在复杂情况下列举所有机会均等的结果

1、 (1)(1)要清楚所有等可能要清楚所有等可能( (机会均等机会均等) )的结果；的结果； (2)(2)要清楚我们所关注发生哪个或哪些结要清楚我们所关注发生哪个或哪些结果果. . 概率的计算公式：概率的计算公式：关注结果的个数关注结果的个数所有等可能结果的个数所有等可能结果的个数P(P(关注的结果关注的结果)=)=w例例1 1 随机掷一枚均匀的硬币两次随机掷一枚均匀的硬币两次, ,至少有一至少有一次正面朝上的概率是多少次正面朝上的概率是多少? ?w总共有总共有4 4种结果种结果, ,每种结果出现的可能性相同每种结果出现的可能性相同, ,而而至少有一次正面朝上的结果有至少有一次正面朝上的结果有3

2、 3种种: :( (正正, ,正正),(),(正正, ,反反),(),(反反, ,正正),),因此至少有一次正面朝上的因此至少有一次正面朝上的概率是概率是开始开始正正反反正正反反正正反反( (正正, ,正正) )( (正正, ,反反) )( (反反, ,正正) )( (反反, ,反反) )43 例例4 抛掷一枚普通的硬抛掷一枚普通的硬币币3次。有人说次。有人说连续掷出连续掷出三个正面三个正面和和先掷出两个先掷出两个正面再掷出一个反面正面再掷出一个反面的的概率是一样概率是一样的。你同意的。你同意吗？吗？驶向胜利的彼岸例4抛掷一枚普通的硬币3次有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的

3、机会是一样的你同意吗？ 分析：对于第对于第1次抛次抛掷，可能出现掷，可能出现的结果是正面的结果是正面或反面；对于或反面；对于第第2次抛掷来次抛掷来说也是这样。说也是这样。而且每次硬币而且每次硬币出现正面或反出现正面或反面的机会相等。面的机会相等。由此，我们可由此，我们可以画出图以画出图开始第一次正反第二次正反正反第三次正反正正正反反反从上至下每一条路径就是一种可能的结果,而且每种结果发生的机会相等.例例4抛掷一枚普通的硬币抛掷一枚普通的硬币3 3次有人说连续掷次有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的你同意吗？的机会是一样的你同

4、意吗？ 解：抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：会均等的结果： 正正正正正正 正正反正正反 正反正正反正 反正正反正正 正反反正反反 反正反反正反 反反正反反正 反反反反反反 解:P（正正正）正正正）P（正正反）正正反） 81所以，这一说法正确所以，这一说法正确. 由以上的例题过程我们可以得到由以上的例题过程我们可以得到一些定义：一些定义： 以上在分析问题的过程中，我们以上在分析问题的过程中，我们采用了画图的方法，这幅图好像一棵采用了画图的方法，这幅图好像一棵倒立的树，因此我们常把它称为倒立的树，因此我们常把它称为树状树状图，也称树形图、树

5、图图，也称树形图、树图. .它可以帮助它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明遗漏，既直观又条理分明. .画树形图求概率的步骤画树形图求概率的步骤:把第一个因素所有可能的结果列举把第一个因素所有可能的结果列举出来出来.随着事件的发展随着事件的发展,在第一个因素的每在第一个因素的每一种可能上都会发生第二个因素的所一种可能上都会发生第二个因素的所有的可能有的可能.随着事件的发展随着事件的发展,在第二步列出的每在第二步列出的每一个可能上都会发生第三个因素的所一个可能上都会发生第三个因素的所有的可能有的可能.归纳归纳:有的同学认为有的同学认为:抛

6、三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种情况种情况（1）全是正面；（）全是正面；（2）两正一反；（）两正一反；（3）两反一正；）两反一正；（4）全是反面。因此这四个事件出现的概率相等，你同）全是反面。因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？意这种说法吗？解：画树状图分析如下解：画树状图分析如下开始开始硬币1正正反反硬币2硬币3正正反反正正反反正正反反正正反反正正反反正正反反81(）P 全是正面83()2(）P 两正一反83()3(）P 两反一正81)()4(全是反面P 口袋中装有口袋中装有1个红球和个红球和2个白球，搅匀后从中摸出个白球，搅匀后从中摸出

