(1)得得bn= 故故Tn=b1+b2+bn 因此，使得因此，使得 (nN*)成立的成立的m必必须满足须满足 ,即即m10. 故满足要求的最小正整数故满足要求的最小正整数m为为10.1 1n nn na aa a3 3+) ). .1 16 6n n1 1- -5 5- -6 6n n1 1( (2 21 1 5 5- -1 1) )6 6( (n n5 5) )- -( (6 6n n3 3+=+=2 21 1=) )1 16 6n n1

12、 1- -5 5- -6 6n n1 1( () )1 13 31 1- -7 71 1( () )7 71 1- -1 1( (+ ) )1 16 6n n1 1- -1 1( (2 21 1+=2 20 0m m ) )1 1+ +6 6n n1 1- -( (1 12 21 12 20 0m m2 21 1 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一一个等比个等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公，另外要特别观察通项公式，如果通项

13、公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题律解题. .分组求和法分组求和法 , + n 1练习练习1.求数列求数列 + 2 3 , + 的前的前n项和项和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解：解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法分组求和法2求数列1,34,567,78910，前n项和Sn.2ak(2k1)2k(2k1)(2k1

14、)(k1)Sna1a2an点评：运用分组求和法分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式解析例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列并项求和并项求和练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21例例7 7：已知数列：已知数列5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条项条件的数列的通项公式及前件的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+ +(+(1+2+21+2