2022年人教版《勾股定理的应用》公开课教案

1、第第 2 课时课时勾股定理的应用勾股定理的应用1熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，假设小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处， 恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】 勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳问 6 秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保存根号)?解析：开始时

2、，AC5 米，BC13 米，即可求得 AB 的值，6 秒后根据 BC，AC 长度即可求得 AB 的值，然后解答即可解：在 RtABC 中，BC13 米，AC5 米，那么 AB BC2AC212 米.6 秒后，BC610 米，那么 AB BC2AC25 3(米)，那么船向岸边移动的距离为(125 3)米方法总结： 此题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将条件转化到同一直角三角形中求解【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题如以下图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 100 3km 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 100km

3、到达目的地 C 点， 求出 A、C 两点之间的距离解析：根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解解：ADBE，ABEDAB60.CBF 30 ， ABC 180 ABECBF180603090.在RtABC 中，AB100 3km，BC100km，AC AB2BC2 100 321002200(km)， A、 C 两点之间的距离为 200km.方法总结：先确定ABC 是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出 AC的长【类型三】 利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长 BE15cm，宽AB10cm，高 AD20cm，点 M 在 CH 上，且 CM5cm，一

4、只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点 A 爬到点 M， 需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比拟最短距离：如图所示， 蚂蚁爬行最短路线为 AM，AM 10220525 29(cm)，如图所示，蚂蚁爬行最短路线为 AM，AM202105225(cm)5 2925，第二种短些，此时最短距离为 25cm.答：需要爬行的最短距离是 25cm.方法总结： 因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的， 所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比拟取其最小

5、值即可【类型四】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形 ABCD 是边长为 9的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B处，点 A 的对应点为 A，且BC3，那么 AM 的长是()解析：连接 BM，MB.设 AMx，在RtABM 中， AB2AM2BM2.在 RtMDB中，MD2DB2.MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即 92x2(9x)2(93)2，解得 x2，即 AM2.应选B.方法总结： 解题的关键是设出适当的线段的长度为 x，然后用含有 x 的式子表示其他线段， 然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答【类型五】 勾股定理与方程思想、数形

6、结合思想的应用如图，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子， 它们同时发现地面上 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处向上爬到树顶 A处， 然后利用拉在 A 处的滑绳 AC 滑到 C 处，另一只猴子从 D 处先滑到地面 B， 再由 B 跑到 C，两猴子所经过的路程都是 15m，求树高 AB.解析：在 RtABC 中，B90，那么满足 AB2BC2AC2.设 BCam，ACbm，ADxm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出 x 的值，即可计算树高解：在 RtABC 中，B90，设 BCam，ACbm，ADxm.两猴子所经过的路程都是 15m，那么 10axb15m.a5， b15

7、x.又在 RtABC 中，由勾股定理得(10 x)2a2b2，(10 x)252(15x)2，解得 x2，即 AD2米ABADDB21012(米)答：树高 AB 为 12 米方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解探究点二：勾股定理与数轴如以下图，数轴上点 A 所表示的数为 a，那么 a 的值是()A. 51B 51C. 51D. 5解析： 先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A点的坐标 图中的直角三角形的两直角边为1 和 2，斜边长为 1222 5，1 到A的距离是 5

8、.那么点A所表示的数为 51.应选 C.方法总结： 此题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置， 再根据A的位置来确定a的值三、板书设计1勾股定理的应用方位角问题； 路程最短问题； 折叠问题；数形结合思想2勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比拟能力、 讨论交流能力和空间想象能力， 让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣， 突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者第 2 课时比例线段1知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)2理解成比例线段的概念；(重点)3掌握成比例线段的判定方法(难点)一、情境导入请观察以下几幅图片，

9、你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、 大小不同的图形它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】根据线段的比求长度如下列图，M 为线段 AB 上一点，AM MB3 5， 且 AB16cm， 求线段 AM、BM 的长度解：线段 AM 与 MB 的比反映了这两条线段在全线段 AB 中所占的份数，由 AMMB35 可知 AM38AB，MB58AB.AB16cm，AM38166(cm)，MB581610(cm)方法总结：此题也可设 AM3k，MB5k，利用 3k5k16 求解更简便，这也是解这类题常用的方法【类型二】

10、比例尺在比例尺为 150 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 3cm，那么甲、乙两地的实际距离是_m.解析：根据“比例尺图上距离实际距离可求解设甲、乙两地的实际距离为 xcm，那么有 150 0003x，解得 x150 000cm1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例以下四组线段中，是成比例线段的是()A3cm，4cm，5cm，6cmB4cm，8cm，3cm，5cmC5cm，15cm，2cm，6cmD8cm，4cm，1cm，3cm解析： 将每组数据按从小到大的顺序排列， 前两条线段的比和后两条线段的比相等的四

11、条线段成比例四个选项中，只有 C 项排列后有25615.应选 C.方法总结： 判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好， 计算前两条线段的比和后两条线段的比， 看是否相等作出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好， 计算前后两个数的积与中间两个数的积， 看是否相等作出判断【类型二】由线段成比例求线段的长三条线段的长分别为 1cm， 2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式解：因为此题中没有明确告知是求 1，2，2 的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项， 也可能不是前三个数的第四比例项， 因此应进行分类讨论设要求的线段长为 x，假设 x1 22，那么 x22；假设 1x 22，那么 x 2；假设 1 2x2，那么 x 2；假设 1 22x，那么 x2 2.所以所添加的数有三种可能，可以是22，2，或 2 2.方法总结：假设使四个数成比例，那么应满足其中两个数的比等于另外两个数的比， 也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积三、板书设计比例线段线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD 的长度分别是 m，n，那么