7、1个球，个球，会出现哪些可能的结果？会出现哪些可能的结果？ 有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和摸有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和摸出白球这两个事件是等可能的。出白球这两个事件是等可能的。 也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球，也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球，摸出白摸出白1球，摸出白球，摸出白2球，这三个事件是等可能的。球，这三个事件是等可能的。 你认为哪种说法比较有理呢？你认为哪种说法比较有理呢？ 如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现次摸球就可能出现3种可能：（种可能：（1）

8、都是红球；（）都是红球；（2）都是）都是白球；（白球；（3）一红一白。）一红一白。 这三个事件发生的概率相等吗？这三个事件发生的概率相等吗？ 先用树状图的方法看看有哪些等可能的结果先用树状图的方法看看有哪些等可能的结果开始开始红红白白1白白2红红白白1白白2红红白白1白白2红红白白1白白2第一次第一次第二次第二次从图中可以看出，一共有从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这种可能的结果，这9个个事件出现的概率相等，在摸出事件出现的概率相等，在摸出“两红两红”、“两两白白”、“一红一白一红一白”这个事件中，这个事件中，“摸出摸出_”概率最小，等于概率最小，等于_，“摸出一红一白摸出一红一白”和和

9、“摸摸出出_”的概率相等，都是的概率相等，都是_两红两红两白两白9194解答题的规范要求：解答题的规范要求：树状图或列表法分析（指出结果）；树状图或列表法分析（指出结果）；所有等可能结果的个数有种，其中（关注结果）所有等可能结果的个数有种，其中（关注结果）有种，有种，所以（关注结果）所以（关注结果）.在分析问题在分析问题2时，一们同学画出如下图所示的树状时，一们同学画出如下图所示的树状图。图。开始开始第一次红红白白红红白白红红白白第二次 从而得到，从而得到，“摸出两个红球摸出两个红球”和和“摸出两个白摸出两个白球球”的概率相等，的概率相等，“摸出一红一白摸出一红一白”的概率最大。的概率最大。

10、他的分析有道理吗？为什么？他的分析有道理吗？为什么？即时训练：即时训练： 1、一个袋子中放有、一个袋子中放有1个红球，个红球，2个白球个白球它们除颜色外其他都一样，小亮从袋中摸它们除颜色外其他都一样，小亮从袋中摸出一个球后出一个球后放回放回摇匀，再摸出一个球，请摇匀，再摸出一个球，请你利用画树状图分析并求出小亮两次都能你利用画树状图分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率摸到白球的概率第一次第一次红红白白1白白2红红红红红红白白1白白1白白1白白2白白2白白2第二次第二次解：画树状图如下：解：画树状图如下：由上图可知，两次摸球可能出现的结果共有由上图可知，两次摸球可能出现的结果共有9种，而出现（白

11、，白）的结果只有种，而出现（白，白）的结果只有4种，种，因此小亮两次都摸到白球的概率为因此小亮两次都摸到白球的概率为4/9变式：若上例中小亮第一次摸出一球后变式：若上例中小亮第一次摸出一球后不放回不放回，则两次都摸到白球的概率为多，则两次都摸到白球的概率为多少？少？解析：画出树状图解析：画出树状图第一次第一次红红白白1白白2第二次第二次白白1白白2红红白白2红红 白白1由上图可知，两次都摸到白球的概率为由上图可知，两次都摸到白球的概率为1/3 口袋中一红三黑共口袋中一红三黑共4个小球，一次从中取出个小球，一次从中取出两个小球，求两个小球，求 “取出的取出的小球都是黑球小球都是黑球”的概率？的概

12、率？复习巩固解：一次从口袋中取出两个小球时，解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能所有可能出现的结果共出现的结果共6个（红，黑个（红，黑1）（红，黑）（红，黑2）（红，）（红，黑黑3）（黑）（黑1，黑，黑2）（黑）（黑1，黑，黑3）（黑）（黑2，黑，黑3）且它们出现的可能性相等。且它们出现的可能性相等。满足取出的小球都是黑球（记为事件满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果）的结果有有3个，即（黑个，即（黑1，黑，黑2）（黑）（黑1，黑，黑3）（黑）（黑2，黑黑3） ， 则则 P（A）= =2163直接列举例例3 同时掷两个质地均匀的骰子，同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：计

13、算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同）两个骰子的点数相同（2）两个骰子的点数之和是）两个骰子的点数之和是9（3）至少有一个骰子的点数为）至少有一个骰子的点数为2例题解析第一个个第二二个对两枚骰子可能出现的情况进行分析，列表如下解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有果有36个，它们出现的可能性相等。个，它们出现的可能性相等。（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有的结果有6个，则个，则 P（A）= =（2）满足两个骰子的点数之和是）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件（记为事件B）的结果有的结果有

14、4个，则个，则 P（B）= =（3）满足至少有一个骰子的点数为）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件（记为事件C）的结果有）的结果有11个，则个，则 P（C）= 36661364913611什么时候用什么时候用“列表法列表法”方便，什么时候方便，什么时候用用“树形图树形图”方便？方便？当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图想一想一、在一个盒子中有质地均匀的一、在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球，其中两个小球都涂着红

15、色，另一个小球涂着黑色，则计算个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？以下事件的概率选用哪种方法更方便？1、从盒子中取出一个小球，小球是红球、从盒子中取出一个小球，小球是红球2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同取出两球的颜色相同3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同连取了三次，三个小球的颜色都相同直接列举列表法或树形图树形图巩固练习 二、经过某十字路口的汽车，它可二、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能

16、左转或右转，能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：口时，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转）至少有两辆车左转 左左左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右直直左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右右右左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左直直 右右左左左左左左左左左左左左左左直直 右右直直左左

17、左左直直左左直直左左直直 右右右右左左左左右右左左右右直直直直 右右左左左左直直左左直直左左直直直直 右右直直左左直直直直直直直直直直直直 右右右右左左直直右右直直右右右右直直 右右左左左左右右左左右右左左右右直直 右右直直左左右右直直右右直直右右直直 右右右右左左右右右右右右右右对所有可能出现的情况进行列表，如下图对所有可能出现的情况进行列表，如下图解：由树形图得，所有可能出现的结果有解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，个，它们出现的可能性相等。它们出现的可能性相等。（1）三辆车全部继续直行的结果有）三辆车全部继续直行的结果有1个，则个，则 P（三辆车全部继续直行）（三辆车全部继续直

18、行）=（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则个，则 P（两辆车右转，一辆车左转）（两辆车右转，一辆车左转）= =（3）至少有两辆车左转的结果有）至少有两辆车左转的结果有7个，则个，则 P（至少有两辆车左转）（至少有两辆车左转）=27127327791 甲袋中放着甲袋中放着2020只红球和只红球和8 8只黑球，只黑球，乙袋中则放着乙袋中则放着2020只红球、只红球、1515只黑球只黑球和和1010只白球，这三种球除了颜色以只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别两袋中的球都已外没有任何区别两袋中的球都已经各自搅匀蒙上眼睛从口袋中取经各自搅匀蒙上眼睛从口袋中取

19、一只球，如果你想取出一只球，如果你想取出1 1只黑球，只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？你选哪个口袋成功的机会大呢？ 练 习 下面三位同学的说法，你觉得这些同学说的有道理吗？下面三位同学的说法，你觉得这些同学说的有道理吗？1.1.小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；取到黑球； 2.2.小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大的机会也比较大 ;3.3.小丽则认为都一样，因为只摸一次，谁也无法小丽则认为都一样，因为只摸一次，谁也无法预测会取出什么颜色的球预测会取出什么颜色的球 思 考：20红，8黑甲袋20红,15黑,10白乙袋解：在甲袋中，在甲袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 28872在乙袋中，在乙袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 45153131 72所以，选乙袋成功的机会大所以，选乙袋成功的机会大 20红，8黑甲袋20红,15黑,10白乙袋 在分别写有在分别写有1